人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列同步达标检测题

5.2　等差数列

5.2.1　等差数列

基础过关练

题组一　等差数列的定义

1.数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(　　)

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

2.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}(　　)

A.是公差为1的等差数列

B.是公差为的等差数列

C.是公差为-的等差数列

D.不是等差数列

3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　)

A.26 B.29 

C.39 D.52

题组二　等差数列的通项公式

4.若等差数列{an}的前三项依次为a,2a-1,3-a,则这个数列的通项公式为　　　　　　. 

5.(2020甘肃天水第一中学高二月考)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为　　　　　　. 

6.(2020天津耀华中学高二期末)在等差数列{an}中,a1=1,a5=4a3,则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 

题组三　等差数列的基本量的运算

7.(2020福建泉州高二期末)在等差数列{an}中,若a3+a7=10,a6=7,则公差d=(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

8.(2020河北石家庄实验中学高一月考)在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为(　　)

A.52 B.51 

C.50 D.49

9.(2020江苏连云港高二期中)等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 019的值为(　　)

A.672 B.673 

C.674 D.675

10.(2020安徽安庆高二期末)在等差数列{an}中,若a2+a9=10,则3a4+a10=(　　)

A.10 B.15 C.20 D.25

11.(2020广东广州高二期末)在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则201在该数列中的序号是(　　)

A.60 B.61 C.62 D.63

12.(2020陕西延安高二期末)在1和2之间插入10个数,使它们与1,2组成等差数列,则该数列的公差为(　　)

A.  B. C. D.

13.(2020湖北武汉高二期末)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为(　　)

A.15 B.16 C.17 D.18

14.(2020广东深圳高二期末)等差数列{an}的首项为,且从第10项开始每项都比1大,则公差d的取值范围是(　　)

A.d>  B.d<

C.  D.<d≤

题组四　等差数列的性质

15.(2020吉林长春高二期末)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

16.(2020广东第二师范学院番禺附属中学高二期末)在等差数列{an}中,若a2+a4+a6=6,则a3+a5=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

17.(2020甘肃兰州高二期末)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为(　　)

A.30 B.27 C.24 D.21

18.设{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99=(　　)

A.-182 B.-78 

C.-148 D.-82

19.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8=(　　)

A.4 B.6 C.8 D.10

20.(2020湖南衡阳高二期末)已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

能力提升练

题组一　等差数列的基本量的运算

1.(2020广东珠海高二期末,)数列{an}中,a2=2,a6=0,若数列是等差数列,则a4等于(　　)

A.  B.   C.   D.

2.(2020辽宁辽阳高二期末,)若等差数列{an}的公差d=2,且a8∶a7=7∶8,则a1=(　　)

A.-15 B.-28 C.15 D.28

3.(2020吉林松原高二期末,)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,设bn=,则bn+1-bn=　　　,数列{bn}的通项公式为　　　　. 

题组二　等差数列性质的应用

4.(2020河北邯郸一中高一月考,)在等差数列{an}中,若a1,a2 015为方程 x2-10x+17=0 的两实数根,则 a2+a1 008+a2 014= (　　)

A.10 B.15 C.20 D.40

5.(2020江西九江高二期中,)已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=,则tan(a3+a9)的值为(　　)

A.0 B. C.1 D.

6.(2020辽宁葫芦岛高二期末,)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a5+a6+a8+a10+a11=40,若am=8,则m的值为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

题组三　等差数列与其他知识的综合应用

7. (2020山东济宁一中高三月考,)设a>0,b>0,lg 是lg 4a与

lg 2b的等差中项,则的最小值为(　　)

A.2  B.3 C.4 D.9

8.(2020安徽合肥第六中学高二期末,)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=6,b=2,B,A,C成等差数列,则B=(　　)

A.    B. 

C.或 D.

9.(2020重庆八中高二月考,)已知两点F1(-2,0),F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

10.(多选)(2020江苏连云港高二期末,)下列关于公差是d(d>0)的等差数列{an}的说法中正确的是(　　)

A.数列{an}是递增数列

B.数列{nan}是递增数列

C.数列是递增数列

D.数列{an+3nd}是递增数列

11.(2020河南濮阳高二期末,)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为　　　　. 

题组四　等差数列的判定与证明

12.(2020湖南高二学业考试,)已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).

(1)求a1、a2;

(2)求证:数列{an}是等差数列.

13.(2020北京丰台高二期末,)已知an=n,bn=2n-1,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s(s=1,2,3,…)个数中最大的数.

(1)求c1,c2,c3的值;

(2)证明:{cn}是等差数列.

答案全解全析

5.2　等差数列

5.2.1　等差数列

基础过关练

1.A　∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,

∴数列{an}是公差为2的等差数列.令n=1,得a1=7,故{an}的首项为7.故选A.

2.B　由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=,所以数列{an}是公差为的等差数列.

3.C　∵5,x,y,z,21成等差数列,

∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,

∴5+21=2y,∴y=13,∴x+z=2y=26,

∴x+y+z=39.

4.答案　an=+1,n∈N+

解析　由题意可得a+(3-a)=2(2a-1),

∴a=,

∴这个等差数列的前三项依次为.设这个等差数列的公差为d,

则d=,∴an=+1,n∈N+.

5.答案　an=6n-3(n∈N+)

解析　设等差数列{an}的公差为d,∵a1=3,a2+a5=36,∴3+d+3+4d=36,∴d=6,∴an=3+6(n-1)=6n-3(n∈N+).

6.答案　an=-(n∈N+)

解析　设数列{an}的公差为d,由a5=4a3得a1+4d=4(a1+2d),又a1=1,所以d=-,所以an=1+(n-1)×(n∈N+).

7.B　在等差数列{an}中,因为a3+a7=10,　a6=7,所以解得

8.A　因为数列{an}满足2an+1-2an=1,所以an+1-an=,

又a1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,

所以a101=2+100×=52,故选A.

9.B　设等差数列{an}的公差为d,

依题意,2(1-x)=x+3x,解得x=,

所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,首项a1=,

所以a2 019=+(2 019-1)×=673.

10.C　设等差数列{an}的公差为d,

则a2+a9=2a1+9d=10,

所以3a4+a10=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.

11.B　设等差数列{an}的公差为d,

则

∴

∴an=21+3(n-1)=3n+18,n∈N+.

令3n+18=201,得n=61.

12.C　设该等差数列为{an},其公差为d.

由题意可知a1=1,a12=2,

所以公差d=.

13.B　易知等差数列2,6,10,…,190的公差为4,

等差数列2,8,14,…,200的公差为6,

设将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成的新数列为{an},

则其公差为12,首项为2,所以其通项公式为an=12n-10,n∈N+.

令12n-10≤190,解得n≤,

又n∈N+,所以n的最大值为16,

即新数列的项数为16.

14.D　依题意可知∴

∴<d≤.

15.C　∵2+8=2×5,∴a2+a8=2a5=12,∴a5=6.

16.B　易得a2+a4+a6=3a4=6,所以a4=2,所以a3+a5=2a4=4.

17.B　解法一:设数列{an}的公差为d.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.

因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.

所以d=a5-a4=-2,又a6=a5+d=9,

所以a3+a6+a9=3a6=27.

解法二:由等差数列的性质可得,

a1+a3=2a2,a4+a6=2a5,a7+a9=2a8,

所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.

18.D　a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82.

19.C　∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,

∴a7-a6=8.

20.B　若“数列{an}为等差数列”成立,则必有“2a2=a1+a3”成立,而仅有“2a2=a1+a3”成立,不能断定“数列{an}为等差数列”一定成立,必须满足对任意的n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.

能力提升练

1.A　由于为等差数列,故2×,即2×,解得a4=.

2.B　设a8=7k,a7=8k,其中k为常数,则a8-a7=7k-8k=-k=2,所以k=-2,所以a7=-16,故a1=a7-6d=-16-12=-28.

3.答案　1;bn=n

解析　∵an+1=2an+2n,∴+1,

又∵bn=,∴bn+1=bn+1,∴bn+1-bn=1,

又b1==1,∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以bn=n.

4.B　∵a1,a2 015 为方程 x2-10x+17=0 的两实数根,∴a1+a2 015=10.

由等差数列的性质得2a1 008=a1+a2 015=10,即a1 008=5,

∴a2+a1 008+a2 014=3a1 008=15.

5.D　∵数列{an}为等差数列,a2+a6+a10=,

∴a2+a6+a10=3a6=,解得a6=,

∴a3+a9=2a6=,

∴tan(a3+a9)=tan.

6.D　由题意,a5+a6+a8+a10+a11=40,即(a5+a11)+(a6+a10)+a8=40,

根据等差数列的性质,可知a5+a11=a6+a10=2a8,∴5a8=40,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.

7.D　∵lg 是lg 4a与lg 2b的等差中项,

∴2lg =lg 4a+lg 2b,

即lg 2=lg(4a×2b)=lg 22a+b,

∴2a+b=1,∵a>0,b>0,

∴≥5+2=9,

当且仅当,即a=b=时取等号,

∴的最小值为9.

8.A　∵△ABC的三个内角B,A,C成等差数列,∴2A=B+C=π-A,解得A=.

由正弦定理得sin B=,又a>b,∴B<A=,∴B=.

9.B　∵F1(-2,0),F2(2,0),∴|F1F2|=4.

∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,

∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|=4,根据椭圆的定义可知动点P的轨迹曲线的形状为椭圆,F1,F2为椭圆的两个焦点.

设该椭圆方程为=1(a>b>0),

则2a=8,a=4,又c=2,∴b2=12,

∴椭圆的方程是=1.

10.AD　对于A,∵等差数列{an}的公差为d,且d>0,∴{an}是递增数列,故A正确.

对于B,nan=na1+n(n-1)d,

∴(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]=2nd+a1,无法判断其与0的大小关系,

故数列{nan}不一定递增,故B不正确.

对于C,,无法判断其与0的大小关系,故数列不一定递增,故C不正确.

对于D,设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0,

∴数列{an+3nd}是递增数列,故D正确.

故选AD.

11.答案　9

解析　因为等差数列{an}的各项都为正数,所以a3>0,a7>0,

所以a3a7≤=9,

当且仅当a3=a7=3时等号成立.

12.解析　(1)由已知条件得a1=S1=(a1+1)2,∴a1=1.

又S2=a1+a2=(a2+1)2,∴-2a2-3=0,

解得a2=-1(舍去)或a2=3.

(2)证明:由Sn=(an+1)2得,当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,

∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]

=+2(an-an-1)],

即4an=+2an-2an-1,

∴-2an-2an-1=0,

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又an+an-1>0,

∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2),

∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.

13.解析　(1)易知a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,

所以c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,　

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.

(2)证明:当k∈N+且2≤k≤n时,

(bk-ak·n)-(b1-a1·n)=[(2k-1)-nk]-(1-n)=(2k-2)-n(k-1)=(k-1)(2-n),

因为k-1>0且2-n≤0,

所以(bk-ak·n)-(b1-a1·n)≤0,即b1-a1·n≥bk-ak·n.

因此对任意n∈N+且n≥2,cn=b1-a1·n=1-n,则cn+1-cn=-1.

又c2-c1=-1,

故cn+1-cn=-1对任意n∈N+均成立,从而{cn}是等差数列.