高中数学1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系同步达标检测题

这是一份高中数学1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系同步达标检测题，共15页。

题组一 空间中向量的坐标
1.(2020陕西西安中学高二期末)已知向量{a,b,c}是空间向量的一组基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )

A.12,32,3 B.32,-12,3 C.3,-12,32 D.-12,32,3
2.(2020甘肃天水甘谷第一中学高二期末)已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=
-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b的坐标是 .
(2019湖北黄冈中学高二期中)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,
-2),c=(λ,5,5),若a,b,c共面,则实数λ= .
题组二 空间向量平行(共线)的坐标表示
4.(2020广东华南师范大学附属中学高二期末)已知a=(2,-1,2),b=(x,y,6),若a与b共线,则x-y=( )
A.5 B.6 C.3 D.9
5.(2020甘肃兰州第一中学高二期末)下列向量中与向量a=(1,-2,1)共线的单位向量是( )
A.-12,-22,-12 B.-12,-22,12
C.-12,22,-12 D.12,22,12
6.(2020重庆西南大学附中高二期末)已知在空间直角坐标系Oxyz中,O为坐标原点,且A(4,1,3),B(2,-5,1),若C为线段AB上一点且|AC||AB|=13,则点C的坐标为 ( )
A.72,-12,52B.38,-3,2 C.103,-1,73 D.52,-72,32
7.(2019上海七宝中学高二期末)已知空间向量a=(2x+1,3x,0),b=(1,y,y-3),其中x,y∈R,若存在实数λ使得a=λb成立,则x+y= .
题组三 空间向量数量积的坐标表示及其应用
8.(2020内蒙古集宁一中高二期末)向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值为( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1
9.(2020甘肃兰州铁路第一中学高二期末)已知O为坐标原点,OA=(1,2,-2),OB=(2,-1,4),OC=(1,1,4),点P是OC上一点,则当PA·PB取得最小值时,点P的坐标为( )
A.13,13,43 B.12,12,2 C.14,14,1D.(2,2,8)
10.(2019甘肃庆阳第二中学高二月考)若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<-4C.011.(2020河北枣强中学高二期末)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(1,0,4),C(3,0,5),D(4,1,-3),则直线AD与BC的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法判定
12.(2019上海延安中学高二期中)已知a=(cs θ,1,sin θ),b=(sin θ,1,
cs θ),则向量a+b与a-b的夹角是 .
13.(2020陕西西安高新第一中学高二期末)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.
题组四 空间直角坐标系的应用
14.(2020云南曲靖第一中学高二期末)三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,A1P=λA1B1,C1C=3C1M,若PN⊥BM,则λ=( )
A.12 B.13 C.23 D.34
能力提升练
题组一 空间向量坐标的应用
1.(2019浙江诸暨牌头中学高二期末,)在空间直角坐标系中,A(3,3,0),B(0,0,1),点P(a,1,c)在直线AB上,则( )

A.a=1,c=13 B.a=1,c=23 C.a=2,c=13 D.a=2,c=23
2.(2020北京八中高二期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量不能构成空间向量的一组基底,则实数λ的值为( )
A.0 B.5 C.9 D.657
(2019江西南昌八一中学高二月考,)在空间直角坐标系中,A(1,1,
-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则( )
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0 C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
4.(2019内蒙古包头第九中学高二月考,)已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为( )
A.12,34,13 B.12,32,34 C.43,43,83 D.43,43,73
5.(2019山东寿光第一中学高二月考,)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
6.(多选)(2019吉林长春高二期中,)已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若|PQ|=3|MN|且PQ∥MN,则Q点的坐标可以为( )
A.(2,5,0) B.(-4,-1,-6) C.(3,4,1)D.(-3,-2,-5)
7.(2020陕西西安中学高二期末,)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y= .
题组二 空间直角坐标系的应用
8.(2019河北张家口一中高二期中,)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1,AA1=3,E为线段AB上一个动点,则D1E+CE的最小值为( )
A.22B.10C.5+1D.2+2
9.(2019浙江温州高二期中,)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )
A.55,1 B.55,2 C.255,1D.255,1
10.(2020青海西宁五中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求BN的模;
(2)求cs的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
答案全解全析
基础过关练
1.B 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为32,-12,3.
2.答案 (-5,7,7)
解析 由a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,得a-2b=(-i+j+3k)-2(2i-3j-2k)=(-i+j+3k)-(4i-6j-4k)=(-i-4i)+(j+6j)+(3k+4k)=-5i+7j+7k,则a-2b=(-5,7,7).
3.答案 4
解析 易知向量a,b不共线.∵向量a,b,c共面,
∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即(λ,5,5)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),
∴2x-y=λ,-x+4y=5,3x-2y=5,解得x=3,y=2,λ=4.
4.D 因为a与b共线,所以x2=y-1=62,解得x=6,y=-3,所以x-y=9.故选D.
5.C 因为|a|=12+(-2)2+12=2,
所以与向量a共线的单位向量是12,-22,12或-12,22,-12.
故选C.
6.C ∵C为线段AB上一点,且3|AC|=|AB|,∴AC=13AB,
∴OC=OA+AC=OA+13AB
=(4,1,3)+13(-2,-6,-2)
=103,-1,73.故选C.
7.答案 2
解析 ∵a=(2x+1,3x,0),b=(1,y,y-3),且a=λb,x,y,λ∈R,∴2x+1=λ,3x=λy,0=λ(y-3),
解得x=-1,y=3,λ=-1,∴x+y=2.
8.C 由a=(2,4,x)且|a|=6,得6=22+42+x2,解得x=±4,又a⊥b,∴(2,4,x)·(2,y,2)=4+4y+2x=0,当x=4时,有4+4y+8=0,此时y=-3,当x=-4时,有4+4y-8=0,此时y=1,故x+y的值为1或-3.
9.A 设OP=λOC=(λ,λ,4λ)(0≤λ≤1),则
PA=(1-λ,2-λ,-2-4λ),PB=(2-λ,-1-λ,4-4λ),
故PA·PB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(-1-λ)+(-2-4λ)(4-4λ)=18λ2-12λ-8=18×λ-132-10,
∴当λ=13时,PA·PB取得最小值-10,
此时点P的坐标为13,13,43.
故选A.
10.B 由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共线,故选B.
11.B ∵A(1,2,3),B(1,0,4),C(3,0,5),D(4,1,-3),
∴AD=(3,-1,-6),BC=(2,0,1),
又∵AD·BC=3×2+(-1)×0+(-6)×1=0,
∴AD⊥BC,∴直线AD与BC垂直.
故选B.
12.答案 π2
解析 a+b=(cs θ+sin θ,2,sin θ+cs θ),a-b=(cs θ-sin θ,0,sin θ-cs θ),
∴(a+b)·(a-b)=cs 2θ-sin 2θ+sin 2θ-cs 2θ=0,
∴(a+b)⊥(a-b),
故a+b与a-b的夹角为π2.
解析 a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=
(-1,0,2).
(1)cs θ=a·b|a||b|=-1+0+02×5=-1010,
所以a和b的夹角θ的余弦值为-1010.
(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4).
因为ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
即2k2+k-10=0,解得k=-52或k=2.
14.C 如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),
∴A1B1=(1,0,0),∴A1P=(λ,0,0),
则P(λ,0,1),又N12,12,0,B(1,0,0),M0,1,23,所以PN=12-λ,12,-1,BM=-1,1,23,
所以PN·BM=λ-12+12-23=0,解得λ=23.故选C.
能力提升练
1.B ∵点P(a,1,c)在直线AB上,
∴存在唯一实数λ使得AB=λBP,
又AB=(-3,-3,1),BP=(a,1,c-1),
∴(-3,-3,1)=λ(a,1,c-1),
即(-3,-3,1)=(λa,λ,λc-λ),
∴-3=λa,-3=λ,1=λc-λ,解得λ=-3,a=1,c=23.故选B.
2.D ∵a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),∴a与b不共线,又a,b,c三向量不能构成空间向量的一组基底,∴a,b,c三向量共面,∴存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb,即2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=λ,解得λ=657,故选D.
3.A AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2),因为A,B,C,D四点共面,所以AB,AC,AD共面,即存在唯一的实数对(λ,μ),使得AD=λAB+μAC,即x-1=-2μ,y-1=λ+2μ,z+2=-λ+2μ,消去λ,μ得2x+y+z=1,故选A.
4.C ∵点Q在直线OP上运动,∴O,P,Q三点共线,∴存在唯一的实数λ使得OQ=λOP=(λ,λ,2λ),
∴QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6×λ-432-23,
当且仅当λ=43时,上式取得最小值,
此时点Q的坐标为43,43,83.故选C.
5.C 由题意可得|a|=14,且b=-2a,又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,
又cs=a·c|a||c|=-714=-12,
所以=120°,故选C.
6.AB 设Q(x,y,z),∴PQ=(x+1,y-2,z+3).
∵M(1,2,3),N(2,3,4),∴MN=(1,1,1).
∵|PQ|=3|MN|且PQ∥MN,
∴PQ=3MN或PQ=-3MN,
∴(x+1,y-2,z+3)=3(1,1,1)或(x+1,y-2,z+3)=-3(1,1,1),
∴x=2,y=5,z=0或x=-4,y=-1,z=-6,
∴Q点的坐标为(2,5,0)或(-4,-1,-6).故选AB.
7.答案 257
解析 已知AB⊥BC,由题意,可得BP⊥AB,BP⊥BC.
利用向量数量积的运算公式,可得3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-3z=0,
解得x=407,y=-157,z=4,
∴x+y=407-157=257.
8.B 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),D1(0,1,3),C(1,1,0).∵E为线段AB上一个动点,∴设E(t,0,0)(0≤t≤1),
则D1E=t2+1+3=t2+4,CE=(t-1)2+1,
故问题转化为求D1E+CE=t2+4+(t-1)2+1的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由此可知,当M,P,N三点共线时,
(D1E+CE)min=[t2+4+(t-1)2+1]min=|MN|=1+9=10,故选B.
9.A 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则G12,0,1,E0,1,12,设D(0,y,0),F(x,0,0),则GD=-12,y,-1,EF=x,-1,-12,∵GD⊥EF,∴GD·EF=0,即-12x-y+12=0,即x+2y=1,又∵0∴当y=25时,|DF|min=5×425-85+1=55;当y=0时,|DF|=1;当y=12时,|DF|=12,故线段DF的长度的取值范围为55,1.
10.解析 以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)依题意,B(0,1,0),N(1,0,1),∴BN=(1,-1,1),∴|BN|=3.
(2)依题意A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1·CB1=1×0-1×1+2×2=3,|BA1|=6,|CB1|=5,
∴cs=BA1·CB1|BA1||CB1|=3010.
(3)证明:∵C1(0,0,2),M12,12,2,∴C1M=12,12,0,又由(2)可得A1B=(-1,1,-2),
∴A1B·C1M=-12+12+0=0,
∴A1B⊥C1M,∴A1B⊥C1M.