高中数学2.7.2 抛物线的几何性质习题

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题组一 抛物线的几何性质及其应用
1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是( )
A.(-m,-n)B.(m,-n)
C.(-m,n)D.(-n,-m)
2.(2020山东寿光现代中学高二月考)若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线的准线的距离为d,则d的取值范围是( )
A.[6,+∞)B.[3,+∞)
C.(6,+∞)D.(3,+∞)
3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18B.24C.36D.48
4.(2020湖南岳阳一中高二期中)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
5.顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1)的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是 .
6.(2020湖北天门高二月考)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23 =1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
7.已知A(2,0),B为抛物线y2=x上的一点,则|AB|的最小值为 .
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
题组二 抛物线的焦点弦问题
9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|的值为( )
A.10B.8C.6D.4
10.(2020江西景德镇高二期末)过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|=( )
A.4B.6C.3D.8
11.(2020江西吉安高二期末)直线l过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F交抛物线于M,N两点,且满足1|FM|+1|FN|=2,若MF=2FN,则|MN|=( )
A.18B.94C.22+2D.6
12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值为( )
A.4B.-4C.p2D.-p2
13.(2020广东华南师大附中高二月考)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.334B.938C.6332D.94
14.(2020辽宁省实验中学高二月考)设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则OA·OB的值是 .
15.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,求弦AB的中点到直线x+12=0的距离.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由抛物线关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上.
2.B 由已知得2p=12,所以p2=3,因此d的取值范围是[3,+∞).
3.C 不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),|AB|=2p=12,所以p=6,点P到AB的距离为p=6,故S△ABP=12×12×6=36.
4.B 不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=12×2p×4p=4p2.
5.答案 (0,-4)
解析 依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则有42=2p·1,即2p=16,于是抛物线的方程为x2=16y,其准线为y=-4,准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).
6.答案 6
解析 设△ABF的边长为a,依题意有32a=p,所以a=2p3,不妨设点B在第四象限,则Bp3,-p2,代入方程x23-y23=1得p=6.
7.答案 72
解析 设点B(x,y),则x=y2≥0,所以|AB|=(x-2)2+y2=(x-2)2+x=x2-3x+4=x-322+74,所以当x=32时,|AB|取得最小值,且|AB|min=72.
8.解析 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M0,-p2.
因为|AF|=3,所以y0+p2=3.
因为|AM|=17,所以x02+y0+p22=17,
所以x02=8,代入方程x02=2py0,得8=2p·3-p2,解得p=2或p=4.
故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
9.B 因为y2=4x,所以2p=4,p=2.由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,故|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8.
10.B 因为y2=4x,所以2p=4,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,依题意有x1+x22=2,所以x1+x2=4,于是|AB|=x1+x2+2=6.
11.B 由于MF=2FN,所以F在M,N之间,向量MF,FN方向相同,因此有|FM|=2|FN|,又因为1|FM|+1|FN|=2,所以|FM|=32,|FN|=34,因此|MN|=|FM|+|FN|=94.
12.B 易得x1x2=p24,y1y2=-p2,由于kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2,故kOA·kOB=-p2p24=-4.
13.D 易知p=32,所以F34,0,直线AB的斜率k=33,故直线AB的方程为y=33x-34,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=212+32=12.O到直线AB的距离d=p2·sin 30°=38,所以△OAB的面积S=12|AB|·d=94.
14.答案 -34
解析 解法一:当直线斜率不存在时,易得A12,1,B12,-1,所以OA·OB=-34.当直线斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y=kx-12,由y=kx-12,y2=2x可得y2-2ky-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2k,y1y2=-1,从而x1x2=1ky1+12·1ky2+12=14,所以OA·OB=x1x2+y1y2=14-1=-34.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2).由题易得p=1,所以x1x2=p24=14,y1y2=-p2=-1.所以OA·OB=x1x2+y1y2=14-1=-34.
15.解析 易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点14,0,所以AB为焦点弦.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,|AB|=x1+x2+12=4,所以x1+x22=74.故AB的中点到直线x+12=0的距离为74+12=94.