【专项练习】2022年中考数学二次函数压轴专题突破练习 专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定（教师版）

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【方法综述】
特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。
直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。
等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。
【典例示范】
类型一 固定边的直角三角形判定
例1：如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；
（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。
【答案】（1）；（2）点C的坐标是（－5，0），存在，图形详见解析；（3）．

（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），∴可得直线BC的解析式为y=x+5．
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t．
又点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴所以点P的坐标为（t，t+5），点M的坐标（t，）．
过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形．
∵ ∴QF=1．
当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，如图1，，∴；

当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，如图2，图3，，∴．

综上所述：．
针对训练
1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点
分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.


（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M，

∴AM=CM， ∴AM2=CM2.
设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则， 解之得，.
∴直线CM的解析式
联立，解之得或(舍去).∴.
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.

由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得.

2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．

∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，
∴EF＝ME+MF＝x+1．
∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，
∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，
∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．

3．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；
（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．

（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．

∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，
∴△BAE∽△BOC，
∴，

（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．

∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，
由△EHO∽△OGF得到：
，
∴，
∴x1x2+y1y2=0，
由，消去y得到：x2+b-2=0，
∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，
∴2（b-2）+b2=0，
解得b=-1-或-1+（舍弃），[来源:]
当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+，
综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-．
4．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；
（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．

∴C（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．

∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，
∴△BAE∽△BOC，
∴，
∴，
∴AE＝，

（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．

∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，
由△EHO∽△OGF得到：
，
∴，
∴x1x2+y1y2=0，

5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.

（2）①由直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，得
2m＝﹣1，
即m＝﹣；
故答案为：﹣；
②AB的解析式为y＝x+，
当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立PA与抛物线，得，
解得（舍），，
即P（6，﹣14）；
当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，
联立PB与抛物线，得，
解得（舍），
即P（4，﹣5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；

当t＝0时，S取最大值，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB＝＝，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h＝＝．
点M到直线AB的距离的最大值是．
6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．
（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；
（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（，）或（，﹣）．

（2）当y=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，
∵b＞0，
∴d（A，B）=b，
由题意
解得b=0（舍弃）或b=4，
∴抛物线的解析式为

假设存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：
①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．


∴AE=2，PE=4，
由△ADE∽△PAE,可得
∴
∴DE=1，
∴D(2,1)，
∴直线AD的解析式为
由解得或
∴
②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥x轴于E.

由△ADP∽△PAE,可得 即
∴
∴AD=5，
∴D(0,−5)，
∴直线AD的解析式为
由解得或
综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).
综上所述，满足条件的点C坐标为或
7．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
设点M的坐标为（1，m），
则CM=，AC==，AM=．
分两种情况考虑：
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，
解得：m=，
∴点M的坐标为（1，）；
②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，
解得：m=﹣，
∴点M的坐标为（1，﹣）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．
类型二 固定边的等腰三角形
例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．

(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
(3)如图2，
①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD1∥BC，交抛物线于D1，此时，使得S△DBC＝S△ABC，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵AD1∥BC，
∴设直线AD11的解析式为y＝x+n，
把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，
∴直线AD1的解析式为y＝x+1，
解得或，
∴D1的坐标为（5，6），
②当D点在直线BC的下方时，
由直线AD1的解析式为y＝x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为（0， 1），
∴CE＝5，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，
∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，
故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．

针对训练
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．
(1)求线段AC的长度；
(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；
(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．

【答案】(1)AC＝；(2)PG+GE的最小值为；(3)CM的长度为：2﹣或．
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H，

设：P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），
S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC，S△ABC是个常量，∴四边形ABPC的面积最大时，只需要确定S△PBC最大即可，
S△PBC即＝PH•（xB）＝（﹣m2+m+2+m﹣2）＝（﹣m2+2m），
当m＝时，函数取得最大值，此时P（，2），
过点E作RE⊥GR，使RE与y轴夹角为45度，则GR＝GE，则：PG+GE＝PG+GR，
当P、G、R三点共线时，PG+GE有最小值，
直线ER的方程为y＝﹣x﹣1…①，
则：直线PR方程的k值为1，其方程为：y＝x+…②，
联立①、②解得：R（﹣，），则：PR＝，
即PG+GE的最小值为；
(3)①当MN＝CM时，


②当MN＝CN时，过点N作NS⊥CM，

设N的横坐标为n，
∵tan∠MCN＝＝2，∴CS＝n，CM＝n，
∵∠MA″A′＝∠MCC′＝∠CMC′＝∠A′MA″，∴A′A″＝A′M＝2﹣n＝，
∴CM＝n＝；
故：CM的长度为：2﹣或．
2．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）y=3x+15；（2）点R的坐标是（0，17），最大值为；（3）存在，P（ ），P′（），面积为

（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．
∵﹣2＜0，
∴m=﹣=﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），
要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为=；
（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，
解得x1=，x2=，
∴P（，），P′（，）．
∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，
∴S△PAC=AC•PH=×5×=或S△PAC=AC•P′H=×5×=．
3．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

∴△MBE≌△PMF（AAS），
∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，
∴EF＝ME+MF＝x+1．
∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，
∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，
∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．

4．已知：二次函数y=-x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-3，0)、B（1，0），顶点为C.
(1)求该二次函数的解析式和顶点C的坐标；
(2)如图，过B、C两点作直线，并将线段BC沿该直线向下平移，点B、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
(3)试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，P≤y≤ ．

【答案】（1）顶点C（-1，2）；（2）F（3，-6）；（3）p=-2-，q=-2或p=0,q=1
【详解】
(1)∵抛物线经过点A(−3,0)和B(1,0)，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点C的坐标为(−1,2)；
(2)如图，
过点C作轴于点H,


则点

解得：，（不合题意舍去），


分三种情况进行讨论:
①当时，由增减性得：当时，
取得最大值
时， 代入
解得：（不合题意舍去）

②当时，当时，取得最大值不合题意.
③当时，由增减性得：当时，
取得最大值
时， 代入

解得：（不合题意舍去）

综上所述，满足条件的p，q的值为或
类型三 直角三角形的分类讨论
例3：如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．
（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；
（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；
（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?

【答案】（1）点A（﹣1，0），点B（3，0）；（2）四边形ACDE是平行四边形．证明见解析；（3）当或时，△ADF为直角三角形．
【解析】解（1）根据题意可知，
∵y=﹣a(x+1)(x﹣3)，
∴当y=0时，x=﹣1或x=3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）；

（3）过点D作DG⊥AB于点G，由，可知OE=GE，

又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，
∴△OEF ≌△DEG（ASA），
∴OF=GD=3a，
∴F点坐标为（0，-3a），
讨论：①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，
又∠FAO+∠AFO=90°，
∴∠DAG=∠AFO，
又∠AOF=∠DGA=90°，
∴△AOF∽△DGA，
∴，
即，
∴，
∵a > 0，
∴，
∵以上各步均可逆，故合题意；

针对训练
1．如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝ 相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。

2．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)① M（1，），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.

设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），

PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵PD∥MN．
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）详见解析；（3）当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．

（2）m＝3，则点P（3，0），
点D与点C关于x轴对称，则点D坐标为（0，﹣2），
把x＝3代入抛物线表达式，则y＝2，即：Q（3，2），
把点D的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，
则：y＝kx﹣2，
把点B坐标代入上式，解得：k＝，
则BD所在直线表达式为：y＝x﹣2，
则点M坐标为（3，﹣），
则：BM2＝，BQ2＝5，QM2＝，即：BM2+BQ2＝QM2，
故：△BQM是直角三角形；
（3）点P的坐标为（m，0），
则点Q坐标（m，﹣m2+m+2）、点M坐标（m， m﹣2），
当QM＝EF＝时，四边形DMQF是平行四边形，
则：QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝，
解得：m＝3或﹣1，
答：当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．
4．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．
（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y＝x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，则：MC，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，DH•MCMD•DC，即：DH2，则：DH，HC，即：点D的坐标为（）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6），点D′坐标为（），而点E坐标为（﹣6，2），则==36，==，==．若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论：
①当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（0，4）；
②当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（－6，2）；
③当+=时，+=36，解得：m=或m=，此时D′（）为（－6，2）或（，）．
综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．
5．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，且3OC＝4OB，对称轴为直线x＝，点E，连接CE交对称轴于点F，连接AF交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式；
（2）如图②，过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点，当QG+QB最小时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN＝，请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标；
（3）如图③，BC与对称轴交于点R，连接BD，点S是线段BD上一动点，将△DRS沿直线RS折叠至△D′RS，是否存在点S使得△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出BS的长，若不存在，请说明理由．（参考数据：tan∠DBC＝）
【答案】（1）y＝﹣2x+4．（2）；（3）BS的值为或．

设抛物线的解析式为y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+4．
（2）如图1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），
∴直线AF的解析式为y＝x+，
由，解得或，
∴G（，），
∵QH∥CO，BC＝＝5，
∴，
∴QH＝BQ，
∴GQ+BQ＝GQ+QH，
∴当G、Q、H三点共线时，GQ+BQ的值最小，最小值为，此时Q（，）．
如图2中，将点Q沿CE方向平移个单位得到Q′，作点Q′关于直线CE的对称点Q″，连接PQ″交直线CE于M，此时四边形PQNM的周长最小．


（3）如图3中，①当RS⊥BD时，△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形．

设抛物线的对称轴交x轴于H设抛物线的对称轴交x轴于H．由题意：BH＝2，DH＝，BD＝＝ ，[来源:ZXXK]
∵RH∥CO，
∴，
∴RH＝，DR＝DH﹣RH＝，
∵△DRS∽△DBH，
∴，
∴RS＝，DS＝，
∴BS＝BD﹣DS＝．
②如图4中，当RD′⊥BD时，设垂足为K，作SG⊥DH于G．


解得m＝﹣，
∴SB＝SK+BK＝﹣+＝+
综上所述，满足条件的BS的值为或+．
6．已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．
（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

【答案】⑴;(2);(3);(4)

解得：
故解析式y=；

（3）设符合条件的点P存在，令P（t，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；

∵Rt△BOP∽Rt△PCF，
∴，即 ，
整理得t2-4t+3=0，
解得a=1或a=3；
故可得t=1或3．
（4）存在符合条件的a值，使△APQ与△ABD相似，
①当△APQ∽△ABD时，
，
解得：a=；
②当△APQ∽△ADB时，， 解得：a=，
∴存在符合条件的a值，使△APQ与△ABD相似，a=或．
7．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，点D为顶点，连结BC、BD、CD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)试判断△BCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）△BCD是直角三角形.


由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得顶点D的坐标为(1，－4)．
∴DE＝4，OE＝1.
∴BE＝2.在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，
∴BD2＝DE2＋BE2＝20.
过点C作CF⊥DE于点F，则CF＝OE＝1，DF＝DE－OC＝1.
∴DC2＝CF2＋DF2＝2.
∴BD2＝BC2＋DC2.
∴△BCD是直角三角形．[来源:Zxxk.Com]
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D(0，2)在y轴上，连接BD．
（1）请求出直线AC、BD的解析式；
（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，连接OE．当∠AOE=∠BDO时，点M为直线x轴上一点，点N为y轴上一点，连接EM、NP，当四边形MNPE周长最小时，请求出点N的坐标并直接写出此时四边形MNEP的周长；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接OP，将△OEP绕点O旋转，点E旋转后对应点为E1，点P旋转后对应点为P1，直线E1P1与y轴交于点F，与直线BD交于点Q．在旋转过程中，△DQF能否为直角三角形，若能，请求出DF的长度；若不能，请说明理由．

【答案】（1） （2）9 （3）

（2）如图1中，作点E关于x轴的对称点E′，点P关于y轴的对称点P′，连接P′E′交x轴于M，交y轴于N，EE′交OA于H．

∵EM+MN+NP=E′M+MN+NP′，PE的值为定值，
∴此时四边形PEMN的周长最小，
设P（m，m2+m-3），则E（m，-m-3），
∵∠EOH=∠BDO，
∴tan∠EOH=tan∠BDO，
∴，

（3）如图2中，当∠DQF=90°，H的对称点为H1．

∵△OFH1∽△DBO，
∴，
∴，
∴OF=3，
∴DF=OF-OD=．
如图3中，当∠DFQ=90°，易知OF=OH=4，此时DF=OF-OD=4-2．

如图4中，当∠DQF=90°时，同法可得OF=3，此时DF=5．

如图5中，当∠DFQ=90°时，OF=4，此时DF=4+2．

综上所述，满足条件的DF的值为或4-2或5或4+2．
10．如图，直线与抛物线分别交于点A、点B，且点A在y轴上，抛物线的顶点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上一动点，射线轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N，过点P作轴于点E，当PE与PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q，使的值最大，求的最大值和此时Q的坐标；
(3)在抛物线上找一点D，使△ABD为直角三角形，求D点的坐标．

【答案】（1）；（2） ，Q点坐标为；（3） 点坐标为

(2) 联立解得：或
即点的坐标为
设的解析式为，代入和得：

解得：
∴BC的解析式为
设，则
，


(3) 点坐标为

类型四 等腰三角形的分类讨论
例4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；(2) △ADE的面积取得最大值为；（3）点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
，，根据可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；
（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线，据此设，由，知，，，再分，及三种情况分别求解可得.

（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∵过点A（﹣3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直线AE解析式为，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m﹣3），则F（），
∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，
∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF
＝×DF×AG+DF×OG
＝×DF×（AG+OG）
＝×3×DF
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为．
②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1）；
③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，
∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；
综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
针对训练
1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）证明见解析；（3）存在，点P坐标为（，）或（2，3）．

（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝，
BC＝，
BD＝，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．

2．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）直接写出点B，点C的坐标.
（2）求这个二次函数的解析式．
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标．

【答案】(1) B（-4,0）,C（0,4）;(2) y＝﹣x2﹣x+4；(3)BC=4 ，P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）.
（2）由（1）得B（﹣4，0），C（0，4），
∴BC＝＝4；
设P（m，0），
∵B（﹣4，0），C（0，4），
∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，
∵△PBC是等腰三角形，
∴①当BP＝CP时，
∴（m+4）2＝m2+16，
∴m＝0，
∴P（0，0）

3．如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．
找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
当为等腰三角形时，求的长；
求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．

【答案】（1）；（2）的长为或或；（3）cm.

分三种情况
①如图，若，则，
又∵，
∴，

∴，
∴；
②如图，若，则
又∵，
∴，
∴，
∴；


设，长为．
∵在中，，．
∴，，
由得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，
∴点运动路程为．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

【答案】(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值为－或－.

（2）需分两种情况进行讨论：
①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，

图1

∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，
令y＝0，解得x＝15，
∴点H的坐标为(15，0)．
又∵MH∥PB，
∴＝，即，
∴m＝－；
②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，

∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，
∴点C的坐标为(0，－8)，
∴CE＝＝5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
又∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB.

令y＝0，得x－8＝0，
∴x＝6，
∴点N的坐标为(6，0)．
∵CN∥PB.
∴＝，
∴＝，解得m＝－.
综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．
5．已知抛物线的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　　．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．

AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，
BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；

③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，
解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．
综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．
6．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；[来源:Z|X|X|K]
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．


∵PA＝PB，
∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．
∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），
∴BD＝＝3，
∴PA+PD的最小值为3．

解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．
（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：

①当BQ＝BC时，m2+4＝10，
解得：m1＝，m2＝﹣，
∴点Q1的坐标为（﹣1，），点Q2的坐标为（﹣1，﹣）；
②当CQ＝CB时，m2+6m+10＝10，
解得：m3＝0，m4＝﹣6，
∴点Q3的坐标为（﹣1，0），点Q4的坐标为（﹣1，﹣6）；
③当QB＝QC时，m2+4＝m2+6m+10，
解得：m5＝﹣1，
∴点Q5的坐标为（﹣1，﹣1）．
综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线交于另一点.已知，.
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点是轴下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴于点，为直线上一点，且.点为第四象限内一点，且在直线上方，连接、、.记，.当取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值.
（3）如图2，将点沿直线方向平移13个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点.动点为轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、、、在同一平面内），连接、、，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标.

【答案】（1）抛物线： 直线： （2） （3）

抛物线的解析式为：，
直线的解析式为：

（2）设点，对称轴为：，由题意，当点在对称轴左侧时的值一定小于点在对称轴右侧时的值，所以.
令
作轴交直线与点,则与相似。
所以

当时，.此时，点.
此时点，.

8．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？
（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形

此时D点坐标为（0，），
所以点D为OC的中点时，线段EF最长；
（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），
∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2 ， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2 ， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2 ，
当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2 ， 解得t1=0，t2=2；
当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=；
当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=3；
综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．
 [来源:Z,X,X,K]
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）
（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t
①求线段PM的最大值；
②S△PBM：S△MHB＝1：2时，求t值；
③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．

【答案】（1）（1，4）（2）①②③当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．

（2）①设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
∵点P的横坐标为t（0＜t＜3），
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
∴线段PM的最大值为．

③∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），点C的坐标为（0，3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CM＝，PC＝．
当PM＝PC时，有﹣t2+3t＝，
∵0＜t＜3，
∴原方程可整理为：2t﹣4＝0，
解得：t＝2，
∴点P的坐标为（2，3）；
当PM＝CM时，有﹣t2+3t＝t，

10．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)m＝﹣t2+4t（0＜t＜4），m的最大值为4；(3)存在，E（﹣4，0）或（0，0）或（4﹣4，0）．
【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0），
把A、B两点坐标代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，
故：抛物线y＝﹣x2+3x+4；
(2)∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4），
把将B（4，0），C（0，4）代入抛物线方程，
解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
过点P作x的垂线PQ，如图所示：

∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+3t+4），Q（t，﹣t+4）．
∴PQ＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．
∴m＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．
∴当t＝2时，m的最大值为4；
(3)存在．如图所示：