【新课标新高考】考点3 函数与方程——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点3 函数与方程—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

题型1：判断函数零点所在区间和零点的个数

1.判断函数零点所在区间的常用方法

（1）零点存在性定理，使用条件是函数图象是连续的.

（2）数形结合法：画出函数的图象，估算确定区间.

2.判断函数零点个数的常用方法

（1）解方程法：令，如果有解，则有几个解就有几个零点.

（2）函数零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数图象在上的图象是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点.

（3）数形结合法：转化为两个函数图象的交点的个数问题，有几个交点就有几个不同的零点.

题型2：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.

2.分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

【练习】

1.若函数则函数的零点个数为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

2.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是(   )
A. B. C. D.

3.已知函数，若有三个不等实数根，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.已知，若是函数的两个零点，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

5.已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最.对于高斯函数表示不超过实数x的最大整数，如，表示x的非负纯小数，即.若函数（且）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7.已知函数，若方程在区间内有且仅有一个根，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

8.（多选）若方程有且仅有1个实数根，则实数m的值不可能为(   )

A.2 B.-2 C.4 D.-4

9.（多选）已知函数（e是自然对数的底数），的图像在上有两个交点，则实数a的值可能是(   )

A. B. C. D.

10.已知函数若函数有且只有4个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.

11.已知定义在R上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_________个零点.

12.已知函数若函数的图象与直线在区间内交点的个数为2021，则__________.

13.记表示不超过x的最大整数，例如.已知函数则_________；方程的解的个数为____________.

答案以及解析

1.答案：B

解析：首先画出函数的图像，如图所示.

令设则由图像可知或，解得结合图像可知和共4个解，故选B.

2.答案：D

解析：由题意得的第一个零点满足：，第二个零点满足：，第三个零点满足：，第四个零点满足：在上恰有3个零点，只需满足当时，，解得，即的取值范围是，故选D.

3.答案：C

解析：不妨设，画出函数和的大致图象，如图所示，

根据对称性知，取，得，则.综上，.

4.答案：A

解析：令，得，即，在同一直角坐标系中作出与的图象，设两函数图象的交点，则，即又，所以，即，所以①.又，故，即②，由①②可得，故选A.
 

5.答案：B

解析：方程在区间内有3个不相等的实根，等价于函数与函数的图像在内有三个交点.当时，；

当时，；

当时，.

作出函数在内的图像，并作出直线，如图.

平移直线，结合图像可知或.故选B.

6.答案：C

解析：函数有且仅有3个零点，即的图象与函数的图象有且仅有3个交点.画出函数的图象，易知当时，与的图象最多有1个交点，故，作出函数的大致图象，结合题意可得，解得.故选C.

7.答案：A

解析：方程等价于，等价于.令，由题意知函数有且仅有一个零点，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以要使函数在区间内有且仅有一个零点，需解得，即实数m的取值范围是，故选A.

8.答案：BCD

解析：依题意得方程，

即有且仅有1个实数根.

令，易知函数图像的对称轴为直线.因为方程有且仅有1个实数根，所以，即，解得或.当时，函数，易知函数是连续函数，又，所以函数在上也必有零点，此时不止有一个零点，故不符合题意；当时，，此时只有这一个零点，故符合题意.因此实数m的值不可能为-2，4，-4.故选BCD.

9.答案：AB

解析：函数的图像在上有两个交点可转化为方程在上有两个不等的实数根，即方程在上有两个不等实根，即方程在上有两个不等实根.设，则.当时，单调递增；当时，单调递减，所以，又，且当时，，故可由此作出的大致图像如图，则由图像可知，解得，结合选项可知A，B符合题意，故选AB.

10.答案：

解析：由题意得函数有且只有4个不同的零点等价于偶函数与偶函数的图象有且只有4个不同的交点，即有两个不等正根，即有两个不等正根.令函数，则，当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.又当时，，当时，.

11.答案：7

解析：由知是奇函数，又当时，，所以在上是周期为1的周期函数.令得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.

12.答案：1011
解析：已知函数，作出函数图象，如图所示，

在区间上共有个先减后增的区问，则函数的图象与直线在区间上：
当时，共有个交点，不合题意；
当时，共有个交点，不合题意；
当或时，共有0个交点，不合题意；
当时，共有个交点，，解得，故.

13.答案：；7

解析：因为，所以.方程的解的个数即为函数与图像的交点个数，与的图像如图，因为，所以交点为7个，即所求方程解的个数为7.