人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质当堂达标检测题，共10页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知F1,F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 利用方程研究椭圆的几何性质
1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( )
A.(-3,0)B.(-4,0)
C.(-10,0)D.(-5,0)
2.(2019江西九江一中月考)已知正数m满足m2-2m=8,则椭圆x2+y2m=1的焦点坐标为( )
A.(±3,0)B.(0,±3)
C.(±3,0)或(±5,0)D.(0,±3)或(±5,0)
3.(2020广东深圳外国语学校高二检测)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为( )
A.8B.6 C.5 D.4
4.(2020广东深圳中学高二检测)设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,则椭圆的焦距等于( )
A.463 B.263 C.433D.233
5.已知焦点在x轴上的椭圆的方程为x24a+y2a2-1=1,随着a的增大该椭圆的形状( )
A.越扁B.越接近于圆
C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆
6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标以及顶点坐标.
题组二 根据几何性质求椭圆的标准方程
7.(2019河南郑州第二次质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为23,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为( )
A.x23+y2=1B.x23+y22=1
C.x29+y24=1D.x29+y25=1
8.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(-3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )
A.x24+y2=1B.x2+y24=1
C.x23+y2=1D.x2+y23=1
9.(2020河北唐山高三模拟)已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2且S△AF1F2=2,则椭圆C的方程为( )
A.x26+y22=1B.x28+y24=1
C.x28+y22=1D.x220+y216=1
10.(2019贵州贵阳高二模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为4,则椭圆的标准方程为 .
11.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=2π3时,△F1PF2的面积最大,求椭圆的标准方程.
题组三 椭圆的离心率问题
12.与椭圆x29+y24=1有相同离心率的椭圆方程是( )
A.y29+x24=1B.x236+y225=1
C.y236+x225=1D.x236+y211=1
13.(2019山东滨州高二模拟)若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )
A.12B.33C.22D.24
14.(2020河北秦皇岛高二模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,若△AF1B为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )
A.12B.32 C.13 D.33
15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F,以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )
A.35B.12
C.23D.34
16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( )
A.32B.22
C.13D.12
17.设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=a2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.0,22B.0,33
C.22,1D.33,1
18.在以原点O为中心,F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的离心率为 ( )
A.22B.33
C.63D.24
19.椭圆x24+y2m=1的离心率为12,则m= .
20.(2020辽宁锦州高二模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是 .
21.(2019山东济南外国语学校高三摸底考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,A为椭圆上一点,连接AF2,交y轴于点M,若∠F1AF2=π2,且3|OM|=|OF2|,求该椭圆的离心率.
答案全解全析
基础过关练
1.D 圆x2+y2-6x+8=0的圆心为(3,0),所以椭圆中c=3,又2b=8,所以b=4,于是a=b2+c2=5,故左顶点为(-5,0).
2.B 因为正数m满足m2-2m=8,所以m2-2m-8=0,所以m=4,故椭圆方程为x2+y24=1,其焦点坐标为(0,±3).
3.A 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=ca=53,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=25,因此b=a2-c2=36-20=4,则椭圆的短轴长为2b=8.
4.A 不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A为长轴的左端点,B为长轴的右端点,因为∠CBA=45°,AB=4,BC=2,所以2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,所以c=4-43=263,所以焦距2c=463.
5.B 依题意有4a>0,a2-1>0,4a>a2-1,解得16.解析 椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m>0.
因为m-mm+3=m(m+2)m+3>0,所以m>mm+3,所以a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.
由e=32,得m+2m+3=32,所以m=1,故椭圆的标准方程为x2+y214=1,a=1,b=12,c=32,
所以椭圆的长轴长为2a=2,短轴长为2b=1,焦点坐标为-32,0,32,0,四个顶点的坐标分别为(-1,0),(1,0),0,-12,0,12.
7.D 由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以a=3.因为椭圆的离心率e=ca=23,所以c=2,所以b2=a2-c2=5,所以椭圆C的方程为x29+y25=1.
8.A 依题意,椭圆的焦点在x轴上,设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c=3,2a=4b,a2-b2=c2,
所以a=2,b=1,所以该椭圆的标准方程为x24+y2=1.
9.A 由题意可知|OA|=c,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x0,y0),则x0=c·cs 30°=32c,y0=c·sin 30°=12c,即A32c,12c,代入椭圆的方程可得3c24a2+c24b2=1①,由S△AF1F2=2,得S△AF1F2=12×2c×12c=12c2=2,即c2=4,又c2=a2-b2,结合①,可得a2=6,b2=2,故椭圆的方程为x26+y22=1.
10.答案 x216+y24=1
解析 由题意可知e=ca=32,2b=4,所以b=2,所以ca=32,a2=b2+c2=4+c2,
所以a=4,c=23,所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.
11.解析 因为当点P为短轴端点时,S△F1PF2最大,所以∠PF1F2=π6,因此tanπ6=bc,由题意知c=3,所以b=3,于是a2=b2+c2=12,故椭圆的标准方程为x212+y23=1.
12.A 椭圆y29+x24=1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大小完全一样,只是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同.经检验,其他选项不满足题意,故选A.
13.C 依题意可知,2b=2c,所以a=b2+c2=2c,所以椭圆的离心率e=ca=22.
14.D 由△AF1B为等边三角形,可得2c=32×2b2a,所以2ac=3(a2-c2),即3e2+2e-3=0,又e∈(0,1),所以e=33.
15.A 因为圆O与直线BF相切,所以圆O的半径为bca,即OC=bca,因为四边形FAMN是平行四边形,所以点M的坐标为a+c2,bca,代入椭圆方程得(a+c)24a2+c2b2a2b2=1,所以5e2+2e-3=0,又016.D 因为AP=2PB,所以|AP|=2|PB|.记O为坐标原点,则PO∥BF,所以|PA||AB|=|AO||AF|=23,即aa+c=23,故e=ca=12.
17.D 由题意可设Pa2c,y0,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=a2c-c2+y02,整理得y02=3c2+2a2-a4c2.因为y02≥0,所以3c2+2a2-a4c2≥0,即3e2-1e2+2≥0,又018.C 不妨设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,则点N的坐标为c2,0.设|MF1|=2|MO|=2|MF2|=2t(t>0),根据勾股定理可知,|MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2|2,从而c=62t,又|MF1|+|MF2|=2a,所以a=3t2,则e=ca=63.
19.答案 3或163
解析 当焦点在x轴上时,4-m2=12⇒m=3;当焦点在y轴上时,m-4m=12⇒m=163.综上,m=3或m=163.
20.答案 13,1
解析 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=23a.易知|PF2|≥a-c,所以a-c≤2a3,所以a3≤c,所以ca≥13,故椭圆的离心率的取值范围是13,1.
21.解析 设AF1=m,AF2=n.如图所示,由题意易得Rt△AF1F2∽Rt△OMF2,所以AF1AF2=OMOF2=13,所以n=3m,又m+n=2a,m2+n2=4c2,所以m2=a24,n2=9m2=9a24,a24+9a24=4c2,所以ca=104,故该椭圆的离心率为104.