数学必修 第一册第1章 集合1.1 集合的概念与表示巩固练习

第1章　集合

1.1　集合的概念与表示

基础过关练

题组一　集合的概念与集合中元素的特征

1.下列说法中能构成集合的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.江苏省参加2019年高考的所有学生

B.2019年江苏高考数学试题中的所有难题

C.校园里美丽的花

D.与无理数π无限接近的数

2.(2019陕西高一期中)如果集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

3.若集合A={a,a2},则实数a的取值范围是　　　　. 

4.若集合{x|x2-2x+a=0}只含有一个元素,则实数a=　　　　. 

题组二　元素与集合的关系

5.设集合A={x|x2+2x-8=0},则下列关系正确的是(　　)

A.-2∈A B.2∈A

C.2∉A D.-4∉A

6.给出下列关系:①∈R;②∉Q;③|-3|∉N;④|-|∈Q;⑤0∉N;⑥0∈⌀.其中正确的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

7.用符号“∈”或“∉”填空.

(1)若A={x|x2=x},则-1　　　　A; 

(2)若C={x∈N|1≤x≤10},则8　　　C,9.1　　　C. 

8.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.

题组三　集合的表示方法

9.(2019江苏宿迁期中)用列举法可以将集合{(x,y)|x∈{0,1},y∈{-1,1}}表示为(　　)

A.{{0,-1},{0,1},{1,-1},{1,1}}

B.{{0,1},{-1,1}}

C.{(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1)}

D.{(0,1),(-1,1)}

10.(2019广东高一期中)下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为(　　)

A.{x|1<x<5} B.{x|1≤x≤5}

C.{x|1≤x≤5,x∈N*} D.{x|x∈N*}

11.用适当的方法表示下列集合:

(1)所有能被3整除的整数;

(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;

(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.

题组四　集合相等

12.(2019河南洛阳高一月考)下列叙述正确的是(　　)

A.方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1,-1}

B.集合M={(x,y)|x+y=5且xy=6}表示的集合是{2,3}

C.{x∈R|x2+2=0}=

D.集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是不同的集合

13.(2018江苏赣榆高级中学高一月考)已知集合A={-1,3},B={3,a},且A=B,则实数a=　　　　. 

14.(2018苏、锡、常、镇高三学情调研)设集合A={2,4},B={a2,2}(其中a<0),若A=B,则实数a=　　　　. 

15.已知集合A={x|y=x2+3},B={y|y=x2+3},C={(x,y)|y=x2+3},这三个集合相等吗?试说明理由.

能力提升练

题组一　集合中元素的特征

1.(2019安徽高一期中,)已知A={x|-1<x<k,x∈N},若集合A中恰有3个元素,则实数k的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{k|2<k<3} B.{k|2≤k<3}

C.{k|2<k≤3} D.{k|2≤k≤3}

2.(2019江苏新海高级中学月考,)已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 020+b2 019的值为(　　)

A.-2 B.1 C.-1 D.2

3.(多选)()下列选项中的两个集合相等的有(　　)

A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z}

B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*}

C.P={x|x2-x=0},Q=

D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1}

4.(2019广东中山高级中学期中,)集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　. 

5.()已知集合{x|(x-1)·(x2-x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和为1,则实数a的取值范围为　　　　. 

6.()已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a的值.

题组二　元素与集合关系的应用

7.(2019江西彭泽第一中学高一月考,)若集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,则a的取值范围是(　　)

A.a>-  B.a≥-  C.a<-  D.a≤-

8.()已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则(　　)

A.a>-4 B.a≤-2  C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2

9.(多选)(2019山东兖州月考,)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)

A.0∉M B.2∈M  C.-4∈M D.4∈M

10.(2019江苏盐城如东中学期中,)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 020a的值为　　　　. 

11.()数集A满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).

(1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;

(2)自己设计一个数属于A,然后求出A中其他所有元素;

(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并大胆证明你发现的道理.

12.()已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),求证:

(1)3∈A;

(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.

答案全解全析

第1章　集合

1.1　集合的概念与表示

基础过关练

1.A　因为未规定“难”的标准,所以选项B不能构成集合;同理,“美丽”“无限接近”都没有规定标准,所以选项C、D都不能构成集合;选项A中的对象具备确定性、互异性、无序性,所以A中元素能构成集合.

2.D　因为集合M={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,由集合中元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.

3.答案　{a|a∈R,a≠0且a≠1}

解析　由集合中元素的互异性可得a≠a2,所以a≠0且a≠1.

4.答案　1

解析　由题意可知,方程x2-2x+a=0有且只有一个实根,则Δ=4-4a=0,解得a=1.

5.B　由x2+2x-8=0,解得x1=-4,x2=2,所以A={-4,2},即2∈A.

6.B　是实数,①对;不是有理数,②对;|-3|=3是自然数,③错;|-是无理数,④错;0是自然数,⑤错;⌀中不含任何元素,0∉⌀,⑥错.故选B.

7.答案　(1)∉　(2)∈;∉

解析　(1)∵A={x|x2=x}={0,1},∴-1∉A.

(2)∵C={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

∴8∈C,9.1∉C.

8.解析　因为-3是集合A中的元素,

所以-3=a-3或-3=2a-1.

若-3=a-3,则a=0,

此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;

若-3=2a-1,则a=-1,

此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.

综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.

9.C　由题意可知,有如下组合:对应的四个元素分别为(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1).

10.C　由题图知,该集合是由自然数1,2,3,4,5组成的,故用描述法可表示为{x|1≤x≤5,x∈N*}.

11.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.

(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.

(3)B={x|x=|x|,x∈Z}.

12.C　方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1},故A错;

集合M={(x,y)|x+y=5且xy=6}表示的集合是{(2,3),(3,2)},故B错;

{x∈R|x2+2=0}=⌀,=⌀,故C正确;

集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是相同的集合,故D错.

13.答案　-1

解析　因为A=B,所以集合A,B中元素相同,则a=-1.

14.答案　-2

解析　由题意得a2=4,解得a=±2.又a<0,所以a=-2.

15.解析　三个集合不相等.理由如下:

集合A中的代表元素是x,满足条件y=x2+3的x∈R,所以A=R;

集合B中的代表元素是y,满足条件y=x2+3的y的取值范围,y的取值范围是y≥3,所以B={y|y≥3}.

集合C中的代表元素是点(x,y),又点在抛物线y=x2+3上,所以C={P|P是抛物线y=x2+3上的点}.

能力提升练

1.C　因为A={x|-1<x<k,x∈N},且集合A中恰有3个元素,所以集合A={0,1,2},所以2<k≤3.故选C.

2.B　易知a≠0,∵={a2,a+b,0},∴=0,即b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0}.∴a2=1,解得a=-1或a=1.

当a=1时,集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;

当a=-1时,集合为{-1,0,1}.

综上,a=-1,b=0.

∴a2 020+b2 019=(-1)2 020+02 019=1.

3.AC　选项A中,集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,所以P=Q;选项B中,P是由所有正奇数组成的集合,Q是由所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以P≠Q;

选项C中,P={0,1},对于Q,当n为奇数时,x==0,当n为偶数时,x==1,所以Q={0,1},P=Q;

选项D中,集合P是由直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而集合Q是由直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.

4.答案　0,1,2

解析　∵x∈N,∈N,

∴0≤x≤2且x∈N.

当x=0时,=2∈N;

当x=1时,=3∈N;

当x=2时,=6∈N.

∴集合A中的元素为0,1,2.

5.答案　∪{0}

解析　令x-1=0,解得x=1.

①若x2-x+a=0无实根,则Δ=1-4a<0,解得a>,

此时集合只有一个元素1,满足题意;

②若x2-x+a=0有两个相等实根,则Δ=1-4a=0,解得a=,

即x2-x+=0,解得x1=x2=.此时集合为,不满足元素之和为1;

③若x2-x+a=0有两个不等实根,则Δ=1-4a>0,解得a<,

设此时方程x2-x+a=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1.

当x1≠1,x2≠1时,集合为{1,x1,x2},不满足元素之和为1;

当x1,x2中一个为1,另一个为0时,集合为{1,0},满足元素之和为1.

故a=x1x2=0.

综上所述,a∈∪{0}.

6.解析　由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,

解得a=-1或a=-.

当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性;

当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合题意.

综上,a=-.

7.D　因为集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,所以-2∈A,所以-2a≥1,所以a≤-,经检验满足题意.

8.D　∵1∉A,∴2×1+a≤0,∴a≤-2.

又∵2∈A,∴2×2+a>0,∴a>-4,

∴-4<a≤-2.

9.CD　根据题意,分4种情况讨论:

①x,y,z全部为负数时,xyz为负数,则=-4;

②x,y,z中有一个为负数时,xyz为负数,则=0;

③x,y,z中有两个为负数时,xyz为正数,则=0;

④x,y,z全部为正数时,xyz也为正数,则=4,

则M={-4,0,4}.故选CD.

10.答案　1

解析　①若a+2=1,即a=-1,则(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;

②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0,

当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,

当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意;

③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①②可知均不满足集合中元素的互异性.

综上,实数a的值为0,故2 020a的值为1.

11.解析　(1)2∈A,则∈A,即-1∈A,

则∈A,即∈A,则∈A,

即2∈A,所以A中其他所有元素为-1,.

(2)如:若3∈A,则A中其他所有元素为-.(答案不唯一)

(3)分析以上结果可以得出:A中只能有3个元素,它们分别是a,,且三个数的乘积为-1.

证明如下:若a∈A,a≠1,

则有∈A且≠1,

所以∈A且≠1,

进而有=a∈A.

又因为a≠若a=,则a2-a+1=0,而方程a2-a+1=0无解,

所以≠,所以A中只能有3个元素,

它们分别是a,,且三个数的乘积为-1.

12.证明　(1)令m=2∈Z,n=1∈Z,

得x=m2-n2=4-1=3,

所以3∈A.

(2)假设4k-2∈A(k∈Z),则存在m,n∈Z,

使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)(k∈Z)成立.

①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,

所以(m+n)(m-n)为4的倍数,与4k-2(k∈Z)不是4的倍数矛盾.

②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,所以(m+n)(m-n)为奇数,与4k-2(k∈Z)是偶数矛盾.所以假设不成立.

综上所述,4k-2∉A(k∈Z).