高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直练习题，共20页。

题组一 平面与平面垂直的判定
1.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是( )
A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂β
C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β
2.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.5对
3.如图,在圆锥PO中,AB是☉O的直径,C是AB上的点,D为AC的中点.证明:平面POD⊥平面PAC.
4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
题组二 平面与平面垂直的性质
5.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
6.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
7.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个说法:
①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;
②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确的个数为 .
8.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α(m,n是两条不同的直线),则直线m与n的位置关系是 .
9.已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:BC⊥AC.
题组三 二面角
10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
11.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定
12.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为( )
A.45°B.90°C.60°D.30°
13.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上一点(不同于A,B两点),且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为( )
A.60°B.30° C.45°D.15°
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为( )
A.32 B.22 C.2 D.3
15.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=6,则二面角P-BC-A的大小为 .
题组四 垂直关系的综合运用
16.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则下列说法中正确的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β B.若l∥α,α∥β,则l⊂β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则( )
A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面AC
C.ME∥平面ACD.以上都有可能
18.如图,在四面体PABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中不一定成立的是( )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC
19.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若PB与平面AC所成的角为θ,求角θ的值.
20.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=12AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A'BE的位置,使A'C=A'D.求证:平面A'BE⊥平面BCDE.
能力提升练
一、单项选择题
1.(2019浙江绍兴高二上期末,★★☆)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为( )
A.相等B.互补 C.相等或互补D.不能确定
2.(疑难1,★★☆)如图所示,在四面体DABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
3.(★★☆)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出以下四个结论:
①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面DBF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中,可能成立的结论是( )
①③B.②③C.②④D.③④
4.(2019北京海淀高一下期中,★★★)由等边三角形组成的网格如图所示,多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图,对于该几何体(顶点的字母用展开图相应字母表示,对于重合的两点,取字母表中靠前的字母表示),下列结论中正确的是( )
A.BJ⊥平面ADJ B.平面BCJ∥平面EAD
C.平面ECB⊥平面EADD.BE⊥AJ
5.(2019天津耀华中学高一上期中检测,★★★)设a,m,n是三条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列命题:
①m⊥αn⊥m⇒n∥α;②a⊥m,a⊥nm,n⊂α⇒a⊥α;
③m⊥αm⊥β⇒α∥β;④m⊂αn⊂βα∥β⇒m∥n;
⑤a⊥αa⊂β⇒α⊥β;⑥α⊥βm∥αn⊥β⇒m⊥n.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D. 4
二、多项选择题
6.(★★☆)已知m,n是不重合的直线,α,β,γ是不重合的平面,则下列命题为假命题的是( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α∥β,γ∥β,则γ∥α
D.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
7.(★★★)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,下列说法中正确的是( )
AC∥平面BEF
B.B,C,E,F四点不可能共面
C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD
D.平面BCE与平面BEF可能垂直
三、填空题
8.(★★☆)如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂平面α,B∈l,AB与l所成角的大小为30°,则AB与平面β所成角的正弦值是 .
9.(★★★)α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出下列四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .(用序号表示)
10.(★★★)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,点M是PC上的一个动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(填写一个你认为正确的条件即可)
四、解答题
11.(2019湖南醴陵二中、醴陵四中高一下联考,疑难1,★★☆)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形,且AA1⊥平面ABC,F,F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
12.(疑难2,★★☆)如图,已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.
13.(疑难1、2,★★☆)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置,使CD=AC.
(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-BD-A的余弦值.
14.(2019天津耀华中学高一上期中检测,疑难3,★★★)如图,矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面的二面角成60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,EF=32,CF=6,∠CFE=45°.
(1)求证:平面CDEF⊥平面BCF;
(2)试问在线段CF上是否存在一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为14.若存在,请求出CG的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
11.4.2 平面与平面垂直
基础过关练
1.D 由a∥α,知α内必有直线l与a平行.又a⊥β,∴l⊥β,∴α⊥β.
2.D ∵四边形ABCD是矩形,∴DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA.又AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.又易证AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
3.证明 如图,连接OC,因为OA=OC,
D是AC的中点,所以AC⊥OD.
又PO⊥底面AOC,AC⊂底面AOC,所以AC⊥PO.因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.
4.证明 (1)因为D,E分别是棱PC,AC的中点,所以PA∥DE,又PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以PA∥平面DEF.
(2)由(1)知,PA∥DE,因为PA⊥AC,所以DE⊥AC.因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,所以DE=12PA=3,EF=12BC=4,又DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF.因为EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
5.C 当b=α∩β时,必有a⊥β;当b不是α与β的交线时,直线a不一定垂直于平面β.
6.D 两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面可能平行,也可能相交,故A,B,C都有可能.
7.答案 4
解析 由a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊄α,所以b∥α,①正确;由a∥α,a⊥β,及线面平行的性质定理可得出,在α内存在直线c⊥β,故可得出α⊥β,②正确;由a⊥β,α⊥β,可得出a∥α或a⊂α,③正确;由a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b⊂α,又b⊥β,所以α⊥β,④正确.
8.答案 m∥n
解析 由题意知n⊥α,又m⊥α,所以m∥n.
9.证明 如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D.
∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AD⊂平面PAC,且AD⊥PC,
∴AD⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC,∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,∴BC⊥AC.
10.A ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,
∴∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,
∴二面角B-PA-C的大小为90°.
11.C 若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;
若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.故选C.
12.B 如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则由题意可得AF⊥BD,CF⊥BD,所以∠CFA为二面角A-BD-C的平面角,且∠CFA=90°,AF=CF=22a.在Rt△AFC中,易得AC=a,所以△ACD为正三角形.又因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,即∠AED=90°.
13.C 由条件得PA⊥BC,AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.
14.C 如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点,
在△A1BD中,∵A1D=A1B,∴A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设AA1=1,则AO=22,∴tan∠A1OA=122=2.
15.答案 90°
解析 如图,取BC的中点O,连接OA,OP.因为△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,所以PO⊥BC,AO⊥BC,
所以∠POA为二面角P-BC-A的平面角,且OP=OA=3.又PA=6,所以△POA为直角三角形,所以∠POA=90°.
16.C A错,有可能l∥β;B错,有可能l∥β;C正确;D错,直线l与平面β可能平行,可能相交,还可能l⊂β.故选C.
17.A 由ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,得ME⊥平面AC.
18.D 因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DF为△ABC的中位线,则BC∥DF,依据线面平行的判定定理,可知BC∥平面PDF,故A中结论正确;因为E为BC的中点,且PB=PC,AB=AC,所以BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知BC⊥平面PAE,因为BC∥DF,所以DF⊥平面PAE,故B中结论正确;因为DF⊂平面PDF,DF⊥平面PAE,所以平面PDF⊥平面PAE,故C中结论正确;假设平面PDF⊥平面ABC,则由平面PDF∩平面ABC=DF,AE⊂平面ABC,AE⊥DF,DF⊂平面PDF,得AE⊥平面PDF,所以AE⊥PD,AE⊥PF,由条件知此垂直关系不一定成立,故D中结论不正确.
19.解析 取AD的中点G,连接PG,BG.∵△PAD是等边三角形,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG⊂平面PAD,∴PG⊥平面AC,∴∠PBG为PB与平面AC所成的角θ.易知在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,∴∠PBG=45°,即θ=45°.
20.证明 如图所示,分别取CD的中点M,BE的中点N,连接A'M,A'N,MN,则MN∥BC.
∵AB=12AD,E是AD的中点,∴AB=AE,即A'B=A'E,∴A'N⊥BE.∵A'C=A'D,∴A'M⊥CD.在四边形BCDE中,CD⊥MN,又∵MN∩A'M=M,∴CD⊥平面A'MN,∴CD⊥A'N.∵DE∥BC且DE=12BC,
∴直线BE必与直线CD相交.又∵A'N⊥BE,A'N⊥CD,∴A'N⊥平面BCDE.
又∵A'N⊂平面A'BE,∴平面A'BE⊥平面BCDE.
能力提升练
一、单项选择题
1.D 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点,二面角D-AA1-E的两个半平面与二面角B1-AB-D的两个半平面是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.故选D.
2.C 因为AB=BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC.又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
3.B 对于①,因为BC∥AD,AD与DF相交,不垂直,所以BC与DF不垂直,故①不可能成立;对于②,如图,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时,有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,故②可能成立;对于③,当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,故③可能成立;对于④,因为点D的射影不可能在FC上,所以④不可能成立.故选B.
4.B 由题易得该几何体表示一个正八面体,如图所示,此时I,H,G,F分别与A,B,C,D重合,
根据正八面体的性质,可得平面BCJ∥平面EAD,故选B.
5.B 对于①,因为n可以在平面α内,所以错误;对于②,因为根据线面垂直的判定定理知,当一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直时,才能推出线面垂直,所以错误;对于③,易知结论正确;对于④,因为直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线,所以错误;对于⑤,根据线面垂直的判定定理知结论正确;对于⑥,因为当直线m与直线n都和平面α平行并且和平面β垂直时,两条直线互相平行,所以错误.故选B.
二、多项选择题
6.ABD 对于A,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α,β相交,故A是假命题;对于B,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,且m,n相交,则α∥β,故B是假命题;对于C,若α∥β,γ∥β,则γ∥α,故C是真命题;对于D,若α⊥β,m⊥β,则m∥α或m⊂α,故D是假命题.故选ABD.
7.ABC 在A中,连接AC,取AC的中点O,BE的中点M,连接MO,MF,易证明四边形AOMF是平行四边形,即AC∥FM,AC⊄平面BEF,所以AC∥平面BEF,所以A正确;在B中,设B,C,E,F四点共面,因为BC∥AD,BC⊄平面ADEF,所以BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,所以AD∥EF,这与已知相矛盾,故B,C,E,F四点不可能共面,所以B正确;在C中,连接CF,DF,在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,所以EF⊥平面CDF,所以CD⊥EF,显然CD⊥AD,EF与AD必相交,所以CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,所以C正确;在D中,延长AF至点G,使得AF=FG,连接BG,EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于点N,则FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,前后矛盾,故D错误.故选ABC.
三、填空题
8.答案 34
解析 如图,过点A作平面β的垂线,垂足为C,在平面β内过点C作l的垂线,垂足为D,连接AD,易知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角,所以∠ADC=60°.
由已知得∠ABD=30°,连接CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角.设AD=2,
则AC=3,AB=ADsin30°=4,所以sin∠ABC=ACAB=34.
9.答案 ①③④⇒②(答案不唯一)
解析 m⊥n,将m和n平移到相交的位置,此时确定一平面,设为γ.
∵n⊥β,m⊥α,∴平面γ与平面α和平面β的交线也互相垂直,
从而平面α和平面β形成的二面角的平面角为90°,∴α⊥β.故①③④⇒②.
10.答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
解析 连接AC,由题意得BD⊥AC,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
四、解答题
11.证明 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵F,F1分别是AC,A1C1的中点,
∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1,
∴B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1⊂平面AB1F1,∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
12.解析 如图,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD,设CO=a.
∵AO⊥α,BC⊂α,∴AO⊥BC.又AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,
而AD⊂平面AOD,∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.
由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α,知AO⊥OB,AO⊥OC.
∵∠ABO=30°,∠ACO=45°,CO=a,∴AO=a,AC=2a,AB=2a.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∴BC=AC2+AB2=6a,∴AD=AB·ACBC=2a·2a6a=233a.
在Rt△AOD中,sin∠ADO=AOAD=a233a=32,∴∠ADO=60°,即二面角A-BC-O的大小是60°.
13.解析 (1)证明:如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
∵△ABD是等腰直角三角形,∴DO⊥AB,且DO=22AD.
同理得CO⊥AB,且CO=22AC,∵AD=AC,∴DO=CO=22AC.
∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2,∴△CDO为等腰直角三角形,DO⊥CO,
又AB∩CO=O,∴DO⊥平面ABC.又∵DO⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)取BD的中点E,连接CE,OE.易知△BCD为等边三角形,∴CE⊥BD.
又∵△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角.
由(1)易证得CO⊥平面ABD,∴CO⊥OE,∴△COE为直角三角形.
设BC=1,则CE=32,OE=12,∴cs∠OEC=OECE=33,即二面角C-BD-A的余弦值为33.
14.解析 (1)证明:∵CD⊥CB,CD⊥CF,CB∩CF=C,∴CD⊥平面BCF,
又∵CD⊂平面CDEF,∴平面CDEF⊥平面BCF.
(2)如图,在线段CF上存在一点G,当CG=32时符合题意.
由(1)得平面CDEF⊥平面BCF,在平面BCF内,作BO⊥CF于点O,
∵平面CDEF∩平面BCF=CF,∴BO⊥平面CDEF.
过点O作OH⊥EH交CF于点G,连接BH,
∵HO为HB在平面CEG内的射影,
∴∠BHO是锐二面角B-EG-D的平面角,
易得∠BCF为锐二面角A-CD-F的平面角,∴∠BCF=60°,又∵BC=AD=2,
∴BO=3,
又∵锐二面角B-EG-D的余弦值为14,
易得BH=455,OH=55.
取CF的中点M,连接EM,易知△OHG与△EMG相似,设OG=x(x>0),则OHOG=EMEG,
即55x=39+(2-x)2,解得x=12或x=-1322(舍去),
因此存在符合题意的点G,且CG=32.