【专项练习】备战中考数学58种模型专练 6.角平分线模型，角平分线+平行线（含答案）

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如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
模型证明
∵PQ∥ON
∴∠PON=∠OPQ
又∵OP 是∠MON 的平分线
∴∠POQ=∠PON
∴∠POQ=∠OPQ
∴△POQ是等腰三角形
模型分析
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠
ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC
于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交
AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什
么数量关系？
解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF
∴EF=ED+DF=BE+CF

∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD 平分∠ABC
∴∠DBE=∠DBC
∴∠EDB=∠DBE
∴△EBD为等腰三角形
∴BE=ED
同理可证：FD=CF
∴EF=ED-FD=BE-CF
∴EF=BE-CF
（3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）
模型练习
1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。
解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN
∴MN=ME+EN=BM+CN=9
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC
求证：EF∥AB。
解析：
3．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC。
求证：AD=AB-BC。