高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理同步达标检测题

第九章　解三角形

9.1　正弦定理与余弦定理

9.1.1　正弦定理

基础过关练

题组一　三角形的面积公式及其应用

1.在△ABC中,若a=4,c=3,cos B=,则△ABC的面积等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.6  B.3    C.6   D.3

2.在△ABC中,若a=1,C=45°,S△ABC=2,则b=(　　)

A.8    B.4    C.4   D.2

3.在△ABC中,若△ABC的面积为S,且S=·,则tan A=　　　　. 

题组二　对正弦定理的理解

4.在△ABC中,下列结论一定成立的是(　　)

A.asin A=bsin B  B.=   

C.bsin C=csin B   D.A∶B=a∶b

5.在△ABC中,若a=1,b=4,sin A=,则sin B=(　　)

A.       B.     C.      D.

6.若△ABC的外接圆的面积为4π,则的值等于(　　)

A.2    B.4    C.8   D.

题组三　利用正弦定理进行边角互化

7.在△ABC中,若b=a,且B=135°,则A=(　　)

A.30°   B.150°

C.90°     D.30°或150°

8.在△ABC中,若a=3,b=5,c=6,则=(　　)

A.-    B.        C.-       D.-

9.在△ABC中,若A∶B∶C=2∶3∶7,则a∶b等于(　　)

A.1∶2 B.2∶3   C.1∶ D.1∶

10.在△ABC中,若+=0,则角B等于　　　　. 

题组四　已知两角及一边解三角形

11.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=(　　)

A.4    B.2      C.    D.

12.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=(　　)

A.4    B.4      C.4   D.2

13.在△ABC中,已知A=60°,tan B=,a=2,则c=　　　. 

14.在△ABC中,已知B=45°,C=60°,c=1,则最短的边的边长等于　　　　. 

题组五　已知两边及一边的对角解三角形

15.在△ABC中,已知a=2,b=,B=60°,那么角A等于(　　)

A.135°         B.45°     

C.135°或45°   D.30°

16.在△ABC中,已知b=2,c=2,C=30°,那么a等于(　　)

A.2     B.4      C.2或4          D.无解

17.在△ABC中,若a=5,c=5,A=135°,则△ABC(　　)

A.有一解          B.有两解

C.无解          D.不确定

18.在△ABC中,a=,b=2,B=45°,则C=　　　　. 

题组六　利用正弦定理判断三角形的形状

19.在△ABC中,若b=csin B,则△ABC一定是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

20.在△ABC中,若==,则△ABC一定是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

21.在△ABC中,已知acos B=bcos A,则三角形ABC的形状是　　　　　. 

22.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状是　　　　　　　. 

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)在△ABC中,若b=4,c=3,cos B=-,则sin C的值等于(　　)

A.     B.     C.      D.

2.(★★☆)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)

A.-     B.    C.-1   D.1

3.(★★☆)在△ABC中,若B=2A,b=a,则cos A的值等于(　　)

A.        B.    C.      D.

4.(★★☆)在△ABC中,若b2=ac,A=30°,则的值等于(　　)

A.       B.    C.   D.

5.(★★☆)在△ABC中,若c=1,B=45°,cos A=,则b等于(　　)

A.        B.    C.      D.

6.(疑难3,★★☆)在△ABC中,若满足B=60°,b=2的三角形有两解,则a的取值范围是(　　)

A.,2    B.,2     C.2,    D.2,2

7.(★★☆)在△ABC中,若B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC=(　　)

A.2       B.       C.       D.

8.(疑难2,★★☆)已知三角形ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则三角形ABC是(　　)

A.等腰三角形             

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形  

D.等腰直角三角形

9.(★★★)在△ABC中,B=60°,最大边长与最小边长之比为(+1)∶2,则最大内角为(　　)

A.105°  B.60°  C.75°   D.90°

二、多项选择题

10.(★★☆)在△ABC中,下列关系可能成立的是(　　)

A.a=1,b=2,A=30°,B=60°

B.a=4,c=6,sin A=,cos C=-

C.b=3c,B=2C

D.a+b+c=sin A+sin B+sin C

11.(疑难3,★★★)在锐角△ABC中,若A=2B,则的值可能是(　　)

A.        B.       C.       D.

三、填空题

12.(疑难1,★★☆)在△ABC中,若AB=4,AC=4,B=,则△ABC的面积等于　　　　. 

13.(★★☆)在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=　　　　. 

14.(★★☆)在△ABC中,若c=2b,C=B+60°,则角B等于　　　　. 

四、解答题

15.(疑难2,★★☆)在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin B·sin C,试判断△ABC的形状.

16.(疑难3,★★☆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=btan A,且B为钝角.

(1)证明:B-A=;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

答案全解全析

9.1.1　正弦定理

基础过关练

1.D　在△ABC中,因为cos B=,

所以B=30°,

因此S△ABC=acsin B

=×4×3×sin 30°=3.

2.B　由三角形的面积公式得S△ABC=ab·sin C,即2=×1×b×sin 45°,解得b=4.

3.答案　2

解析　由于S=bcsin A,

·=||·||cos A=bccos A,

因此bcsin A=bccos A,故tan A=2.

4.C　由正弦定理可知=,

因此bsin C=csin B一定成立.

5.D　由正弦定理可知=,将已知条件代入可得sin B=.

6.B　由已知得△ABC的外接圆的半径R=2,所以=2R=4.

7.A　由b=a可得sin B=sin A,

所以sin A===,

故A=30°或A=150°(舍去).故选A.

8.A　====-.

9.C　由A∶B∶C=2∶3∶7以及A+B+C=180°,可得A=30°,B=45°,由正弦定理可得a∶b=sin A∶sin B=∶=1∶.

10.答案　135°

解析　由已知得=-,

又由正弦定理得=,

所以=-,

即sin B=-cos B,

所以B=135°.

11.B　由正弦定理得=,

所以AC===2.

12.A　由已知得A=180°-60°-75°=45°,

所以由=得b===4.

13.答案　

解析　因为tan B=,

所以sin B=,cos B=,又A=60°,

所以sin C=sin[180°-(A+B)]

=sin(120°-B)

=sin 120°cos B-cos 120°sin B

=+,

由=得c=

==.

14.答案　

解析　由已知得A=180°-45°-60°=75°,所以角B最小,故b边最短,由=得b===.

15.B　由=得sin A===,因为b>a,所以B>A,因此A=45°.

16.C　由=得

sin B===,

所以B=60°或B=120°.

当B=60°时,A=90°,

a==4;

当B=120°时,A=30°,a=c=2,

故a=4或a=2.

17.C　由于c>a,所以必有C>A=135°,在三角形中不可能有两个钝角,故该三角形无解.

18.答案　75°或15°

解析　由=得

sin A===,

所以A=60°或A=120°,

从而C=75°或C=15°.

19.B　由已知及正弦定理得c==,所以sin C=1,所以C=90°,所以该三角形为直角三角形.

20.A　由==及正弦定理可得==,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,故△ABC一定是等边三角形.

21.答案　等腰三角形

解析　由已知及正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,

即sin Acos B-sin Bcos A=0,

所以sin(A-B)=0,因此A=B,

故该三角形是等腰三角形.

22.答案　等腰三角形或直角三角形

解析　由已知得a2·=b2·,

所以由正弦定理可得(sin A)2·=(sin B)2·,即=,

因此sin Acos A=sin Bcos B,

即sin 2A=sin 2B.

所以2A=2B或2A+2B=180°,故A=B或A+B=90°,即该三角形是等腰三角形或直角三角形.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　由于cos B=-,所以sin B=,由正弦定理得=,所以sin C===.

2.D　由acos A=bsin B得sin Acos A=sin2B,因此sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.

3.D　由B=2A得sin B=sin 2A,即sin B=2sin Acos A,所以cos A====.

4.A　由b2=ac可得sin2B=sin Asin C,所以===sin A=.

5.C　在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=,所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,因此由=可得b===.

6.C　因为三角形有两解,所以即解得2<a<.

7.B　在△ABD中,由正弦定理得

=,

所以sin ∠ADB==,

所以∠ADB=45°,所以∠BAD=15°,

所以∠CAD=15°,∠C=30°.

在△ACD中,由正弦定理得

=,

所以AC==.

8.B　由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab得sin2Asin 2B+sin2Bsin 2A=2sin Asin B,

即sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,

所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,因此三角形ABC是直角三角形.

技巧点拨　在将三角形中的边角关系进行转化时,要注意正弦定理运用的可行性,例如将边转化为角时,等号两边关于边的项的次数应该是相等的,否则不能运用正弦定理进行转化,本题中,等号两边都是边的二次式,因此可以进行转化,然后再通过三角恒等变换得出内角的关系,即可判断三角形的形状.

9.C　依题意,知三角形不是等边三角形,而B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,则A为最小角,易得A+C=120°,

所以==

=

=+==+,

故tan A=1,于是A=45°,C=75°.

所以最大内角为75°.

二、多项选择题

10.BD　由于==2,

==,2≠,

故A选项不可能成立;

由于==10,

==10,

因此=,

故B选项有可能成立;

若B=2C,

则sin B=sin 2C=2sin Ccos C,

即b=2ccos C,因为b=3c,

所以cos C=,显然不可能,

故C选项不可能成立;

由于a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)(R为△ABC外接圆的半径),

所以当△ABC的外接圆半径R=时,

D选项成立.故选BD.

11.BCD　由正弦定理可得=,

因为A=2B,

所以=

==2cos B.

由于△ABC是锐角三角形,

所以

解得<B<,所以<cos B<,

因此<2cos B<,

结合选项可知,的值可能是,,.

易错警示　本题在确定角B的取值范围时,容易忽视△ABC是锐角三角形的条件,或者仅由△ABC是锐角三角形得出B∈0,,从而导致错解.事实上,当三角形是锐角三角形时,其每一个内角必须都是锐角,因此应通过A,B,C均为锐角来确定B的取值范围.

三、填空题

12.答案　8或4

解析　由正弦定理可得=,

所以sin C===,

所以C=或C=.

当C=时,A=,

S△ABC=AB·AC·sin A

=×4×4×sin=8;

当C=时,A=,

S△ABC=AB·AC·sin A

=×4×4×sin=4.

13.答案　

解析　因为tan A=,0°<A<180°,

所以sin A=.

由正弦定理知=,

故AB===.

14.答案　30°

解析　由c=2b以及正弦定理可得sin C=2sin B,因此sin(B+60°)=2sin B,整理得tan B=,所以B=30°.

四、解答题

15.解析　由sin2A=sin Bsin C和正弦定理可得a2=bc.

因为2a=b+c,所以a=,所以2=a2=bc,整理得(b-c)2=0,因此b=c.

从而a==b=c,故三角形ABC是等边三角形.

16.解析　(1)证明:由a=btan A以及正弦定理可得==,所以sin B=cos A,

即sin B=sin+A,

所以B=+A或B++A=π,

即B-A=或B+A=.

由于B为钝角,所以A∈0,,

所以B+A>,即B+A=不成立.

故B-A=.

(2)由(1)知C=π-A-B=-2A>0,所以A∈0,.

所以sin A+sin C=sin A+sin-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1

=-2sin A-2+,

因为A∈0,,所以sin A∈0,,

所以<-2sin A-2+≤,

故sin A+sin C的取值范围是,.