高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切同步训练题

8.2.2　两角和与差的正弦、正切

基础过关练

题组一　给角求值

1.sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.      B.-     C.       D.-

2.=　　　　. 

3.tan 70°+tan 50°-tan 50°tan 70°=　　　　. 

4.=　　　　. 

5.计算:(1)sin 14°cos16°+sin 76°cos 74°;

(2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).

题组二　给值求值

6.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°=(　　)

A.a      B.(1-a)    C.(a-1)      D.(a+1)

7.已知cos+sin α=,则sin的值为(　　)

A.-      B.       C.-         D.

8.已知α∈,sin=,则sin α=(　　)

A.      B.        C.-或      D.-

9.已知tan α=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)的值为　(　　)

A.-         B.-       C.-       D.

10.若cos θ=,则sin=　　　　　,sin=　　　　. 

11.已知cos α=-,且α∈,则tan=　　　　. 

12.已知α∈,β∈,cos α=,且cos(α-β)=.

(1)求sin的值;

(2)求cos β的值.

13.已知tan=,tan=2,求:

(1)tan;

(2)tan(α+β).

14.已知<α<,0<β<,cos=-,sin=.

(1)求sin(α+β)的值;

(2)求cos(α-β)的值.

题组三　给值求角

15.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为(　　)

A.                B.- 

C.或-          D.-或

16.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,则α的值为(　　)

A.           B.         C.          D.

17.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　　　. 

题组四　两角和与差的三角函数的应用

18.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ=　　　　. 

19.已知向量=(-3,4),将向量绕原点O旋转60°到的位置,求点P'的坐标.

20.已知函数f(x)=sin-cos+1(x∈R).

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.

21.已知向量a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),-<θ<.

(1)若a⊥b,求tan θ的值;

(2)求|a+b|的最大值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.锐角三角形                B.直角三角形

C.等腰三角形                D.等边三角形

2.(疑难1,★★☆)=(　　)

A.-1     B.1       C.       D.-

3.(2019福建三明高三期末,疑难1,★★☆)已知sin α=,则tan=(　　)

A.-3      B.-       C.       D.3

4.(★★☆)函数f(x)=sin-sin是(　　)

A.周期为π的偶函数    B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数    D.周期为2π的奇函数

5.(疑难1、2,★★☆)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则log=(　　)

A.2       B.4      C.6     D.8

6.(2019河南高三期末,★★☆)已知-<α-β<,sin α+2cos β=1,cos α-2sin β=,则sin=(　　)

A.      B.       C.    D.

二、多项选择题

7.(疑难1,★★☆)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　)

A.A+B=2C B.tan(A+B)=-  C.tan A=tan B D.cos B=sin A

8.(疑难1,★★☆)已知函数f(x)=sin x+cos x+,则f(x)在下列区间上单调递增的是(　　)

A.       B.      C.     D.

三、填空题

9.(2019河北邢台高一期末,疑难1,★★☆)已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=7,则tan 2β=　　　　. 

10.(2019江苏南通高三期末改编,疑难1,★★★)在△ABC中,若sin Acos B=3sin Bcos A,B=A-,则B=　　　　. 

四、解答题

11.(2019浙江宁波高一期末,疑难2,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆分别交于A,B两点.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若α∈,β∈,求2α-β的值.

12.(2019安徽六安一中高一下第二次段考,疑难2,★★★)如图,以O为顶点,Ox为始边作角α,β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.

(1)若tan(α-β)=7,求角β的值;

(2)若 ·=0,求sin(α+β).

答案全解全析

基础过关练

1.D　原式=sin(21°-81°)=-sin 60°=-.

2.答案　

解析　原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.

3.答案　-

解析　∵tan 70°+tan 50°

=tan 120°(1-tan 50°tan 70°)

=-+tan 50°tan 70°,

∴原式=-+tan 50°tan 70°-tan 50°·tan 70°=-.

4.答案　1

解析　原式=

=

=tan 45°=1.

5.解析　(1)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)

=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°

=sin(14°+16°)=sin 30°=.

(2)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.

6.B　∵tan(28°+32°)==tan 60°=,

∴tan 28°+tan 32°=(1-a).

7.C　∵cos+sin α=,

∴cos αcos +sin αsin +sin α=,

∴cos α+sin α=,即cos α+sin α=,

∴sin=,

∴sin=sin=-sin=-.

8.B　由α∈,得<α+<,

∵sin=,

∴cos=-=-,

∴sin α=sin

=sincos -cossin

=×=.

9.B　tan(β-2α)=-tan(2α-β)

=-tan[α+(α-β)]

=-

=-=-.

10.答案　;

解析　因为cos θ=,

所以sin θ==,

所以sin=sin θcos+cos θsin

=×=,

sin=sin θcos-cos θsin=×-×=.

11.答案　7

解析　由cos α=-,且α∈,得sin α=,

所以tan α==-.

所以tan= ==7.

12.解析　(1)因为α为第四象限角,cos α=,

所以sin α=-=-,

所以sin=sin α+cos α=×+×=.

(2)因为α∈,β∈,

所以α-β∈(-π,0).

又cos(α-β)=,

所以sin(α-β)=-=-,

所以cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=×+×=.

13.解析　(1)tan

=tan+

=

==-.

(2)tan(α+β)=tan

=

==2-3.

14.解析　(1)∵<α<,∴<+α<π,

∴sin==.

∵0<β<,∴<+β<π,

∴cos=-=-.

∴sin(α+β)=-sin(π+α+β)

=-sin

=-sincos+cos+α·sin+β

=-=.

(2)由(1)可知,sin=,

cos=-,

∴sin

=sincos-cos+α·sin+β

=×-×=-.

又sin

=sin=-cos(α-β),

∴cos(α-β)=.

15.B　由根与系数的关系得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4,

∴tan α<0,tan β<0,

∴tan(α+β)===.

又-<α<,-<β<,且tan α<0,

tan β<0,

∴-π<α+β<0,∴α+β=-.

16. C　∵α∈,β∈,

∴α-β∈(0,π).

∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.

∵β∈,sin β=-,∴cos β=.

∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=,

∴α=.

17.答案　

解析　由(tan α-1)(tan β-1)=2,

可得tan α+tan β+1=tan αtan β,

所以tan(α+β)==-1.

由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),

所以α+β=.

18.答案　

解析　由题图易知tan α=,tan β=,γ=,∴tan(α+β)==1.

由题图易知0<α+β<π,

∴α+β=,

∴α+β+γ=.

19.解析　设∠xOP=α,∵||==5,

∴cos α=-,sin α=.

设点P'(x',y'),当旋转方向为逆时针时,

x'=5cos(α+60°)

=5(cos αcos 60°-sin αsin 60°)

=5

=-,

y'=5sin(α+60°)

=5(sin αcos 60°+cos αsin 60°)

=5

=,

∴P';

当旋转方向为顺时针时,x'=5cos(α-60°)=,y'=5sin(α-60°)=,

∴P'.

综上,点P'的坐标为

或.

20.解析　(1)f(x)=sin-cos+1

=2+1

=2sin+1

=2sin+1,

∴f(x)的最小正周期为T==π.

(2)当f(x)取得最大值时,

sin=1,

则2x-=2kπ+(k∈Z),

即x=kπ+(k∈Z),

∴所求x的集合为

.

21.解析　(1)因为a⊥b,

所以a·b=sin θ+cos θ=0,

所以tan θ=-1.

(2)因为a+b=(sin θ+1,1+cos θ),

所以|a+b|2=(sin θ+1)2+(1+cos θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+2sin.

因为-<θ<,

所以-<θ+<,

所以|a+b=3+2=(1+)2,

所以|a+b|max=1+.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).

由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B⇒sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B⇒

sin Bcos C-cos Bsin C=0⇒sin(B-C)=0.

∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π,∴B=C.

又无法判断其是不是锐角三角形、直角三角形和等边三角形,

∴△ABC为等腰三角形.

2.D　∵tan 60°=tan(10°+50°)=,

∴tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°·tan 50°.

∴=

==-tan 60°=-.

3.C　∵sin α=,

∴cos α=,∴tan α=2,

∴tan==.

4.B　因为f(x)=sin-sin=sin xcos+cos xsin-sin xcos+cos x·sin=cos x,所以函数f(x)的最小正周期为2π.

又f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),且其定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数.

5.A　∵sin(α+β)=,sin(α-β)=,

∴sin αcos β+cos αsin β=,

sin αcos β-cos αsin β=,

∴sin αcos β=,cos αsin β=,

∴==5,

∴log=log5=2.

6.A　由已知得

由①2+②2,得5+4sin(α-β)=3,

∴sin(α-β)=-.

∵-<α-β<,∴α-β=-,即α=β-,代入sin α+2cos β=1,

得sin=1,即sin=.

二、多项选择题

7.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,

∴2(A+B)=C,∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;

∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,∴tan A·tan B=①.

又tan A+tan B=②,

∴联立①②解得tan A=tan B=,∴cos B=sin A,故选项C,D正确.故选CD.

8.ACD　f(x)=sin x+cos x+=sin+.

令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.

当k=0时,函数f(x)在上单调递增.

又⊆,⊆,所以C,D满足题意;

当k=1时,函数f(x)在上单调递增,所以A满足题意.故选ACD.

三、填空题

9.答案　-

解析　tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===-.

10.答案　

解析　∵sin Acos B=3sin Bcos A,

∴tan A=3tan B.

又B=A-,

∴tan B=tan=,

即tan B=,

∴3tan2B-2tan B+1=0,

∴tan B=.

又B为三角形的内角,

∴B=.

四、解答题

11.解析　(1)由A,B-,,得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,

则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×= -.

(2)  由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos α·cos α-sin αsin α=-,sin 2α=sin(α+α)

=sin αcos α+cos αsin α=.

∵cos 2α<0,α∈,∴2α∈.

∵β∈,∴2α-β∈,

则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-,∴2α-β=-.

12.解析　(1)由三角函数的定义得tan α=-,

因为tan(α-β)==7,

所以tan β=1.

因为0<β<π,所以β=.

(2)因为·=0,

所以α-β=,

所以β=α-,

所以sin β=sin=-cos α=,

cos β=cos=sin α=,

所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.