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高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时综合训练题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时综合训练题，共20页。试卷主要包含了1 余弦定理与正弦定理等内容，欢迎下载使用。
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理与正弦定理
基础过关练
题组一 余弦定理
1.(2020豫南九校高二上学期第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cs A=13,则a=( )
A.6B.7C.22D.3
2.在△ABC中,A=60°,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且最大边长和最小边长分别是方程x2-7x+11=0的两个实根,则第三边的长为( )
A.2B.3C.4D.5
3.(多选)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=π6,则角A的可能取值为( )
A.π6B.π3C.2π3D.π2
4.(2020天津河西高三上学期期中)在△ABC中,若a=2b,b=2c,则三个内角中最大角的余弦值为 .
5.(2020安徽合肥一六八中学高一下期中)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求△ABC的三边长.
6.(2020江西南城二中高二下期中)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a+c=5,B=π3且a>c,b=7,求AB·AC的值.
题组二 正弦定理
7.(2020辽宁六校高一上学期期末联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是( )
A.a∶b=A∶B
B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A
D.asin A=bsin B
8.(2020江西赣州高二上学期期中)在△ABC中,若a=2bsin A,则角B等于( )
A.30°或150°B.45°或60°
C.60°或120°D.30°或60°
9.(2020安徽亳州涡阳第四中学高二上学期第二次质检)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=3,b=2,B=π4,则A=( )
A.π6B.π3
C.π6或5π6D.π3或2π3
10.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是( )
A.0C.π611.(2020河北邢台第一中学高一下学期期末)设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x+ay+cs C=0与sin B·x+by+sin C=0的位置关系是( )
A.平行B.重合
C.垂直D.平行或重合
12.(多选)(2020山东济宁嘉祥一中高一下学期期中)下列说法正确的有( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
C.在△ABC中,sin A>sin B是A>B的充要条件
D.在△ABC中,若sin A=12,则A=π6
13.(2020河北沧州高三一模)如图,在△ABC中,AC=2,∠A=π3,点D在线段AB上.
(1)若sin∠CDA=223,求CD的长;
(2)若AD=2DB,sin∠ACD=7sin∠BCD,求CB的长.
题组三 余弦定理、正弦定理的综合应用
14.在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cs C等于( )
A.23B.-23C.-13D.-14
15.在△ABC中,若sin A=2sin Ccs B,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
16.(2020河南南阳高二上学期期中)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c.若a=2,且sinB-sinAsinC=23+c2+b,则B= .
17.(2020辽宁普通高中高三上学期学业水平测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>b>c,3c-2bsin C=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,a=2,求c.
题组四 三角形的面积
18.已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为( )
A.9B.18C.93D.183
19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )
A.3B.932C.332D.33
20.(2020河北张家口高三阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=2,则△ABC的面积为 .
21.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .
22.(2020陕西榆林第二中学高二上学期期中)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2asin B=3b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=8,b+c=10,求△ABC的面积.
23.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B+sin C)(b-c)=(sin A+sin C)a.
(1)求角B的大小;
(2)已知b=4,△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
能力提升练
题组一 求角
1.(2020河北石家庄第二中学高一下学期期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若csinB+bsinC=2a,则角A的大小是( )
A.π2B.π3C.π4D.π6
2.(多选)(2020山东烟台高一下学期期末,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的12
D.cs A∶cs B∶cs C=12∶9∶2
3.(2020四川绵阳高三第二次诊断性测试,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C+sin B).
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC边上一点,且AD⊥BC,BC=23AD,求sin B.
题组二 求边
4.(2020山西运城高一下学期期末联考,)在△ABC中,B=120°,AB=2,角A的平分线交BC于D点,且AD=3,则AC=( )
A.6B.2C.62D.22
5.(2020陕西宝鸡高三教学质量检测,)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为63,A=π3,c=2b,则a= .
6.(2020山东济南高三上学期期中,)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知A=π6,sin C=43·sin B.
(1)若△ABC的面积为43,求△ABC的周长;
(2)若c2-b2=47,求△ABC的周长.
题组三 与面积有关的问题
7.(2020河南郑州第一中学高二上学期期中,)在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=3,则a+2b+csinA+2sinB+sinC=( )
A.2393B.2633C.833D.23
8.(2020江西九江第一中学高二上学期期末,)已知△ABC的外接圆直径是924,若|BA|·|BC|=6,|BA-BC|=3,则S△ABC=( )
A.22B.42C.5D.25
9.(2020河北张家口宣化一中高一上学期期末,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acs C=3cs Asin C.
(1)求b;
(2)若a=6,求△ABC的面积.
题组四 最值问题
10.(2020甘肃西北师大附中高三模拟,)已知以A为钝角的△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且32c-asin C=0,若角A的平分线交BC于D点,且AD=1,则b+c的最小值为( )
A.2B.23C.4D.32
11.()在△ABC中,A=60°,a=3,则其面积的最大值为 .
12.(2020河南郑州八校高二上学期期中联考,)在△ABC中,C=60°,BC>2,AC=AB+1,当△ABC的周长最短时,BC的长是 .
答案全解全析
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理与正弦定理
基础过关练
1.D2.C3.AD7.B8.A
9.D10.A11.D12.AC14.D
15.C18.C19.C
1.D 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A=9+4-2×3×2×1/3=9,所以a=3.
2.C 易知最大边长与最小边长不相等,故最大角大于60°,最小角小于60°,∴第三边即为a,又b+c=7,bc=11,∴a2=b2+c2-2bccs A=(b+c)2-3bc=16,∴a=4,故选C.
3.AD 由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC•BA• cs B,即1=BC2+3-2BC×√3×√3/2,解得BC=1或BC=2.
当BC=1时,△ABC为等腰三角形,BC=AC,所以A=B=π/6;
当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=π/2.
故选AD.
4.答案 -√2/4
解析 由题意不妨设c=m,b=√2m,a=2m(m>0),
利用大边对大角可知A为△ABC中最大的角,
则cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(2m^2+m^2 "-" 4m^2)/(2×√2 m×m)=-√2/4.
5.解析 ∵a+c=2b,a-b=4,
∴a=b+4,c=b-4,
∴A为最大角,即A=120°,
在△ABC中,
cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(b^2+"(" b"-" 4")" ^2 "-(" b+4")" ^2)/(2b"(" b"-" 4")" )=-1/2,解得b=10,
∴a=14,c=6.
∴△ABC的三边长分别为14,10,6.
6.解析 根据余弦定理,得7=a2+c2-2accs π/3,整理,得(a+c)2-3ac=7,
又a+c=5,所以ac=6,
又a>c,可得a=3,c=2,
于是cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(7+4"-" 9)/(4√7)=√7/14,
所以(AB) ⃗•(AC) ⃗=|(AB) ⃗||(AC) ⃗|cs A=2×√7×√7/14=1.
7.B 由a/sinA=b/sinB可得a∶b=sin A∶sin B,故选B.
8.A 由a=2bsin A得sin A=2sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以2sin B=1,即sin B=1/2,
又0°故选A.
9.D 在△ABC中,由正弦定理可得√3/sinA=√2/(sin" " π/4),解得sin A=√3/2,
因为0所以A=π/3或A=2π/3,经检验,都符合题意.
故选D.
10.A 根据题意,由正弦定理得1/sinC=2/sinA,则sin C=1/2sin A,
∵A,C为三角形的内角,∴0∴0又∵AB∴C∴0故选A.
11.D 由于a>0,b>0,所以两条直线斜率存在.
两条直线方程可分别化为y=-sinA/ax-csC/a,y=-sinB/bx-sinC/b,
由正弦定理得-sinA/a=-sinB/b.
当三角形为等边三角形时,-csC/a≠-sinC/b,此时两直线平行.
当a=b,C=π/4时,-csC/a=-sinC/b,此时两直线重合.
故选D.
12.AC 设△ABC外接圆的半径为R,则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,
可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C,
即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C成立,
故选项A正确;
由sin 2A=sin 2B可得2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=π/2,
则△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在△ABC中,结合正弦定理可得
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B,
则sin A>sin B是A>B的充要条件,
故选项C正确;
在△ABC中,若sin A=1/2,则A=π/6或A=5π/6,
故选项D错误.
故选AC.
13.解析 (1)因为AC=2,∠A=π/3,sin∠CDA=(2√2)/3,
所以结合正弦定理可得,CD/(√3/2)=2/((2√2)/3),得CD=(3√6)/4.
(2)在△ADC中,AD/(sin∠ACD)=AC/(sin∠ADC),①
在△BDC中,DB/(sin∠BCD)=CB/(sin∠BDC),②
又sin∠ADC=sin∠BDC,AD=2DB,
sin∠ACD=√7sin∠BCD,
所以结合①②可得CB=√7.
14.D sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,
可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=(4k^2+9k^2 "-" 16k^2)/(12k^2 )=-1/4,故选D.
15.C 因为sin A=2sin Ccs B,a/sinA=c/sinC,所以a=2ccs B,
又cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac,
所以a=2c•(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac,
即b2=c2,即b=c,
因为无法判断角A是锐角、钝角还是直角,
所以△ABC是等腰三角形.
故选C.
16.答案 5/6π
解析 因为(sinB"-" sinA)/sinC=(2√3+c)/(2+b),a=2,
所以(b"-" a)/c=(2√3+c)/(a+b),
可得a2+c2-b2=-2√3c=-√3ac.
所以cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=-√3/2,
又017.解析 (1)因为√3c-2bsin C=0,
所以√3sin C-2sin Bsin C=0.
因为0所以sin B=√3/2.
因为0b>c,
所以B为锐角,故B=π/3.
(2)因为b=√3,a=2,
所以由余弦定理得(√3)2=c2+4-2c×2×1/2,
即c2-2c+1=0,所以c=1.
18.C 由题意得∠C=30°,故三角形ABC为等腰三角形,所以AB=BC=6,
故三角形ABC的面积为1/2×6×6×sin B=9√3.
故选C.
19.C 由c2=(a-b)2+6,得c2=a2+b2-2ab+6,
又c2=a2+b2-2abcs C=a2+b2-ab,
所以a2+b2-2ab+6=a2+b2-ab,
所以ab=6,
则S△ABC=1/2absin C=(3√3)/2.
故选C.
20.答案 √3
解析 ∵(a+b)2=c2+ab,
∴a2+b2-c2=-ab,
∴cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=-1/2,
又0°∴A=30°,∴b=a=2,
∴S△ABC=1/2absin C=1/2×2×2sin 120°=√3.
故答案为√3.
21.答案 √3
解析 由已知,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc⇒cs A=1/2,∵0°∴S△ABC=1/2bcsin A≤√3.
22.解析 (1)由2asin B=√3b,得2sin Asin B=√3sin B,
∵sin B≠0,∴sin A=√3/2,
又A为锐角,∴A=π/3.
(2)由余弦定理得64=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=100-3bc,
∴bc=12,
又sin A=√3/2,
∴S△ABC=1/2bcsin A=3√3.
23.解析 (1)∵(sin B+sin C)(b-c)=(sin A+sin C)a,
∴(b+c)(b-c)=(a+c)a,∴a2+c2-b2=-ac,
∴cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=("-" ac)/2ac=-1/2,
∵B∈(0,π),∴B=2π/3.
(2)由(1)知B=2π/3,∴△ABC的面积为√3=1/2acsin B=√3/4ac,∴ac=4,
又b=4,∴由余弦定理可得16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=(a+c)2-4,
解得a+c=2√5(负值舍去),
∴△ABC的周长为a+c+b=2√5+4.
能力提升练
1.A2.AD4.A7.A8.A
10.C
1.A 由c/sinB+b/sinC=2a,得sinC/sinB+sinB/sinC=2sin A,
在三角形ABC中,sin A,sin B,sin C都是正数,
所以sinC/sinB+sinB/sinC≥2√(sinC/sinB "•" sinB/sinC)=2,当且仅当sin C=sin B,即B=C时,等号成立.
而2sin A≤2,
所以要使sinC/sinB+sinB/sinC=2sin A成立,
需满足sin A=1且sin C=sin B,从而A=π/2.
故选A.
2.AD 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,
所以可设{■(a+b=9x"," @a+c=10x"," @b+c=11x"," )┤其中x>0,
解得{■(a=4x"," @b=5x"," @c=6x"," )┤
所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正确;
由①可知边c最大,所以三角形ABC中角C最大,
又cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=("(" 4x")" ^2+"(" 5x")" ^2 "-(" 6x")" ^2)/(2×4x×5x)=1/8>0,所以角C为锐角,所以B错误;
由①可知边a最小,所以三角形ABC中角A最小,
又cs A=(c^2+b^2 "-" a^2)/2bc=("(" 6x")" ^2+"(" 5x")" ^2 "-(" 4x")" ^2)/(2×6x×5x)=3/4≠2×1/8,所以C错误;
cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=("(" 4x")" ^2+"(" 6x")" ^2 "-(" 5x")" ^2)/(2×4x×6x)=9/16,
所以cs A∶cs B∶cs C=3/4∶9/16∶1/8=12∶9∶2,所以D正确.
故选AD.
3.解析 (1)在△ABC中,由正弦定理得
(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc.
所以cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=-1/2,
结合0(2)在△ABC中,S△ABC=1/2AB•ACsin∠BAC=1/2BC•AD,即√3/2bc=a•AD.
由已知BC=2√3AD,可得AD=a/(2√3),
所以√3/2bc=a^2/(2√3),即a2=3bc.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs 2π/3,即3bc=b2+c2+bc,
整理得(b-c)2=0,所以b=c,
所以B=C=π/6,
所以sin B=sin π/6=1/2.
4.A 如图,
由正弦定理可得,AB/(sin∠ADB)=AD/sinB,
∴sin∠ADB=ABsinB/AD,
∵B=120°,AB=√2,AD=√3,
∴sin∠ADB=√2/2,得∠ADB=45°,
∴∠BAD=180°-120°-45°=15°,
∴∠BAC=30°,∴C=30°,
∴由正弦定理得,AC/sinB=AB/sinC,
∴AC=ABsinB/sinC=√6.
故选A.
5.答案 6
解析 ∵△ABC的面积为6√3,
∴1/2bcsin π/3=6√3,∴bc=24,
∵c=2b,∴c=4√3,b=2√3,
∴a2=b2+c2-2bccs π/3=12+48-2×24×1/2=36,∴a=6.
6.解析 (1)由sin C=4√3sin B,得c=4√3b.
因为△ABC的面积S=1/2bcsin A=1/4bc=√3•b2=4√3,
所以b=2,所以c=8√3,所以a2=b2+c2-2bccs A=4+192-2×2×8√3×√3/2=148,所以a=2√37,
所以△ABC的周长为2√37+8√3+2.
(2)由c2-b2=47,c=4√3b,得b=1,c=4√3,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=1+48-2×1×4√3×√3/2=37,所以a=√37,
故△ABC的周长为1+4√3+√37.
7.A ∵S△ABC=1/2bcsin A=√3/4c=√3,∴c=4,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A=1+16-4=13,∴a=√13.
∵a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴(a+2b+c)/(sinA+2sinB+sinC)
=(2R"(" sinA+2sinB+sinC")" )/(sinA+2sinB+sinC)
=2R=a/sinA=√13/(√3/2)=(2√39)/3.
故选A.
8.A ∵|(BA) ⃗-(BC) ⃗|=|(CA) ⃗|=3,△ABC的外接圆直径是(9√2)/4,
∴由正弦定理,得3/sinB=(9√2)/4,
∴sin B=(2√2)/3.
∵|(BA) ⃗|•|(BC) ⃗|=6,
∴S△ABC=1/2|(BA) ⃗||(BC) ⃗|sin B=1/2×6×(2√2)/3=2√2.
9.解析 (1)由正弦定理和余弦定理可得,a•(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=3c•(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc,
∴2a2-2c2=b2,
又a2-c2=2b,
∴b2=4b,解得b=4或b=0(舍去),即b=4.
(2)∵a=6,b=4,∴36-c2=8,∴c=2√7,
cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=(36+16"-" 28)/(2×6×4)=1/2,
∵C∈(0,π),∴C=π/3,∴sin C=√3/2,
∴S△ABC=1/2absin C=1/2×6×4×√3/2=6√3.
10.C 由√3/2c-asin C=0及正弦定理,得√3/2•sin C-sin Asin C=0,
因为0°所以√3/2-sin A=0,即sin A=√3/2,
因为A为钝角,所以A=120°.
又S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以1/2bc•sin 120°=1/2c•1•sin 60°+1/2b•1•sin 60°,
所以bc=b+c,即1/b+1/c=1,
所以b+c=(b+c)• 1/b+1/c =2+b/c+c/b≥2+2√(b/c×c/b)=4,
当且仅当{■(bc=b+c"," @c=b"," )┤即c=b=2时,等号成立,
所以b+c的最小值为4.
故选C.
11.答案 (3√3)/4
解析 在△ABC中,A=60°,a=√3,
由a2=b2+c2-2bccs A得,b2+c2-bc=3,
又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),
所以2bc-bc=bc≤3,
所以S△ABC=1/2bcsin A≤1/2×3×√3/2=(3√3)/4,当且仅当b=c=√3时取等号,
故△ABC的面积的最大值为(3√3)/4.
12.答案 2+√2
解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=cs C=1/2,
所以a2+b2-c2=ab,
将b=c+1代入上式,可得a2+2c+1=ac+a,
化简可得c=(a^2 "-" a+1)/(a"-" 2),
所以△ABC的周长L=a+b+c=a+2c+1=a+1+2×(a^2 "-" a+1)/(a"-" 2).
设a-2=t(t>0),则a=t+2,
可得L=t+3+2×("(" t+2")" ^2 "-(" t+2")" +1)/t=3t+6/t+9≥2√(3t"•" 6/t)+9=9+6√2,
当且仅当3t=6/t,即t=√2,即a=√2+2时取等号,所以当△ABC的周长最短时,BC的长是2+√2.
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理与正弦定理
基础过关练
题组一 余弦定理
1.(2020豫南九校高二上学期第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cs A=13,则a=( )
A.6B.7C.22D.3
2.在△ABC中,A=60°,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且最大边长和最小边长分别是方程x2-7x+11=0的两个实根,则第三边的长为( )
A.2B.3C.4D.5
3.(多选)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=π6,则角A的可能取值为( )
A.π6B.π3C.2π3D.π2
4.(2020天津河西高三上学期期中)在△ABC中,若a=2b,b=2c,则三个内角中最大角的余弦值为 .
5.(2020安徽合肥一六八中学高一下期中)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求△ABC的三边长.
6.(2020江西南城二中高二下期中)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a+c=5,B=π3且a>c,b=7,求AB·AC的值.
题组二 正弦定理
7.(2020辽宁六校高一上学期期末联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是( )
A.a∶b=A∶B
B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A
D.asin A=bsin B
8.(2020江西赣州高二上学期期中)在△ABC中,若a=2bsin A,则角B等于( )
A.30°或150°B.45°或60°
C.60°或120°D.30°或60°
9.(2020安徽亳州涡阳第四中学高二上学期第二次质检)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=3,b=2,B=π4,则A=( )
A.π6B.π3
C.π6或5π6D.π3或2π3
10.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是( )
A.0
A.平行B.重合
C.垂直D.平行或重合
12.(多选)(2020山东济宁嘉祥一中高一下学期期中)下列说法正确的有( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
C.在△ABC中,sin A>sin B是A>B的充要条件
D.在△ABC中,若sin A=12,则A=π6
13.(2020河北沧州高三一模)如图,在△ABC中,AC=2,∠A=π3,点D在线段AB上.
(1)若sin∠CDA=223,求CD的长;
(2)若AD=2DB,sin∠ACD=7sin∠BCD,求CB的长.
题组三 余弦定理、正弦定理的综合应用
14.在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cs C等于( )
A.23B.-23C.-13D.-14
15.在△ABC中,若sin A=2sin Ccs B,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
16.(2020河南南阳高二上学期期中)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c.若a=2,且sinB-sinAsinC=23+c2+b,则B= .
17.(2020辽宁普通高中高三上学期学业水平测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>b>c,3c-2bsin C=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,a=2,求c.
题组四 三角形的面积
18.已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为( )
A.9B.18C.93D.183
19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )
A.3B.932C.332D.33
20.(2020河北张家口高三阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=2,则△ABC的面积为 .
21.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .
22.(2020陕西榆林第二中学高二上学期期中)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2asin B=3b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=8,b+c=10,求△ABC的面积.
23.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B+sin C)(b-c)=(sin A+sin C)a.
(1)求角B的大小;
(2)已知b=4,△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
能力提升练
题组一 求角
1.(2020河北石家庄第二中学高一下学期期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若csinB+bsinC=2a,则角A的大小是( )
A.π2B.π3C.π4D.π6
2.(多选)(2020山东烟台高一下学期期末,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的12
D.cs A∶cs B∶cs C=12∶9∶2
3.(2020四川绵阳高三第二次诊断性测试,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(sin A+sin B)(a-b)=c(sin C+sin B).
(1)求角A的大小;
(2)若D为BC边上一点,且AD⊥BC,BC=23AD,求sin B.
题组二 求边
4.(2020山西运城高一下学期期末联考,)在△ABC中,B=120°,AB=2,角A的平分线交BC于D点,且AD=3,则AC=( )
A.6B.2C.62D.22
5.(2020陕西宝鸡高三教学质量检测,)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为63,A=π3,c=2b,则a= .
6.(2020山东济南高三上学期期中,)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知A=π6,sin C=43·sin B.
(1)若△ABC的面积为43,求△ABC的周长;
(2)若c2-b2=47,求△ABC的周长.
题组三 与面积有关的问题
7.(2020河南郑州第一中学高二上学期期中,)在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=3,则a+2b+csinA+2sinB+sinC=( )
A.2393B.2633C.833D.23
8.(2020江西九江第一中学高二上学期期末,)已知△ABC的外接圆直径是924,若|BA|·|BC|=6,|BA-BC|=3,则S△ABC=( )
A.22B.42C.5D.25
9.(2020河北张家口宣化一中高一上学期期末,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acs C=3cs Asin C.
(1)求b;
(2)若a=6,求△ABC的面积.
题组四 最值问题
10.(2020甘肃西北师大附中高三模拟,)已知以A为钝角的△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且32c-asin C=0,若角A的平分线交BC于D点,且AD=1,则b+c的最小值为( )
A.2B.23C.4D.32
11.()在△ABC中,A=60°,a=3,则其面积的最大值为 .
12.(2020河南郑州八校高二上学期期中联考,)在△ABC中,C=60°,BC>2,AC=AB+1,当△ABC的周长最短时,BC的长是 .
答案全解全析
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理与正弦定理
基础过关练
1.D2.C3.AD7.B8.A
9.D10.A11.D12.AC14.D
15.C18.C19.C
1.D 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A=9+4-2×3×2×1/3=9,所以a=3.
2.C 易知最大边长与最小边长不相等,故最大角大于60°,最小角小于60°,∴第三边即为a,又b+c=7,bc=11,∴a2=b2+c2-2bccs A=(b+c)2-3bc=16,∴a=4,故选C.
3.AD 由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC•BA• cs B,即1=BC2+3-2BC×√3×√3/2,解得BC=1或BC=2.
当BC=1时,△ABC为等腰三角形,BC=AC,所以A=B=π/6;
当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=π/2.
故选AD.
4.答案 -√2/4
解析 由题意不妨设c=m,b=√2m,a=2m(m>0),
利用大边对大角可知A为△ABC中最大的角,
则cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(2m^2+m^2 "-" 4m^2)/(2×√2 m×m)=-√2/4.
5.解析 ∵a+c=2b,a-b=4,
∴a=b+4,c=b-4,
∴A为最大角,即A=120°,
在△ABC中,
cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(b^2+"(" b"-" 4")" ^2 "-(" b+4")" ^2)/(2b"(" b"-" 4")" )=-1/2,解得b=10,
∴a=14,c=6.
∴△ABC的三边长分别为14,10,6.
6.解析 根据余弦定理,得7=a2+c2-2accs π/3,整理,得(a+c)2-3ac=7,
又a+c=5,所以ac=6,
又a>c,可得a=3,c=2,
于是cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=(7+4"-" 9)/(4√7)=√7/14,
所以(AB) ⃗•(AC) ⃗=|(AB) ⃗||(AC) ⃗|cs A=2×√7×√7/14=1.
7.B 由a/sinA=b/sinB可得a∶b=sin A∶sin B,故选B.
8.A 由a=2bsin A得sin A=2sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以2sin B=1,即sin B=1/2,
又0°
9.D 在△ABC中,由正弦定理可得√3/sinA=√2/(sin" " π/4),解得sin A=√3/2,
因为0
故选D.
10.A 根据题意,由正弦定理得1/sinC=2/sinA,则sin C=1/2sin A,
∵A,C为三角形的内角,∴0
11.D 由于a>0,b>0,所以两条直线斜率存在.
两条直线方程可分别化为y=-sinA/ax-csC/a,y=-sinB/bx-sinC/b,
由正弦定理得-sinA/a=-sinB/b.
当三角形为等边三角形时,-csC/a≠-sinC/b,此时两直线平行.
当a=b,C=π/4时,-csC/a=-sinC/b,此时两直线重合.
故选D.
12.AC 设△ABC外接圆的半径为R,则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,
可得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C,
即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C成立,
故选项A正确;
由sin 2A=sin 2B可得2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=π/2,
则△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在△ABC中,结合正弦定理可得
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B,
则sin A>sin B是A>B的充要条件,
故选项C正确;
在△ABC中,若sin A=1/2,则A=π/6或A=5π/6,
故选项D错误.
故选AC.
13.解析 (1)因为AC=2,∠A=π/3,sin∠CDA=(2√2)/3,
所以结合正弦定理可得,CD/(√3/2)=2/((2√2)/3),得CD=(3√6)/4.
(2)在△ADC中,AD/(sin∠ACD)=AC/(sin∠ADC),①
在△BDC中,DB/(sin∠BCD)=CB/(sin∠BDC),②
又sin∠ADC=sin∠BDC,AD=2DB,
sin∠ACD=√7sin∠BCD,
所以结合①②可得CB=√7.
14.D sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,
可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=(4k^2+9k^2 "-" 16k^2)/(12k^2 )=-1/4,故选D.
15.C 因为sin A=2sin Ccs B,a/sinA=c/sinC,所以a=2ccs B,
又cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac,
所以a=2c•(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac,
即b2=c2,即b=c,
因为无法判断角A是锐角、钝角还是直角,
所以△ABC是等腰三角形.
故选C.
16.答案 5/6π
解析 因为(sinB"-" sinA)/sinC=(2√3+c)/(2+b),a=2,
所以(b"-" a)/c=(2√3+c)/(a+b),
可得a2+c2-b2=-2√3c=-√3ac.
所以cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=-√3/2,
又0
所以√3sin C-2sin Bsin C=0.
因为0
因为0
所以B为锐角,故B=π/3.
(2)因为b=√3,a=2,
所以由余弦定理得(√3)2=c2+4-2c×2×1/2,
即c2-2c+1=0,所以c=1.
18.C 由题意得∠C=30°,故三角形ABC为等腰三角形,所以AB=BC=6,
故三角形ABC的面积为1/2×6×6×sin B=9√3.
故选C.
19.C 由c2=(a-b)2+6,得c2=a2+b2-2ab+6,
又c2=a2+b2-2abcs C=a2+b2-ab,
所以a2+b2-2ab+6=a2+b2-ab,
所以ab=6,
则S△ABC=1/2absin C=(3√3)/2.
故选C.
20.答案 √3
解析 ∵(a+b)2=c2+ab,
∴a2+b2-c2=-ab,
∴cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=-1/2,
又0°
∴S△ABC=1/2absin C=1/2×2×2sin 120°=√3.
故答案为√3.
21.答案 √3
解析 由已知,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc⇒cs A=1/2,∵0°
22.解析 (1)由2asin B=√3b,得2sin Asin B=√3sin B,
∵sin B≠0,∴sin A=√3/2,
又A为锐角,∴A=π/3.
(2)由余弦定理得64=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=100-3bc,
∴bc=12,
又sin A=√3/2,
∴S△ABC=1/2bcsin A=3√3.
23.解析 (1)∵(sin B+sin C)(b-c)=(sin A+sin C)a,
∴(b+c)(b-c)=(a+c)a,∴a2+c2-b2=-ac,
∴cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=("-" ac)/2ac=-1/2,
∵B∈(0,π),∴B=2π/3.
(2)由(1)知B=2π/3,∴△ABC的面积为√3=1/2acsin B=√3/4ac,∴ac=4,
又b=4,∴由余弦定理可得16=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=(a+c)2-4,
解得a+c=2√5(负值舍去),
∴△ABC的周长为a+c+b=2√5+4.
能力提升练
1.A2.AD4.A7.A8.A
10.C
1.A 由c/sinB+b/sinC=2a,得sinC/sinB+sinB/sinC=2sin A,
在三角形ABC中,sin A,sin B,sin C都是正数,
所以sinC/sinB+sinB/sinC≥2√(sinC/sinB "•" sinB/sinC)=2,当且仅当sin C=sin B,即B=C时,等号成立.
而2sin A≤2,
所以要使sinC/sinB+sinB/sinC=2sin A成立,
需满足sin A=1且sin C=sin B,从而A=π/2.
故选A.
2.AD 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,
所以可设{■(a+b=9x"," @a+c=10x"," @b+c=11x"," )┤其中x>0,
解得{■(a=4x"," @b=5x"," @c=6x"," )┤
所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6①,所以A正确;
由①可知边c最大,所以三角形ABC中角C最大,
又cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=("(" 4x")" ^2+"(" 5x")" ^2 "-(" 6x")" ^2)/(2×4x×5x)=1/8>0,所以角C为锐角,所以B错误;
由①可知边a最小,所以三角形ABC中角A最小,
又cs A=(c^2+b^2 "-" a^2)/2bc=("(" 6x")" ^2+"(" 5x")" ^2 "-(" 4x")" ^2)/(2×6x×5x)=3/4≠2×1/8,所以C错误;
cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=("(" 4x")" ^2+"(" 6x")" ^2 "-(" 5x")" ^2)/(2×4x×6x)=9/16,
所以cs A∶cs B∶cs C=3/4∶9/16∶1/8=12∶9∶2,所以D正确.
故选AD.
3.解析 (1)在△ABC中,由正弦定理得
(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc.
所以cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=-1/2,
结合0
由已知BC=2√3AD,可得AD=a/(2√3),
所以√3/2bc=a^2/(2√3),即a2=3bc.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs 2π/3,即3bc=b2+c2+bc,
整理得(b-c)2=0,所以b=c,
所以B=C=π/6,
所以sin B=sin π/6=1/2.
4.A 如图,
由正弦定理可得,AB/(sin∠ADB)=AD/sinB,
∴sin∠ADB=ABsinB/AD,
∵B=120°,AB=√2,AD=√3,
∴sin∠ADB=√2/2,得∠ADB=45°,
∴∠BAD=180°-120°-45°=15°,
∴∠BAC=30°,∴C=30°,
∴由正弦定理得,AC/sinB=AB/sinC,
∴AC=ABsinB/sinC=√6.
故选A.
5.答案 6
解析 ∵△ABC的面积为6√3,
∴1/2bcsin π/3=6√3,∴bc=24,
∵c=2b,∴c=4√3,b=2√3,
∴a2=b2+c2-2bccs π/3=12+48-2×24×1/2=36,∴a=6.
6.解析 (1)由sin C=4√3sin B,得c=4√3b.
因为△ABC的面积S=1/2bcsin A=1/4bc=√3•b2=4√3,
所以b=2,所以c=8√3,所以a2=b2+c2-2bccs A=4+192-2×2×8√3×√3/2=148,所以a=2√37,
所以△ABC的周长为2√37+8√3+2.
(2)由c2-b2=47,c=4√3b,得b=1,c=4√3,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=1+48-2×1×4√3×√3/2=37,所以a=√37,
故△ABC的周长为1+4√3+√37.
7.A ∵S△ABC=1/2bcsin A=√3/4c=√3,∴c=4,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A=1+16-4=13,∴a=√13.
∵a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴(a+2b+c)/(sinA+2sinB+sinC)
=(2R"(" sinA+2sinB+sinC")" )/(sinA+2sinB+sinC)
=2R=a/sinA=√13/(√3/2)=(2√39)/3.
故选A.
8.A ∵|(BA) ⃗-(BC) ⃗|=|(CA) ⃗|=3,△ABC的外接圆直径是(9√2)/4,
∴由正弦定理,得3/sinB=(9√2)/4,
∴sin B=(2√2)/3.
∵|(BA) ⃗|•|(BC) ⃗|=6,
∴S△ABC=1/2|(BA) ⃗||(BC) ⃗|sin B=1/2×6×(2√2)/3=2√2.
9.解析 (1)由正弦定理和余弦定理可得,a•(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=3c•(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc,
∴2a2-2c2=b2,
又a2-c2=2b,
∴b2=4b,解得b=4或b=0(舍去),即b=4.
(2)∵a=6,b=4,∴36-c2=8,∴c=2√7,
cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=(36+16"-" 28)/(2×6×4)=1/2,
∵C∈(0,π),∴C=π/3,∴sin C=√3/2,
∴S△ABC=1/2absin C=1/2×6×4×√3/2=6√3.
10.C 由√3/2c-asin C=0及正弦定理,得√3/2•sin C-sin Asin C=0,
因为0°
因为A为钝角,所以A=120°.
又S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以1/2bc•sin 120°=1/2c•1•sin 60°+1/2b•1•sin 60°,
所以bc=b+c,即1/b+1/c=1,
所以b+c=(b+c)• 1/b+1/c =2+b/c+c/b≥2+2√(b/c×c/b)=4,
当且仅当{■(bc=b+c"," @c=b"," )┤即c=b=2时,等号成立,
所以b+c的最小值为4.
故选C.
11.答案 (3√3)/4
解析 在△ABC中,A=60°,a=√3,
由a2=b2+c2-2bccs A得,b2+c2-bc=3,
又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),
所以2bc-bc=bc≤3,
所以S△ABC=1/2bcsin A≤1/2×3×√3/2=(3√3)/4,当且仅当b=c=√3时取等号,
故△ABC的面积的最大值为(3√3)/4.
12.答案 2+√2
解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=cs C=1/2,
所以a2+b2-c2=ab,
将b=c+1代入上式,可得a2+2c+1=ac+a,
化简可得c=(a^2 "-" a+1)/(a"-" 2),
所以△ABC的周长L=a+b+c=a+2c+1=a+1+2×(a^2 "-" a+1)/(a"-" 2).
设a-2=t(t>0),则a=t+2,
可得L=t+3+2×("(" t+2")" ^2 "-(" t+2")" +1)/t=3t+6/t+9≥2√(3t"•" 6/t)+9=9+6√2,
当且仅当3t=6/t,即t=√2,即a=√2+2时取等号,所以当△ABC的周长最短时,BC的长是2+√2.
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