【新课标新高考】考点5 利用导数求解不等式问题——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点5 利用导数求解不等式问题—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

1.利用导数证明不等式的方法：证明，可以构造函数.如果，则在上是减函数，同时若，则由减函数的定义可知，时，有，即证明了.

其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论.

2.不等式成立（恒成立）问题：

（1）恒成立，

成立.

（2）恒成立，

成立.

（3）恒成立.

（4）①.

②.

③.

④.

【练习】

1.已知是自然对数的底数，函数，若整数m满足，则所有满足条件的m的和为(   )

A.0 B.13 C.21 D.30

2.已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为(   )
A. B. C. D.

3.已知定义域为R的函数的导函数为，若，则下列结论一定成立的是(   )

A. B. C. D.

4.已知奇函数的导函数为，当时， ，则与的大小关系为(   )
A. B. C. D.与大小不确定

5.已知函数满足，当时，函数.若对任意的，存在，使得不等式成立，则a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

6.已知偶函数的定义域为，导函数为，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C. D.

7.已知函数当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(   )
A. B. C. D.

8.（多选）已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是(   )

A.当时，有3个零点 B.当时，有2个零点

C.当时，有4个零点 D.当时，有1个零点

9.（多选）若定义域为的函数的导函数满足，且，则下列结论中成立的是(   )

A.  B.

C.  D.

10.已知函数若对任意不等式恒成立，则实数a的值的个数为____________.

11.已知定义在R上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是________.

12.已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：.

（2）设，若对，均有，证明：.

13.已知函数，.
（1）若曲线与在处有相同的切线，求实数a的值.
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：当时，，令，则.若，则，所以函数在上单调递减.易知，，又，，由于，所以，即，所以m可以取1，2，3，4，5，6，7，8.当时，令，则.若，则，所以函数在上单调递增.易知，又，故m可以取.综上所述，所有满足条件的m的和为.

2.答案：B

解析：设，则.
因为，所以，即，故在R上单调递增.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，则.

3.答案：B

解析：令，则，所以在R上单调递增，又0，所以当时，，即，所以，所以当时，由得，当时，，即，所以，所以综上，.

4.答案：B

解析：令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增.又，所以函数为奇函数，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，故选B.

5.答案：C

解析：当时，在上的最大值为4.
又，所以在上的最大值为1.
对于函数，有，则在上，，函数为增函数，在上，，函数为减函数，则函数在上，有最大值.若对任意的，存在，使得不等式成立，必有，即，解得，即a的取值范围为.

6.答案：D

解析：设，则易知为偶函数，

又，则当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，又，不等式可化为，即，所以或，所以不等式的解集为，故选D.

7.答案：D

解析：解法一：由题可知，当时，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则可得在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则易知当时，单调递减，当时，单调递增，所以所以得故选D.
解法二：由题可知，当时，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，设则可得在上是增函数，则在上恒成立.令则因为所以当即时所以在上单调递增，所以此时满足在上是增函数；当即时，令得易得当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，故只需，得综上故选D.

8.答案：CD

解析：令，得，设，则方程等价为，
①若，作出函数的图象如图(1)：
，
此时方程有两个根其中，由，此时x有两解，由知此时x有两解，此时共有4个解，
即函数有4个零点.
②若，作出函数的图象如图(2)：
此时方程有一个根，其中，
由，此时x只有1个解，
即函数有1个零点.故选CD.
 

9.答案：ABC

解析：据题意，若定义在的函数的导数满足，则有，则有，设，则，则在上为增函数，依次分析选项：对于A，，则，即，则有，符合题意；对于B，，则，即，即有，符合题意；对于C，在上为增函数，且，则有，则，又由，则，符合题意；对于D，当，有，此时有，即，变形可得，又由，则，则恒成立，不符合题意；故选ABC.

10.答案：2

解析：当时，设，易知它们在上都单调递增，要使恒成立，则，恒同号，即和的图象与x轴的交点为同一个点.令得令得则即故实数a的值的个数即的解的个数，即和图象的交点个数.设，则易知在上单调递减，在上单调递增，则又当时，所以有2个解，故实数a的值的个数为2.

11.答案：

解析：构造函数，所以，

可得函数在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增.由，即得.又因为，所以不等式的解集为.

12.答案：（1）证明：因为
所以切线的斜率
又因为切线与直线平行，
所以，解得，
所以，
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且，所以.
（2）证明：由得，
整理得
设，
则在上恒成立，

①当，即时，在上单调递增，
依题意得，满足题意；
②当，即时，
由得，，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值，

依题意得，
可得，解得
综上可得.

13.答案：（1）由题意，得，
所以曲线在处的切线斜率.
易得，所以曲线在处的切线斜率.
因为曲线与在处有相同的切线，所以，即，解得.
经检验，满足题意.
（2）令，则
.
因为当时，，所以在区间上单调递增，故.
当时，，所以在区间上单调递减.
又因为，所以当时，，不合题意.
当时，存在，使得，即.
所以当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
因此的最大值为.
所以.
令.则，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增.
因此，的最小值为，所以.
故，即.
综上所述，实数a的取值范围为.