人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式一课一练

8.2.3　倍角公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.-      B.-      C.       D.

2.sin4-cos4=(　　)

A.-      B.-   C.       D.

3.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=(　　)

A.       B.      C.       D.1+

4.·的值为(　　)

A.         B.      C.1       D.2

5.=　　　　. 

6.求cos 20°cos 40°cos 80°的值.

题组二　条件求值

7.已知x∈,cos x=,则tan 2x=(　　)

A.     B.-      C.        D.-

8.已知α是第三象限角,cos α=-,则sin 2α=(　　)

A.-      B.      C.-     D.

9.已知角α在第一象限,且cos α=,则=(　　)

A.         B.      C.      D.-

10.已知=,则sin 2x=(　　)

A.-      B.-       C.      D.

11.已知sin 2α=,则cos2=　　　　. 

12.若cos=,则sin 2α=　　　　. 

13.如果等腰三角形一个底角的余弦值为,那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　. 

14.已知α是第二象限角,且tan=-.

(1)求tan α的值;

(2)求cos 2α的值.

题组三　利用倍角公式证明

15.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.

16.证明:=1.

17.求证:-tan θtan 2θ=1.

18.已知α∈,求证:+=-2sin.

题组四　倍角公式的综合运用

19.已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x,若f=,则sin 2α=(　　)

A.-        B.        C.-         D.

20.化简+的结果为(　　)

A.-2sin 3       B.-2cos 3      C.2sin 3       D.2cos 3

21.已知函数f(x)=2cos,x∈R.

(1)求f(π)的值;

(2)若f =,α∈,求f(2α)的值.

22.已知向量a=(sin A,cos A),b=(,-1),a·b=1,且A为锐角.

(1)求角A的大小;

(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos Asin x(x∈R)的值域.

能力提升练

一、单项选择题

1.(2019四川资阳高一期末,疑难1,★★☆)若sin=,

则sin 2θ=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.        B.          C.           D.±

2.(2019湖北孝感高一期末,★★☆)已知f(x)=,当<θ<时,

 f(sin 2θ)-f[sin(-2θ)]的值为(　　)

A.2sin θ        B.2cos θ     C.-2sin θ      D.-2cos θ

3. (2019山西晋中高三适应性考试,疑难1,★★☆)若sin=,
4. 则sin=(　　)

A.          B.         C.       D.

4.(2019山西吕梁高三上学期第一次模拟,★★☆)已知α∈,β∈,tan α=,则(　　)

A.α+β=      B.α-β=       C.α+β=      D.α+2β=

二、多项选择题

5.(疑难1,★★☆)下列各式中,值为的是(　　)

A.2sin 15°cos 15°    B.cos215°-sin215°   C.1-2sin215°   D.

6.(疑难2,★★☆)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图像关于直线x=对称

B.函数f(x)的图像关于点对称

C.函数f(x)是奇函数

D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减

三、填空题

7.(2018四川宜宾高一质检,疑难1,★★☆)若tan=,则

tan 2α+=　　　　. 

8.(★★☆)已知sin α+cos β=,则cos 2α+cos 2β的取值范围是　　　　. 

9.(2019湖南长沙高三模拟,疑难1,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,角θ的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,若终边过点,则cos=　　　　. 

10.(疑难1,★★★)若2cos 2α=sin,α∈,则sin 2α=　　　　. 

四、解答题

11.(疑难1,★★☆)若tan α+=,α∈,求sin+2coscos2α的值.

12.(2019浙江衢州五校高一期末联考,疑难1,★★★)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.

(1)求cos的值;

(2)已知α∈,β∈,sin=,求α-β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　原式=cos2-sin2=cos=.

2.B　原式=sin2-cos2=-=-cos=-.

3.C　原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=.

4.A　·=×·=tan 28°·=.

5.答案　1

解析　原式====1.

6.解析　原式=

=

===.

7.D　∵cos x=,x∈,

∴sin x=-,∴tan x=-,

∴tan 2x===-.

故选D.

8.D　由α是第三象限角,且cos α=-,得sin α=-,

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=.

9.C　因为cos α=,且角α在第一象限,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=,所以原式=

==.

10.A　∵=,∴=,∴cos x+sin x=,∴1+sin 2x=,∴sin 2x=-.

11.答案　

解析　cos2====.

12.答案　-

解析　因为cos=,所以sin 2α=cos=2cos2-1=2×-1=-.

13.答案　

解析　设A是等腰三角形ABC的顶角,

则cos B=,

所以sin B===,

所以sin A=sin(180°-2B)=sin 2B

=2sin Bcos B=2××=.

14.解析　(1)∵tan==-,∴tan α=-.

(2)由(1)及已知可得sin α=,cos α=-,所以cos 2α=cos2α-sin2α= -.

15.证明　左边= - =

=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2A·cos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,

∴原等式成立.

16.证明　左边=

=

===1=右边,

所以原等式成立.

17.证明　左边=-==

==1=右边,∴原等式成立.

18.证明　因为α∈,所以∈,

所以左边

=+

=-sin-cos-sin+cos =-2sin=右边,∴原等式成立.

19.C　因为函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x=cos 2x+sin 2x,

所以f=sin α+cos α=,

所以(sin α+cos α)2=1+sin 2α=,

所以sin 2α=-.故选C.

20.B　∵6∈,∴3∈,

∴sin 3>0,cos 3<0,且|cos 3|>|sin 3|.

∴+

=+

=-sin 3-cos 3+sin 3-cos 3=-2cos 3.

故选B.

21.解析　(1)f(π)=2cos

=-2cos =-2×=-.

(2)因为f=2cos=-2sin α=,所以sin α=-.

又α∈,所以cos α===,

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.

所以f(2α)=2cos

=2cos 2αcos+2sin 2αsin=2××+2××=.

22.解析　(1)由题意得a·b=sin A-cos A=1,所以2sin=1,

即sin=.

由A为锐角得A-=,所以A=.

(2)  由(1)知cos A=,

(3)  所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+.

因为x∈R,所以sin x∈[-1,1],所以当sin x=时, f(x)有最大值;

当sin x=-1时, f(x)有最小值-3,

所以函数f(x)的值域是.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　若sin=,则sin=-,∴sin 2θ=cos=1-2sin2=1-2×=.

2.B　由题意可得,当<θ<时,

f(sin 2θ)==|cos θ+sin θ|

=cos θ+sin θ,

f [sin(-2θ)]==|sin θ-cos θ|=sin θ-cos θ,

所以f(sin 2θ)-f [sin(-2θ)]=cos θ+sin θ-sin θ+cos θ=2cos θ.故选B.

3.D　由题意及诱导公式可得sin+2α=cos-=cos,

由余弦的倍角公式,可得cos=1-2sin2=1-2×=,即sin=.

4.B　tan α=

=

=

=

==tan,因为α∈,β∈,所以α=+β,即α-β=.故选B.

二、多项选择题

5.BCD　A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=;B符合,cos215°-sin215°=cos 30°=;C符合,1-2sin215°=cos 30°=;D符合,=·=·tan 30°=.故选BCD.

6.BC　因为f(x)===-tan x,

所以函数f(x)是周期为π的奇函数,图像关于点对称.故选BC.

三、填空题

7.答案　2

解析　由tan==,可求得tan α=,

∴tan 2α+=+=+===2.

8.答案　

解析　因为sin α+cos β=,

所以cos 2α+cos 2β=1-2sin2α+2cos2β-1

=2(sin α+cos β)(cos β-sin α)

=3(cos β-sin α).

由sin α+cos β=得cos β=-sin α,

所以sin α∈,

所以cos β-sin α=-2sin α∈,

所以cos 2α+cos 2β∈.

9.答案　-1

解析　由题意知cos θ=,sin θ=,

∴cos 2θ=2cos2θ-1=-,

sin 2θ=2sin θcos θ=,

∴cos=cos 2θcos-sin 2θ·sin=-×-×=-1.

10.答案　-

解析　由2cos 2α=sin得

2sin=sin,

即4sincos=sin.

因为α∈,

所以-α∈,

所以sin≠0,

所以cos=,

所以sin 2α=cos

=2cos2-1=-.

四、解答题

11.解析　由tan α+=,得tan α=或tan α=3.

∵α∈,∴tan α=3.

∴sin α=,cos α=.

∴sin+2coscos2α

=sin 2αcos+cos 2αsin+2coscos2α

=×2sin αcos α+(2cos2α-1)+cos2α

=sin αcos α+2cos2α-

=××+2×-

=-=0.

12.解析　(1)依题意知tan α=2,

∴cos=(cos 2α-sin 2α)

=·

=·=×=-.

(2)∵α∈,∴sin α=,cos α=.

∵β∈,sin=,

∴β+∈,∴cos=,

∴cos=cos αcos+sin αsin

=×+×=.

∵α∈,β+∈,

∴α-∈,

∴α-=,∴α-β=.