北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理第2课时达标测试

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理第2课时达标测试，共15页。试卷主要包含了一艘船上午9等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 用余弦定理、正弦定理解三角形
1.(2020广东普通高中学业水平考试)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=π4,b=4,且△ABC的面积为2,则a=( )

A.23B.10C.22D.6
2.(2020四川眉山高三上学期期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c=2a,sinCsinA=4c3b,则cs B= .
3.已知△ABC的周长为4(2+1),且sin B+sin C=2sin A.
(1)求边长a的值;
(2)若S△ABC=3sin A,求角A的余弦值.
4.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学高三二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(a-b)2=c2-ab.
(1)求角C;
(2)若4ccsA+π2+bsin C=0,a=1,求△ABC的面积.
5.(2020广东佛山高三第二次教学质量检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccs A+asin A=2csin B.
(1)证明:△ABC为等腰三角形;
(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.
题组二 解三角形的实际应用
6.(2020重庆万州龙驹中学高一下学期期末)一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距82海里,则此船的航速是( )
A.24海里/小时B.30海里/小时
C.32海里/小时D.40海里/小时
7.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于( )
A.asinαsinβsin(β-α)B.asinαsinβcs(α-β)
C.asinαcsβsin(β-α)D.acsαsinβcs(α-β)
8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是( )
A.102海里B.103海里
C.202海里D.203海里
9.在相距12千米的A、B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点之间的距离是 千米.
10.(2020广东海珠高一下学期期末)如图,一热气球在海拔60 m的高度飞行,在空中A处测得前下方河流两侧河岸B,C的俯角分别为75°,30°,则河流的宽度BC等于 m.参考数据:sin 75°= 6+24
11.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,求cs θ的值.参考数据: sin 15°=6-24
12.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时在C处追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
能力提升练
题组一 用余弦定理、正弦定理解三角形
1.()已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=π3,b=2,S△ABC=23,则△ABC外接圆的面积为( )

A.2πB.4πC.8πD.16π
2.(2020浙江杭州八校联盟高二上学期期中,)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,BC=4,M是BC的中点,则AM= .
3.(2020浙江杭州高三第一次联考,)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,BC=4,CD=1,AB=2AD,CA是∠BCD的平分线,则BD= .
4.(2020河南郑州高一下学期期中联考,)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径OA的长约为 (精确到1米).
5.(2020山东济宁高三第一次模拟,)如图,在四边形ABCD中,B=2π3,AB=3,S△ABC=334.
(1)求∠ACB的大小;
(2)若BC⊥CD,D=π4,求AD的长.
题组二 解三角形的实际应用
6.(2020河南信阳高三第一次教学质量检测,)如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距6013 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h的速度向城市C飞行,飞行了15 min,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )
A.120 kmB.606 kmC.605 kmD.603 km
7.(2020湖北武汉高三上学期期末联考,)如图所示,为了测量A、B两岛屿的距离,小海在D处进行观测,A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,此时观测到B在C处的正北方向,A在C处的北偏西45°方向,则A、B两岛屿的距离为 海里.
8.()湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的A点处,乙船在中间B点处,丙船在最后面的C点处,且BC∶AB=3∶1.一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得∠APB=30°,∠BPC=90°.(船只与无人机的大小及其他因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
答案全解全析
第2课时 用余弦定理、
正弦定理解三角形
基础过关练
1.B6.C7.A8.A
1.B 根据三角形的面积公式可得2=1/2bc•sin A,所以2=1/2×4c×sin π/4,
所以c=√2,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A=16+2-2×4×√2×√2/2=10,
所以a=√10.
2.答案 -1/4
解析 sinC/sinA=4c/3b⇒c/a=4c/3b,得3b=4a,b=4/3a,又b+c=2a,所以c=2/3a,
则cs B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=(a^2+4/9 a^2 "-" 16/9 a^2)/(2"•" a"•" 2/3 a)=-1/4.
3.解析 (1)根据正弦定理,得sin B+sin C=√2sin A可化为b+c=√2a.
联立{■(a+b+c=4"(" √2+1")," @b+c=√2 a"," )┤
解得a=4.
(2)∵S△ABC=3sin A,
∴1/2bcsin A=3sin A,∴bc=6.
又由(1)可知,b+c=4√2,
∴cs A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=("(" b+c")" ^2 "-" 2bc"-" a^2)/2bc=1/3.
因此角A的余弦值为1/3.
4.解析 (1)由(a-b)2=c2-ab,得a2+b2-c2=ab,
所以由余弦定理,得cs C=(a^2+b^2 "-" c^2)/2bc=1/2.
又因为C∈(0,π),所以C=π/3.
(2)由4ccs A+π/2 +bsin C=0,
得-4csin A+bsin C=0.
由正弦定理,得4ca=bc,因为c≠0,所以b=4a.
又a=1,所以b=4.
所以△ABC的面积S=1/2absin C=1/2×1×4×√3/2=√3.
5.解析 (1)证明:∵2bsin Ccs A+asin A=2csin B,∴2bccs A+a2=2cb,
∴2bc•(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc+a2=2bc,
化简得b2+c2=2bc,
所以(b-c)2=0,即b=c,
故△ABC为等腰三角形.
(2)如图,
由已知得BD=2,DC=1,
∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,
∴∠ACD=∠DAC,
∴AD=CD=1,
又∵cs∠ADB=-cs∠ADC,
∴(AD^2+BD^2 "-" AB^2)/(2AD"•" BD)=-(AD^2+CD^2 "-" AC^2)/(2AD"•" CD),
即(1^2+2^2 "-" c^2)/(2×1×2)=-(1^2+1^2 "-" b^2)/(2×1×1),
得2b2+c2=9,由(1)可知b=c,∴b=√3.
6.C 设航速为x海里/小时,则AB=1/2x,∠BSA=75°-30°=45°,BS=8√2,
由正弦定理得(1/2 x)/sin45"°" =(8√2)/sin30"°" ,解得x=32,即此船的航速为32海里/小时.
7.A 在△ADC中,由正弦定理得AC/sinα=DC/(sin"(" β"-" α")" )⇒AC=a/(sin"(" β"-" α")" )sin α,
在△ABC中,AB=ACsin β=asinαsinβ/(sin"(" β"-" α")" ).
故选A.
8.A 如图,在△ABC中,∠BAC=50°-20°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,
则C=180°-(30°+105°)=45°,
又AB=40×1/2=20,所以由正弦定理得20/sin45"°" =BC/sin30"°" ,得BC=10√2,即B、C两点间的距离是10√2海里.

9.答案 6√6
解析 ∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=45°,
由正弦定理得AB/(sin∠ACB)=AC/(sin∠ABC),即12/sin45"°" =AC/sin60"°" ,
解得AC=(12×√3/2)/(√2/2)=6√6,即A、C两点之间的距离为6√6千米.
10.答案 120(√3-1)
解析 在△ABC中,∠ACB=30°,所以AC=120 m.
又∠BAC=75°-30°=45°,所以∠ABC=105°,
所以由正弦定理得BC=(ACsin∠BAC)/(sin∠ABC)=120sin45"°" /sin105"°" =120sin45"°" /sin75"°" =120×√2/2×4/(√2+√6)=120(√3-1) m.
11.解析 因为∠DBC=45°,∠DAC=15°,
所以∠ADB=30°,
在△ABD中,由正弦定理得AB/(sin∠ADB)=BD/(sin∠BAD),解得BD=25(√6-√2).
在△BCD中,由正弦定理得CD/(sin∠DBC)=BD/(sin∠BCD),解得sin∠BCD=√3-1,
所以cs θ=sin∠ACE=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=√3-1.
12.解析 (1)由题意得,AB=12海里,AC=20海里,∠BAC=120°,
∴BC2=AB2+AC2-2AB×ACcs∠BAC,
=122+202-2×12×20× -1/2
=784,∴BC=28海里,
∴渔船甲的速度v甲=28/2=14海里/小时.
(2)在△ABC中,∠BCA=α,
由正弦定理得AB/sinα=BC/(sin∠BAC),
∴12/sinα=28/(√3/2),∴sin α=(3√3)/14.
能力提升练
1.B6.D
1.B ∵A=π/3,b=2,S△ABC=1/2×b×c×sin A=2√3,∴c=4,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccs A=12,
∴a=2√3,
设△ABC外接圆的半径为R,
则由正弦定理可得2R=a/sinA=(2√3)/(√3/2)=4,
∴R=2,
则△ABC外接圆的面积S=πR2=4π.
2.答案 √10/2
解析 如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=4,AC=3,
所以cs C=(3^2+4^2 "-" 2^2)/(2×3×4)=7/8.

∵M是BC的中点,
∴BM=MC=2,∴AM2=AC2+CM2-2AC•CM•cs C=32+22-2×3×2×7/8=5/2,
∴AM=√10/2,即AM的长为√10/2.
3.答案 √21
解析 设AD=x,则AB=2x,AC=√(16"-" 4x^2 ),
又CA是∠BCD的平分线,
所以∠ACB=∠ACD,
cs∠ACB=AC/BC=cs∠ACD=(AC^2+CD^2 "-" AD^2)/(2AC"•" CD),即√(16"-" 4x^2 )/4=(16"-" 4x^2+1"-" x^2)/(2√(16"-" 4x^2 )),所以x=√3,
所以AD=√3,AC=2,∠ACB=∠ACD=60°,∠BCD=120°,
所以BD=√(4^2+1^2 "-" 2×4×1×cs120"°" )
=√21.
4.答案 445米
解析 连接OC,由题设可知CD=10×50=500米,AD=6×50=300米,
在△OCD中,OD=(OA-300)米,OC=OA,∠CDO=180°-120°=60°,
由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2×CD×OD×cs 60°,
即OA2=5002+(OA-300)2-500×(OA-300),
故OA=(4" " 900)/11≈445(米).
5.解析 (1)在△ABC中,S△ABC=1/2×AB×BCsin B,
所以1/2×√3×BCsin2π/3=(3√3)/4,得BC=√3,所以AB=BC,
又因为B=2π/3,所以∠ACB=π/6.
(2)因为BC⊥CD,所以∠ACD=π/3,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cs 2π/3=(√3)2+(√3)2-2×√3×√3×("-" 1/2)=9,所以AC=3,
在△ACD中,由正弦定理,
得AC/sinD=AD/(sin∠ACD),
所以AD=(AC"•" sin∠ACD)/sinD=(3sin" " π/3)/(sin" " π/4)=(3√6)/2.
6.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.

因为E为AB的中点,且AB=120 km,
所以AE=60 km,
又∠DAE=90°-30°=60°,AD=60 km,
所以三角形DAE为等边三角形,
所以DE=60 km,∠ADE=60°,
在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,
所以∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠ADB=90°,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,
所以BD=60√3 km,
因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,
所以CD=√(BD^2+BC^2 )=√(10" " 800+"(" 60√13 ")" ^2 )=240 km,
所以cs∠BDC=BD/CD=(60√3)/240=√3/4,
因为DF=360×1/4=90 km,
所以在三角形BDF中,
BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cs∠BDF
=(60√3)2+902-2×60√3×90×√3/4=10 800,
所以BF=60√3 km,即此时飞机距离城市B的距离为60√3 km.
7.答案 20√2
解析 在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=45°,∴∠CAD=30°,
又CD=20,
∴由正弦定理得AD/(sin∠ACD)=CD/(sin∠CAD),
故AD=(CD"•" sin∠ACD)/(sin∠CAD)=(20×√2/2)/(1/2)=20√2.
在△BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD/(cs∠BDC)=20/(√2/2)=20√2.
在△ABD中,AD=BD=20√2,∠ADB=15°+45°=60°,则△ABD是等边三角形,
∴AB=20√2,即A、B两岛屿的距离为20√2海里.
8.解析 (1)在△APB中,由正弦定理得,AP/(sin∠ABP)=AB/(sin∠APB)=AB/(1/2),
在△BPC中,由正弦定理得,CP/(sin∠CBP)=BC/(sin∠CPB)=BC/1,
又BC/AB=3/1,sin∠ABP=sin∠CBP,
所以AP/CP=2/3,
即无人机到甲、丙两船的距离之比为2∶3.
(2)由BC∶AB=3∶1,AB=100米,得AC=400米,设AP=2x米,则CP=3x米,
在△APC中,∠APC=∠APB+∠BPC=120°,所以由余弦定理得,160 000=(2x)2+(3x)2-2•(2x)•(3x)cs 120°,
所以x=(400√19)/19,
即无人机到丙船的距离为CP=3x=(1" " 200√19)/19≈275米.