高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列课堂检测

4.2.2　离散型随机变量的分布列

基础过关练

题组一　离散型随机变量的分布列

1.(2020山西大同中学高二模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,记下它的颜色,写出这两次取出白球数X的分布列为　　　　　　　　. 

2.(2019贵州省实验中学高一模拟)一袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中同时取出3个球,以X表示取出球的最大号码,求X的分布列.

3.(2020云南昆明高二期中)袋中有8个形状、大小均相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.

(1)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;

(2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为X,求X的分布列.

题组二　分布列的性质及应用

4.(2020吉林吉化一中高二期中)设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X的分布列的一组概率数据是　(　　)

A.0,,0,0, B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1-p(0≤p≤1) D.,,…,

5.(2019湖北黄冈中学高二模拟)如果X是一个离散型随机变量,那么下列命题为假命题的是　　(　　)

A.X取一个可能值的概率是非负实数

B.X取所有可能值的概率之和为1

C.X取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和

D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

6.(2019新疆沙雅第二中学高二期中)已知随机变量X的分布列如下表:

则m的值为(　　)

A. B. C. D.

7.(2019陕西西安中学高二期末)设随机变量X的分布列中P(X=i)=a,i=1,2,3,则a的值为(　　)

A.1 B. C. D.

8.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么(　　)

A.n=6   B.n=4 C.n=10 D.n=9

9.(2019山东济宁曲阜实验中学高二模拟)抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ≤4)等于(　　)

A. B. C. D.

10.(2019河北邯郸鸡泽第一中学高二月考)随机变量ξ的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P的值为(　　)

A. B. C. D.

题组三　两点分布

11.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)

A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=

D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X

12.(2019安徽亳州二中高二期末)已知离散型随机变量X的分布列如下,则常数c为(　　)

A. B. C.或 D.

13.(2019湖北随州高二模拟)已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为　　　　　　　　. 

能力提升练

题组一　分布列的性质及应用

1.(2019山西省实验中学高二月考,)若随机变量η的分布列如下表:

则P(|η-3|=1)=(　　)

A.0.4   B.0.5     C.0.6 D.0.7

2.(2020青海西宁二中高二月考,)离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y是0~9之间的自然数)代替,分布列如下:

则P等于(　　)

A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55

3.(2019吉林长春一中高二期末,)随机变量X的分布列如下表,其中2b=a+c,且c=ab,

则P(X=2)=(　　)

A. B. C. D.

4.(2020安徽合肥二中高二段考,)两名学生参加考试,随机变量X代表通过的学生数,其分布列为

那么这两人通过各自考试的概率的最小值分别为 (　　)

A.; B.;

C.; D.;

5.(2019天津红桥高二模拟,)已知随机变量X的分布列如下:

若Y=2X-3,则P(Y=5)的值为　　　　. 

6.(2020山东寿光现代中学高三模拟,)设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=　　　　. 

题组二　分布列的综合应用

7.(2019河北邢台一中高二月考,)已知随机变量X的分布列为

若P(X2<x)=,则实数x的取值范围是(　　)

A.4≤x≤9 B.4<x≤9

C.4≤x<9 D.4<x<9

8.()设离散型随机变量X的分布列为

则下列各式中成立的是(　　)

A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=1

C.P(X<3)=1           D.P(X<0)=0

9.(2019河南信阳高二期末,)如图所示,A,B两点由5条线路并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线路且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=　　　　. 

10.(2019江西新余中学高二模拟,)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则如下:以O为起点,从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

 (1)求小波参加学校合唱团的概率;

(2)求X的分布列.

11.(2020湖南湘潭一中高二期末,)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.

(1)求概率P(ξ=0);

(2)求ξ的分布列.

12.(2019广西柳州高级中学高三月考,)某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:

若该公司注册的会员中没有消费超过5次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:

假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:

(1)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;

(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为X元,求X的分布列.

答案全解全析

4.2.2　离散型随机变量的分布列

基础过关练

1.答案　

解析　由题意可得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)=×=,P(X=1)=2××=,P(X=2)=×=.

∴X的分布列为

2.解析　随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.

从袋中随机取3个球,包含的基本事件总数为=20,事件“X=3”包含的基本事件总数为=1,事件“X=4”包含的基本事件总数为=3,事件“X=5”包含的基本事件总数为=6,事件“X=6”包含的基本事件总数为=10.

从而有P(X=3)=,P(X=4)=,

P(X=5)==,P(X=6)==,

∴随机变量X的分布列为

3.解析　(1)摸出的2个小球为异色球的种数为+=19,从8个球中摸出2个小球的种数为=28,故所求概率 P=.

(2)由题意知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3.符合条件的摸法包括以下三种:

①摸得1个红球,1个黑球,1个白球,共有=12种,

②摸得2个红球,1个其他颜色球,共有=24种,

③所摸得的3个球均为红球,共有=4种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种.

故P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,

故X的分布列为

4.D　根据分布列的性质可知,所有的概率和等于1,而++…+=1-+-+…+-=1-=,所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值,故选D.

5.D　X取一个可能值的概率的范围为[0,1],X取所有可能值的概率之和为1,由概率加法得X取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和,X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和,所以D错,故选D.

6.B　由分布列中概率之和为1,得++m++=1,解得m=,故选B.

7.D　因为P(X=i)=a,i=1,2,3,所以a=1,所以a=,故选D.

8.C　由题意知,P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++==0.3,故n=10.故选C.

9.A　点数之和ξ的所有可能取值为2,3,4,…,12,所以P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=++=,故选A.

10.D　∵P(X=n)=(n=1,2,3,4),∴+++=1,∴a=,

∵P=P(X=2)+P(X=3)=×+×=,故选D.

11.A　A中随机变量X的可能取值有6个,不服从两点分布,故选A.

12.A　由随机变量的分布列知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,

∴c=,故选A.

13.答案　

解析　P(X=0)=.故X的分布列如下:

能力提升练

1.D　由题意可得0.1+0.2+0.3+m=1,解得m=0.4,因此,P(|η-3|=1)=P(η=2)+P(η=4)=0.4+0.3=0.7.故选D.

2.B　根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是0~9之间的自然数可解得x=2,y=5,

故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.故选B.

3.A　由得

则P(X=2)=,故选A.

4.B　依题意得,这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的.设这两人通过各自考试的事件分别是A,B,依题意得,[1-P(A)]·[1-P(B)]=,P(A)P(B)=1--=,解得P(A)=,P(B)=或P(A)=,P(B)=.

所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为.故选B.

5.答案　0.2

解析　当Y=5时,由2X-3=5得X=4,所以P(Y=5)=P(X=4)=0.2.

6.答案　0.5

解析　由离散型随机变量分布列的性质可得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3,

则P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+0.3=0.5.

7.B　由随机变量X的分布列知,X2的可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=,P(X2=1)=+=,P(X2=4)=+=,P(X2=9)=,∵P(X2<x)==++,∴实数x的取值范围是4<x≤9.故选B.

8.A　由分布列可得P(X>-1)=,故B错;P(X<3) =,故C错;P(X<0)=P(X=-1) =,故D错;P(X=1.5)=0,故选A.

9.答案　

解析　解法一(直接法):由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10,

五条线路从上到下依次记为C、D、E、F、G,

ξ=7,即从D、F两条线路中选一条,且C、G均选,共有=2种选法;

ξ=8,即从C、G两条线路中选一条,且D、F均选或选C、E、G三条线路,共有+1=3种选法;

ξ=9,即从C、G中选一条,从D、F中选一条,并选上E,共有=4种选法;

ξ=10,即选D、E、F三条线路,共有1种选法.

从五条线路中选三条,共有=10种选法,

∵P(ξ=7)==,

P(ξ=8)=,

P(ξ=9)==,

P(ξ=10)=,

∴ξ的分布列为

∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=++=.

解法二(间接法):由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10,故P(ξ≥8)与P(ξ=7)是对立事件.

由解法一可得,P(ξ=7)=,

所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-=.

10.解析　(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28种,X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,

所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)==.

(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1.X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形;X=0时,有8种情形.

所以X的分布列为

11.解析　(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱.

所以P(ξ=0)==.

(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对.

ξ的所有可能取值为0,1,,

则P(ξ=)===,

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.

所以随机变量ξ的分布列是

12.解析　(1)∵第1次消费为200元,利润为50元,第2次消费为190元,利润为40元,

∴两次消费中,公司获得的平均利润为45元.

(2)∵公司成本为150元,

∴消费一次公司获得的平均利润为50元,

消费两次公司获得的平均利润为=45元,

消费三次公司获得的平均利润为=40元,

消费四次公司获得的平均利润为=35元,

消费五次公司获得的平均利润为=30元,

∴ 若该会员消费一次,则X=50,P(X=50)=0.6;

若该会员消费两次,则X=45,P(X=45)=0.2;

若该会员消费三次,则X=40,P(X=40)=0.1;

若该会员消费四次,则X=35,P(X=35)=0.05;

若该会员消费五次,则X=30,P(X=30)=0.05.

故X的分布列为