高中人教B版 (2019)6.1.2 导数及其几何意义课后练习题

6.1.2　导数及其几何意义

基础过关练

题组一　瞬时变化率与瞬时速度

1.一质点在时间段[1,1+Δt]内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　)

A.-3 B.3 

C.6 D.-6

2.一物体的运动方程为s(t)=7t2-13t+8,则t0=　　　时该物体的瞬时速度为1. 

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2时的瞬时变化率是　　　　. 

题组二　导数

4.若函数f(x)在x0处可导,则的结果(　　)

A.与x0,h均无关

B.仅与x0有关,而与h无关

C.仅与h有关,而与x0无关

D.与x0,h均有关

5.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为f'(x0),即(　　)

A.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)

B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]

C.f'(x0)=

D.f'(x0)=

6.设f(x)是可导函数,当h→0时,→2,则f'(x0)=(　　)

A.2 B. 

C.-2 D.-

7.已知函数f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于(　　)

A.±2 B.2 

C.-2 D.-4

8.(2020重庆长寿中学高二月考)已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则(m≠0)等于(　　)

A.mf'(x0)  B.-mf'(x0)

C.-f'(x0) D.f'(x0)

9.(2020海南中学高二期末)设函数f(x)=x2+ax,且=1,则a=(　　)

A.- B.- C.1 D.-1

10.已知函数f(x)=则函数f(x)在x=1处的导数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

11.(2020陕西宝鸡高二期末)设函数f(x)可导,若=1,则f'(1)=　　　　. 

12.求函数y=在x=0处的导数.

题组三　导数的几何意义

13.如果曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(　　)

A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0

C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在

14.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)

A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)

C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定

15.已知函数f(x)的图像如图所示,则下列不等关系中正确的是(　　)

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)

B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)

C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)

D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

16.如图,函数y=f(x)的图像在点P(2,f(2))处的切线是l,则f(2)+f'(2)等于(　　)

A.-4 B.3 C.-2 D.1

17.已知曲线y=x2-2上一点P,则曲线在点P处的切线的倾斜角为(　　)

A.30° B.45° C.135° D.165°

18.下列各点中,在曲线y=f(x)=x2上,且曲线在该点处的切线的倾斜角为的是(　　)

A.(0,0) B.(2,4)

C. D.

19.(2020安徽六安一中高二期末)设f(x)为可导函数且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为(　　)

A.2 B.-1 C.1 D.-2

20.已知曲线f1(x)=2-与f2(x)=x3-x2+2x在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为(　　)

A.-2   B.1 C.    D.2

21.已知曲线f(x)=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,求的值.

题组四　求曲线的切线方程

22.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　)

A.4x-y-4=0

B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0

D.x+4y+3=0

23.已知曲线f(x)=x-,则它在与x轴交点处的切线方程为　　　　　　　　. 

24.已知曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为,求a的值.

25.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程.

答案全解全析

6.1.2　导数及其几何意义

基础过关练

1.D　由平均速度和瞬时速度的关系可知,质点在t=1时的瞬时速度为 (-3Δt-6)=-6.

2.答案　1

解析　=

=(14t0-13+7Δt)=14t0-13=1,得t0=1.

3.答案　2

解析　x=t时,y=t,则B(t,t),

则AB=t,

∴S(t)=·OA·AB=t·t2,

∴S'(2)=

=.

4.B　=f'(x0),故结果仅与x0有关,而与h无关.

5.C　根据导数的定义可知C正确.

6.C　当h→0时,由 →2,可得 →-2,则f'(x0)=-2,故选C.

7.A　f'(x)=,又f'(m)=-,

所以-,m2=4,解得m=±2.

8.B　因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),

所以

=-m=-mf'(x0).

9.D　∵f(x)=x2+ax,∴f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+a(1+Δx)]-(1+a)=(Δx)2+(a+2)Δx,

∴[Δx+(a+2)]=a+2=1,解得a=-1.

10.D　易得f(1)=4,

f'(1)=

=

= (6+3Δx)=6.

11.答案　3

解析　因为=1,所以=1,即f'(1)=1,故f'(1)=3.

12.解析　Δy=

=

=,

∴,

∴函数在x=0处的导数为=0.

13.B　∵切线x+2y-3=0的斜率为-,

∴f'(x0)=-<0.

14.B　由导数的几何意义,知f'(xA), f'(xB)分别是函数y=f(x)的图像在点A,B处切线的斜率,由题中图像可知f'(xA)<f'(xB).

15.C　A,B两点连线的斜率kAB==f(3)-f(2),

f'(2)为函数f(x)的图像在点B(2, f(2))处的切线的斜率,

f'(3)为函数f(x)的图像在点A(3, f(3))处的切线的斜率,

根据题中图像可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).

16.D　由题图可得函数y=f(x)的图像在点P处的切线l与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),则l的方程为x+y=4,∴f(2)=2, f'(2)=-1,∴f(2)+f'(2)=1,故选D.

17.B　曲线y=x2-2在点P处的切线的斜率为

==1,

所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°,故选B.

18.D　设切点坐标为(x0,y0),

则f'(x0)==1,所以x0=.

19.B　易知

==-1,

根据导数的定义可得f'(1)=-1.

故曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为-1.

20.B　由题意知,

f'1(x0)=,

f'2(x0)=

=3-2x0+2,

即两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为-2x0+2.

由题意可知,=3,所以x0=1.

21.解析　由题意知a+b=3,

又f'(1)==2a=2,

∴a=1,b=2,故=2.

22.A　设切点为(x0,y0),

易得f'(x0)=(2x0+Δx)=2x0.

由题意可知,切线l的斜率k=4,即f'(x0)=2x0=4,所以x0=2,

所以切点坐标为(2,4),切线l的方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0,故选A.

23.答案　2x-y-2=0或2x-y+2=0

解析　曲线f(x)=x-与x轴交点的坐标为(1,0),(-1,0),

易知函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=

=

=1+,

∴f'(1)=2, f'(-1)=2,

∴所求切线方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),

即2x-y-2=0或2x-y+2=0.

24.解析　∵f'(x0)=

=,

∴曲线f(x)=x3在点(a,a3)处的切线斜率为f'(a)=3a2,

∴切线方程为y-a3=3a2(x-a),即y=3a2x-2a3.

令y=0,得切线与x轴的交点为,令x=a,得y=a3.

由题意知三角形面积为,解得a=±1.

25.解析　因为y'

==2x0+1,

所以y'x=1=3,

所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x1,+x1-2),

则直线l2的方程为y-(+x1-2)=(2x1+1)(x-x1).

因为l1⊥l2,所以3(2x1+1)=-1,解得x1=-,

所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.