高中数学5.1.1 数列的概念练习题

第五章　数列

5.1　数列基础

5.1.1　数列的概念

基础过关练

题组一　对数列概念的理解

1.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于(　　)

A.11 B.12 

C.13 D.14

2.有下面四个结论,其中正确的为(　　)

①数列的通项公式是唯一的;

②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数;

③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点;

④每个数列都有通项公式.

A.①② B.②③ 

C.③④ D.①④

3.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

A.-1,-2,-3,-4,…

B.-1,-,…

C.-1,-2,-4,-8,…

D.1,,…,

题组二　求数列的通项公式

4.若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是(　　)

A.an=1+(-1)n+1

B.an=1-cos nπ

C.an=2sin2

D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)

5.(2020安徽滁州定远育才实验学校高一期末)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是(　　)

A.an=n2-n+1 B.an=

C.an= D.an=n2+1

6.(2020河北邢台第一中学高一下学期月考)若一个数列的前三项依次为6,18,54,则此数列的一个通项公式为(　　)

A.an=4n-2   B.an=2n+4

C.an=2×3n D.an=3×2n

7.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是(　　)

A.an=3n-1 B.an=2n-1

C.an=3n D.an=2n-1

8.(2020山东临沂临沭第一中学高二开学考试)如图是一系列有机物的结构图,图中的“小黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为(　　)

A.6n B.5n+1

C.5n-1 D.4n+2

9.写出下列数列的一个通项公式.

(1)-,…;

(2),…;

(3)7,77,777,7 777,….

题组三　数列通项公式的应用

10.数列{an}的一个通项公式为an=则a2a3=(　　)

A.70 B.28 

C.20 D.8

11.(2020甘肃白银会宁四中高二期中)数列,…的第10项是(　　)

A. B. 

C. D.

12.(2020山东济宁高二期末)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.大衍数列是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列的第18项为(　　)

A.200 B.162 C.144 D.128

13.若数列{an}的一个通项公式是an=3-2n,则a2n=　　　　,=　　　　. 

14.已知数列{an}的一个通项公式为an=30+n-n2.

(1)-60是不是这个数列中的项?若是,求出它是第几项,若不是,请说明理由;

(2)当n为何值时,an=0?an>0?

(3)当n为何值时,an取得最大值?最大值是多少?

题组四　数列的单调性

15.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.常数列 D.摆动数列

16.(2020北京第十一中学高三一模)数列{an}的一个通项公式为an=|n-c|(n∈N+),则“c<2”是“{an}为递增数列”的(　　)

A.必要不充分条件

B.充要条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

17.在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}是递增数列,求实数k的取值范围.

题组五　数列的最大(小)项

18.(2020河南南阳高二月考)已知数列{an}的一个通项公式为an=n,则数列{an}中的最大项为(　　)

A.    B.   C.   D.

19.(2020安徽安庆一中高三月考)数列{(25-2n)2n-1}的最大项的序号为　　　　. 

20.(2020河北石家庄实验中学高一月考)在数列{an}中,an=,则数列{an}中的最小项是第　　　　项. 

21.在数列{an}中,an=1+,且a6为最大项,则实数m的取值范围是　　　　. 

22.已知数列{bn}的一个通项公式为bn=,n∈N+,求数列{bn}的最大项.

答案全解全析

第五章　数列

5.1　数列基础

5.1.1　数列的概念

基础过关练

1.C　观察可知,该数列从第3项开始,每一项都等于它前面与它相邻两项的和,故x=5+8=13.

2.B　①数列的通项公式不一定唯一,故错误;易知②,③正确;④数列不一定有通项公式,故错误.故选B.

3.B　A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列是递减数列,只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列,故选B.

4.D　将数列{an}的前4项代入选项中检验,可得D不符合,故选D.

5.C　可采用排除法,分别令n=1,n=2,n=3,n=4,验证选项,得只有当an=时,a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,故选C.

6.C　依题意,6=6×1=6×30,18=6×3=6×31,54=6×9=6×32,所以此数列的一个通项公式为an=6×3n-1=2×3n.

7.A　由题意得,a1=1,a2=3,a3=9=32,a4=27=33,因此{an}的通项公式可以是an=3n-1.

8.B　由题图知,第1个图中有6个化学键;

第2个图中有11个化学键;

第3个图中有16个化学键,

观察可得,后一个图总比它前一个图多5个化学键,则第n个图有5n+1个化学键.

9.解析　(1)这个数列前4项的分母都是序号乘比序号大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.

(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.

(3)这个数列的前4项可以变形为×9 999,

即×(1 000-1),×(10 000-1),

即×(104-1),

所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+.

10.C　由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=2×10=20.

11.C　设该数列为{an},则由,…可求得数列{an}的一个通项公式为an=,

所以数列的第10项为a10=,故选C.

12.B　偶数项分别为2,8,18,32,50,…,

即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25,…,记为{an},则偶数项对应的一个通项公式为an=2n2,

原数列的第18项为第9个偶数,

故a9=2×92=2×81=162,即原数列的第18项为162.

13.答案　3-4n;

解析　因为an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,.

14.解析　(1)令30+n-n2=-60,即n2-n-90=0,解得n=10或n=-9(舍去),

则-60是这个数列中的项,而且是第10项,即a10=-60.

(2)令30+n-n2=0,即n2-n-30=0,

解得n=6或n=-5(舍去),

即当n=6时,an=0.

令30+n-n2>0,即n2-n-30<0,解得-5<n<6.

又n∈N+,∴当n=1,2,3,4,5时,an>0.

(3)an=30+n-n2=-,

∵n∈N+,∴当n=1时,an取得最大值,最大值为30.

15.B　由a1>0,且an+1=an,

得an>0.

又<1,

所以an+1<an,

因此数列{an}是递减数列.

故选B.

16.A　若{an}为递增数列,则an+1-an=|n+1-c|-|n-c|>0,

即(n+1-c)2>(n-c)2,

化简得c<n+,

又n∈N+,

∴n+≥,∴c<,

∴c<2⇒/{an}是递增数列,{an}是递增数列⇒c<2,

∴“c<2”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件.

17.解析　因为an=n2-kn,所以an+1=(n+1)2-k(n+1),所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.

又数列{an}是递增数列,

所以an+1-an>0,

即2n+1-k>0,即k<2n+1,

又n∈N+,所以k<3,

故k的取值范围为(-∞,3).

18.A　解法一:an+1-an=(n+1)·,

当0<n<2时,an+1-an>0,即an+1>an;

当n=2时,an+1-an=0,即an+1=an;

当n>2时,an+1-an<0,即an+1<an.

所以a1<a2=a3>a4>a5>…>an,

所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×.故选A.

解法二:,

令>1,解得0<n<2;

令=1,解得n=2;

令<1,解得n>2.

又an>0,故a1<a2=a3>a4>a5>…>an,

所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×.

故选A.

19.答案　11

解析　令an=(25-2n)2n-1,

当n≥2时,设an为最大项,

则

即

解得≤n≤,

又n∈N+,所以n=11,

易知a1=23,a11=3 072,显然a1<a11,

所以数列{(25-2n)2n-1}的最大项的序号为11.

20.答案　5

解析　因为an=,所以当n≥6时,an>0,且a6>a7>a8>…,当n≤5时,an<0,且a5<a4<a3<a2<a1,

所以当n=5时,an取得最小值.

21.答案　(-11,-9)

解析　根据题意,令y=1+,其函数大致图像如图:

∵a6为最大项,∴5<<6,

∴-11<m<-9.

22.解析　易得bn+1-bn=,且n∈N+,

∴当n=1,2,3,4,5时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3<b4<b5<b6;

当n=6,7,8,…时,bn+1-bn<0,即b6>b7>b8>…,

∴数列{bn}的最大项为b6=.