【专项练习】备战中考数学58种模型专练 15.半角模型（含答案）

半角模型                      

模型  倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

已知如图：

∠2=∠AOB，OA=OB。

连接FB，将△FOB绕点O旋转

至△F′OA的位置，连接F′E、FE，

可得△OEF′≌△OEF。

基本模型（1）——正方形内含半角

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

基本模型（2）——等边三角形内含半角

基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角

模型分析

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。

核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.   

变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若△ECF的周长是2，求∠EAF的度数?

变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，求证：AG=AB.

综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，

求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

练习

1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？

2、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，

（1）求证：EF=BE+FD

（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。

4、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.

5、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．

6、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，
试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．求∠BPC的度数

半角模型

条件：

思路：

（1）、延长其中一个补角的线段

（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF  ）  

结论：①MN=BM+DN ② ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

（2）对称（翻折）

  思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明

       M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）

例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=

                                     ②.

     ③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

思路同上略.

 例1拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

 ①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.

 ②.求证：AB=AH.

 提示如图：  

例2.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：

   提示：

练习巩固：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF.

     提示：