高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算习题

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算

基础过关练

题组一　角度与弧度的互化及应用

1.把56°15'化为弧度是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.     B.     C.     D.

2.把化为角度是(　　)

A.270°     B.280°     C.288°     D.318°

3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　. 

题组二　用弧度制表示终边相同的角

4.与角π终边相同的角是(　　)

A.π                 B.2kπ-π(k∈Z)

C.2kπ- π(k∈Z)         D.(2k+1)π+π(k∈Z)

5.下列各对角中,终边相同的角是(　　)

A.,                B.-,

C.,-                D.-,-

6.将-1 485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为　　　　　　　　　. 

7.用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合.

8.已知α=1 690°.

(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;

(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).

题组三　扇形的弧长公式及面积公式的应用

9.若扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是(　　)

A.16π       B.32π      C.16       D.32

10.已知扇形的面积为,半径是1,则扇形的圆心角是(　　)

A.      B.        C.       D.

11.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元1世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3,≈1.73)(　　)

A.15 m2     B.16 m2   C.17 m2      D.18 m2

12.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　. 

能力提升练

一、单项选择题　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2019吉林“五地六校”高一期末联考,疑难1,★★☆)把-1 125°化为2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是(　　)

A.-6π-                    B.-6π+  

C.-8π-                    D.-8π+

2.(2019四川遂宁高一期末,★★☆)将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度数是(　　)

A.-       B.-       C.       D.

3.(2019贵州遵义四中高一期末,★★★)若-≤α<β≤,则,的取值范围分别是(　　)

A., 

B.,

C., 

D.,

4.(疑难2,★★★)已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右运动,Q沿着圆周按逆时针方向运动,且两点运动的速度相同.当Q运动到如图所示的位置时,点P也停止运动,连接OA,OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是(　　)

A.S1=S2                         B.S1≤S2

C.S1≥S2                         D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2

二、填空题

5.(疑难2,★★☆)已知圆心角为60°的扇形,其半径为3,则该扇形的面积为　　　　. 

6.(★★☆)某次帆船比赛LOGO(如图1)的设计方案如下:在Rt△ABO中挖去以点O为圆心,OB为半径的扇形BOC(如图2),使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB=α rad,则的值为　　　　. 

三、解答题

7.(疑难2,★★☆)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10 m,OB=x m(0<x<10),线段BA,CD与弧BC、弧AD的长度之和为30 m,设圆心角为θ弧度.

(1)求θ关于x的函数解析式;

(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.

8.(疑难2,★★☆)如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角,求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积.

答案全解全析

基础过关练

1.D　56°15'=56.25°=×=.

2.C　=×°=288°.

3.答案　-

解析　∵分针每分钟转6°,∴分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840×=-.

4.   B　A错,π=2π+π,与角π终边不同;B正确,2kπ-π,k∈Z,当k=2时,得[0,2π)上的角为π,

与角π有相同的终边;C错,2kπ-π,k∈Z,当k=1时,得[0,2π)上的角为π,与角π终边不同;

D错,(2k+1)π+π,k∈Z,当k=0时,得[0,2π)上的角为π,与角π终边不同.

5.   D　A错,=6π+,=10π-,终边不相同;B错,π=6π+π,其终边与-的终边不同;C错,

的终边在y轴的负半轴上,而-的终边在y轴的正半轴上,所以终边不相同;D正确,因为-=-2π-,所以-和-的终边相同.

6.答案　-10π+π

解析　因为-1 485°=-5×360°+315°,

所以-1 485°可以表示为-10π+π.

7.解析　如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-,而75°=75× = ,

∴终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为θ2kπ-≤θ≤2kπ+,k∈Z.

8.解析　(1)1 690°=4×360°+250°=4×2π+π=8π+π.

(2)∵θ与α终边相同, ∴θ=2kπ+π(k∈Z).

又θ∈(-4π,4π),  ∴-4π<2kπ+π<4π,

解得-<k<(k∈Z),∴k=-2,-1,0,1.∴θ的值是-π,-π,π,π.

9.C　设扇形所在圆的半径为r,则4r=16,解得r=4,由弧长l=2r,得l=8,即扇形的面积S=lr=16.

10.C　设扇形的圆心角是α,则=α×12,解得α=,故选C.

11.B　因为圆心角为,弦长为40 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,

因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20+20×20)=(400+200)m2,

实际面积等于扇形面积减去三角形面积,

为××402-×20×40=-400m2,

因此两者之差为-400-(400+200)≈16(m2),故选B.

12.答案　2-

解析　设正方形的边长为a,∠EAD=α,

由已知可得a2-πa2=αa2,∴α=2-.

能力提升练

一、单项选择题

1.D　-1 125°= -=-4×2π+ = -8π+.

2.C　∵分针转一周为60分钟,转过的角度为2π,将分针拨慢是逆时针旋转,∴钟表拨慢20分钟,分针所转过的弧度数为×2π=.

3.D　∵-≤α<β≤,

∴-≤<,-<≤,

两式相加可得-<<.

∵-<≤,∴-≤-<,则-≤<.

又α<β,∴<0,故-≤<0.故选D.

4.A　∵直线l与圆O相切,∴OA⊥AP,

∴S扇形AOQ=·l·OA,S△AOP=·AP·OA.

∵弧AQ的长与线段AP的长相等,故S扇形AOQ=S△AOP,

∴S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,∴S1=S2.

二、填空题

5.答案　

解析　60°转化为弧度制是,故扇形的面积为αr2=××32=.

6.答案　

解析　设BO=a,AB=b,则三角形BAO的面积为,扇形BOC的面积为αa2,

由题得=αa2,

故=2α.因为tan α=,

所以=.

三、解答题

7.解析　(1)根据题意,可算得l=xθ m,l=10θ m.

因为BA+CD+l+l=30,

所以(10-x)+(10-x)+xθ+10θ=30,

所以θ=(0<x<10).

(2)根据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×102-θx2,

化简得y=-x2+5x+50=-+.

所以当x=(满足条件0<x<10)时,ymax=.

综上所述,当x= 时铭牌的面积最大,且最大面积为 m2.

8.解析　根据题意得,弧AA1所在圆的半径是2 dm,圆心角为;弧A1A2所在圆的半径是1 dm,圆心角为;弧A2A3所在圆的半径是 dm,圆心角为,所以点A走过的路程是3段圆弧长之和,即2×+1×+×=π(dm),3段圆弧所对应的扇形的总面积是×2×π+×+××=(dm2).