高中数学第11章 解三角形11.1 余弦定理课时练习

第11章　解三角形

11.1　余弦定理

基础过关练

题组一　已知两边及其夹角解三角形

1.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=,则b=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C.2 D.3

2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是(　　)

A.- B.- C.- D.-

3.(2020江苏启东中学高一期中)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1,则边AB的长为(　　)

A.10 B. C. D.5

4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=+,B=45°,解此三角形.

题组二　已知三边解三角形

5.(2020江苏连云港东海高一下学期期中)在△ABC中,如果a∶b∶c=2∶3∶4,那么cos B等于(　　)

A. B.

C.- D.

6.边长分别为1,,2的三角形的最大角与最小角的和是(　　)

A.90° B.120° C.135° D.150°

7.(2020江苏无锡羊尖高级中学学情检测)已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则∠C的大小为(　　)

A.60° B.90° C.120° D.150°

8.已知△ABC的顶点为A(1,),B(-2,2),C(0,0),则∠ACB=　　　　.

题组三　已知两边及其一边的对角解三角形

9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cos A=,则b=(　　)

A. B. C.2 D.3

10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则b=(　　)

A. B.2 C.2 D.3

11.(2020安徽合肥高一期末)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=,b=1,则c=　　　　.

12.在△ABC中,AB=,BC=1,A=30°,则AC=　　　　.

题组四　利用余弦定理判断三角形的形状

13.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

14.(2020江苏泰州中学高一期中)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC一定是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

15.若△ABC的三条边a,b,c满足(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶9∶10,则△ABC(深度解析)

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形

题组五　余弦定理的实际应用

16.(2020江苏南通中学高一期中)一艘轮船按照北偏东40°方向,以18海里/时的速度直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上,经过20分钟的航行,轮船与灯塔的距离为6海里,则灯塔与轮船原来的距离为(　　)

A.6海里 B.12海里

C.6海里或12海里 D.6 海里

17.(2020江苏武进高级中学期中)我舰在岛A南偏西50°方向相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向航行,若我舰以28 n mile/h的速度用1 h追上敌舰,则敌舰的速度为　　　n mile/h.

能力提升练

题组一　利用余弦定理解三角形

1.(2020北京顺义高二月考,)在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的值为(　　)

A. B. C.+1 D.

2.(多选)(2020江苏江阴二中、要塞中学高一期中联考,)在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为(　　)

A. B. C. D.

3.(2020江苏响水中学高一阶段测试,)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cos=,a=3,b=,则c的值为　　　　.

4.(2020江苏震泽中学高一学情检测,)已知三角形的三边长为三个连续自然数,且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.

题组二　利用余弦定理判断三角形的形状

5.(2020江苏启东中学高一期中,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形一定是(　　)

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

6.(2020江苏智贤高级中学阶段检测,)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

7.()在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2b=a+c,若2cos 2B-8cos B+5=0,则△ABC的形状为　　　　　　.

题组三　余弦定理的综合应用

8.()在△ABC中, AB=7,AC=6,M为BC的中点,且AM=4,则BC等于(　　)

A. B. C. D.

9.()在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长可求三角形的面积.若三角形的三边长为m,n,t,则其面积S=,其中p=(m+n+t).已知在△ABC中,BC=6,AB=2AC,当其面积S取最大值时,sin A=　　　　.

10.(2020江苏启东中学高二质量检测,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2=ac,cos B=.设·=,则△ABC三边a,b,c的长度分别为　　　　　　　　.

11.()设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.

(1)求a,c的值;

(2)求sin(A-B)的值.

12.(2020江苏宜兴第一中学阶段测试,)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b(b+c),求证:A=2B.

答案全解全析

第11章　解三角形

11.1　余弦定理

基础过关练

1.B　由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12+22-2×1×2×=3,所以b=.

2.C　由余弦定理得cos C==,解得c=3(负值舍去),

由“大边对大角”可知角B最大,则cos B==-.

3.B　由题意得

∵cos C=cos[π-(A+B)]

=-cos(A+B)=-,

∴AB2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,

∴AB=.

4.解析　∵b2=a2+c2-2accos B

=(2)2+(+)2-2×2×(+)×cos 45°

=12+(+)2-4×(+1)=8,

∴b=2.

∵cos A=

==,

∴A=60°,∴C=75°.

5.A　设a=2x,b=3x,c=4x,x>0,

则由余弦定理得cos B===.故选A.

6.C　由题意可得,边长为的边对的角不是最大角,也不是最小角,

设边长为的边所对的角为θ,则由余弦定理可得cos θ==,∴θ=45°,

故三角形的最大角与最小角的和是180°-45°=135°.

7.C　∵(a+b-c)(a+b+c)=ab,

∴a2+b2-c2=-ab,即=-,

∴cos C=-,∴C=120°.

8.答案　60°

解析　由两点间的距离公式得

AB==2,

AC==2,

BC==4.

在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==,

即∠ACB=60°.

9.D　由余弦定理,得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3.

10.B　由余弦定理得22=b2+(2)2-2×b×2×,即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,

因为b<c,所以b=2.

11.答案　2

解析　由余弦定理得cos A===,解得c=2(c=-1舍去).

12.答案　1或2

解析　由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=AC2+3-2AC×=1,解得AC=1或AC=2.

13.D　因为B=60°,b2=ac,结合b2=a2+c2-2accos B,得ac=a2+c2-ac,

所以(a-c)2=0,所以a=c,又B=60°,

所以△ABC是等边三角形.

14.B　∵cos2=,∴2cos2=,即1+cos B=,∴1+=,整理得a2+b2=c2,

∴△ABC为直角三角形.

15.C　设a+b=7k(k>0),则b+c=9k,c+a=10k,求得a=4k,b=3k,c=6k.由余弦定理可得cos C===-<0,故C为钝角.∴△ABC一定是钝角三角形.

拓展延伸　在△ABC中,当C为锐角时,a2+b2>c2,当C为钝角时,a2+b2<c2,在判断三角形的形状时注意灵活应用.

16.A　如图,设轮船原来在A处,航行20分钟后到达B处,C为灯塔的位置,根据条件可得∠BAC=120°,AB=18×=6(海里),BC=6 海里,

由余弦定理可得cos 120°===-,解得AC=6(AC=-12舍去).

故灯塔与轮船原来的距离为6海里.

故选A.

17.答案　20

解析　设敌舰的速度为v n mile/h,我舰在C处追上敌舰,如图,由题意得∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=v×1=v(n mile),BC=28×1=28(n mile),

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+v2-2×12×v×cos 120°=784,

解得v=20(v=-32舍去),

即敌舰的速度为20 n mile/h.

能力提升练

1.A　∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,

∴∠BAC=∠BAD+90°,

∴sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)

=cos∠BAD=.

在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-24=3,∴BD=.

2.AD　由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA·cos B=BC2+3-2BC××=1,解得BC=1或BC=2.

当BC=1时,AC=BC,△ABC为等腰三角形,所以A=B=;

当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=.

综上,角A的可能取值为或.

3.答案　1或2

解析　在△ABC中,A+B+C=π,

∴cos=cos=sin=,

∴=,∴B=,

由b2=a2+c2-2accos B,得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.

4.解析　设三角形三边的长为n,n+1,n+2(n∈N*),最大角为α,

∴cos α=.

∵α是钝角,∴cos α<0,

∴<0.

∵2n(n+1)>0,∴n2+(n+1)2-(n+2)2<0,

∴n2-2n-3<0,∴-1<n<3.

∵n∈N*,∴n=1或n=2.

当n=1时,1,2,3不能构成三角形的三边,故舍去.当n=2时,符合题意.

故2,3,4即为所求三边的长.

5.A　∵=,∴acos A=bcos B,

由余弦定理可得a×=b×,整理可得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),①

∵=,∴b2=2a2,②

由①②得c2=3a2=a2+b2,

∴该三角形是直角三角形.

6.D　由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得a2+b2-c2=ab,

由余弦定理得cos C===,

又0<C<π,所以C=.

因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

则sin Acos B-cos Asin B=0,

即sin(A-B)=0,

又0<A<,0<B<,所以-<A-B<,所以A-B=0,即A=B,

故△ABC为等边三角形.

7.答案　等边三角形

解析　∵2cos 2B-8cos B+5=0,

∴2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,

∴4cos2B-8cos B+3=0,

解得cos B=或cos B=(舍去),

又B∈(0,π),∴B=,

∵2b=a+c,

∴cos B===,

化简得a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,故a=c,

∴△ABC为等边三角形.

8.B　如图,设BC的长为x,则由M为BC的中点,可得BM=MC=.

在△AMB中,cos∠AMB==,

在△AMC中,cos∠AMC==,

∵∠AMB+∠AMC=180°,

∴cos∠AMB=cos(180°-∠AMC)=-cos∠AMC,

∴=-,

解得x=,∴BC=.

9.答案　

解析　设BC=a,AC=b,AB=c,则c=2b,p=×(6+3b)=3+b,

则S=

=

=,

易得当b2=20时,S取得最大值,

此时b=2,c=4,

故cos A==,所以sin A=.

10.答案　1,,2或2,,1

解析　由·=得||·||cos B=ac=,∴b2=ac=2,故b=.

由b2=a2+c2-2accos B=2得(a+c)2-2ac-ac=2,将ac=2代入,得a+c=3,

∴a=1,c=2或a=2,c=1,

∴三边a,b,c的长度分别为1,,2或2,,1.

11.解析　(1)因为cos B==,

所以=,

将a+c=6,b=2代入,得ac=9,

则a=c=3.

(2)由cos B=得sin B=,

由余弦定理得

cos A===,

所以sin A=,

所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=.

12.证明　由余弦定理得cos A==,∵cos B=,

∴cos 2B=2cos2B-1=2-1=-1==,

∴cos A=cos 2B,

∵a2=b(b+c),∴a2-b2=bc>0,

∴a2>b2,即a>b,∴A>B.

若B≥,则A>B≥,与A+B<π矛盾,故B只能是锐角,

∴0<2B<π,又∵0<A<π,cos A=cos 2B,∴A=2B.