【专项练习】备战中考数学58种模型专练 10.一线三等角模型（含答案）

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“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
“一线三等角”的起源
DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.
下面分几种类型讨论：
一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”
结论：△ADB ∽△CEA
锐角形“一线三等角
结论：△ADB∽△CEA∽△CAB
钝角形“一线三等角
结论：△ADB∽△CEA∽△CAB
下面总结几种常考类型：
类型一 三角齐见，模型自现

类型一概述
以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式解决问题． 两道题都 着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观 感知、推理转化等数学能力和思想．
类型二 隐藏局部，小修小补
类型二概述
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有 “一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模 型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查， 提升了学生思维的层次性和灵活性．
类型三 一角独处，两侧添补
类型三概述
上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的 “特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”． 这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．
类型四 线角齐藏，经验来帮
类型四概述
本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所 蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度．
通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗。
在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利 用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼．只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对一些基本模型和结论的挖 掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平．