北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式课时练习

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式课时练习，共7页。试卷主要包含了2　半角公式等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 半角的正弦公式及其应用
1.(2020河北承德一中高一检测)若-π<θ<0,cs θ=-35,则sin θ2=( )

A.255B.-255
C.55D.-55
2.已知5π<θ<6π,cs θ2=a,那么sin θ4等于( )
A.1+a2B.1-a2
C.-1+a2D.-1-a2
3.(2020山东滨州高一期末)若tan α=43,且α为第一象限角,则sin α2=( )
A.15B.±55C.55D.-55
4.化简1-sin20°+1-cs20°2=( )
A.cs 10°B.sin 10°
C.2sin 10°-cs 10°D.2cs 10°-sin 10°
题组二 半角的余弦公式及其应用
5.若α∈-π2,π2,且sin α=-223,则cs α2等于( )
A.13B.33C.23D.63
6.已知等腰三角形顶角的余弦值为725,则其底角的正弦值等于( )
A.34B.35C.45D.12
7.已知3π<α<4π,则12+1212+12csα=( )
A.sin α4B.-sin α4
C.cs α4D.-cs α4
8.若α为钝角,β为锐角,且sin α=45,sin β=1213,则cs α-β2= .
题组三 半角的正切公式及其应用
9.若270°<α<360°且cs α=14,则tanα2=( )
A.-155B.155C.-153D.153
10.若tanα2=-2,则1+csαsinα等于( )
A.12B.-12C.2D.-2
11.已知f(x)=1-x1+x,若α∈π2,π,则f(cs α)+f(-cs α)=( )
A.1sinαB.-1sinα
C.-2sinαD.2sinα
12.已知函数f(x)=1-csxcs x2,试判断f(x)在0,π2上的单调性.
题组四 半角公式的综合应用
13.(2020山东聊城高一期末)若cs α=23,且α∈0,π2,则cs α2+sin α2的值为( )
A.56B.30+66
C.65D.30+65
14.(2020浙江宁波高一期中)已知2sin θ=1+cs θ,则tanθ2的值( )
A.等于2B.等于12
C.等于12或不存在D.不存在
15.(多选)(2020浙江金华高一期中)已知函数f(x)=(cs x+1-sin2x)tanx2,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)是奇函数
D.f(x)是偶函数
16.(2020山西太原高一期末)已知sin α2-cs α2=-15,450°<α<540°,求tanα2的值.
(2020四川南充高一期末)化简(1+sinα+csα)sin α2-cs α22+2csα(其中180°<α<360°).
18.(2020江苏镇江高一期中)已知向量m=(cs θ,sin θ),n=(2-sin θ,cs θ),θ∈(π,2π),若|m+n|=825,求csθ2+π8的值.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
3.2 半角公式
基础过关练
1.B2.D3.B4.A5.D
6.C7.D9.A10.B11.D
13.B14.C15.BC
1.B 因为-π<θ<0,所以-π/2<θ/2<0,又cs θ=-3/5,所以sin θ/2=-√((1"-" csθ)/2)=-√((1"-" ("-" 3/5))/2)=-(2√5)/5.
2.D 因为5π<θ<6π,所以5π/4<θ/4<3π/2,所以sin θ/4=-√((1"-" cs" " θ/2)/2)=-√((1"-" a)/2).
3.B 因为α为第一象限角,且tan α=4/3,所以cs α=3/5,且α/2是第一或第三象限角.当α/2是第一象限角时,sin α/2=√((1"-" csα)/2)=√5/5;当α/2是第三象限角时,sin α/2=-√((1"-" csα)/2)=-√5/5.故sin α/2=±√5/5.
4.A √(1"-" sin20"°" )+√((1"-" cs" " 20"°" )/2)
=√(sin^2 10"°" +cs^2 10"°-" 2sin10"°" cs10"°" )+√((1"-" cs"(" 2×10"°)" )/2)=|sin 10°-cs 10°|+sin 10°=cs 10°-sin 10°+sin 10°=cs 10°.
5.D 因为α∈ -π/2,π/2 ,且sin α=-(2√2)/3,所以cs α=√(1"-" sin^2 α)=1/3,又α/2∈("-" π/4 "," π/4),所以cs α/2=√((1+csα)/2)=√((1+1/3)/2)=√6/3.
6.C 设顶角为θ,则底角为(180"°-" θ)/2,于是sin (180"°-" θ)/2=sin 90°-θ/2 =cs θ/2=√((1+csθ)/2)=√((1+7/25)/2)=4/5.
7.D 由于3π<α<4π,所以3π/2<α/2<2π,3π/4<α/4<π,于是√(1/2+1/2 √(1/2+1/2 csα)) =√(1/2+1/2|cs" " α/2|)=√(1/2+1/2 cs" " α/2)= cs α/4 =-cs α/4.
8.答案 (7√65)/65
解析 由已知得cs α=-3/5,cs β=5/13,因此cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β
= -3/5 ×5/13+4/5×12/13=33/65,又π/2<α<π,0<β<π/2,所以0<α-β<π,0<(α"-" β)/2<π/2,故cs (α"-" β)/2=√((1+cs"(" α"-" β")" )/2)=√((1+33/65)/2)=(7√65)/65.
9.A 因为270°<α<360°,所以135°<α/2<180°,所以tanα/2=-√((1"-" csα)/(1+csα))=-√((1"-" 1/4)/(1+1/4))=-√15/5.
10.B 由于tanα/2=sinα/(1+csα)=-2,所以(1+csα)/sinα=-1/2.
11.D 因为α∈ π/2,π ,所以α/2∈ π/4,π/2 ,所以f(cs α)+f(-cs α)=√((1"-" csα)/(1+csα))+√((1+csα)/(1"-" csα))= tanα/2 +1/(|tan α/2|)=tanα/2+1/(tan α/2)=(sin" " α/2)/(cs" " α/2)+(cs" " α/2)/(sin" " α/2)=1/(sin" " α/2 cs" " α/2)=2/sinα.
12.解析 由于x∈ 0,π/2 ,所以x/2∈ 0,π/4 ,
所以f(x)=√(1"-" csx)/(cs" " x/2)=(√2|sin" " x/2|)/(cs" " x/2)=(√2 sin" " x/2)/(cs" " x/2)=√2tanx/2,
故函数f(x)在 0,π/2 上单调递增.
13.B ∵α∈ 0,π/2 ,∴α/2∈ 0,π/4 .
∵cs α=2/3,
∴cs α/2=√((1+csα)/2)=√((1+2/3)/2)=√30/6,
sin α/2=√((1"-" csα)/2)=√((1"-" 2/3)/2)=√6/6.
∴cs α/2+sin α/2=√30/6+√6/6=(√30+√6)/6.
14.C 由2sin θ=1+cs θ得4sin θ/2cs θ/2=2cs2θ/2,所以cs θ/2 cs θ/2-2sin θ/2 =0,当cs θ/2=0时,tanθ/2不存在;当cs θ/2≠0,cs θ/2-2sin θ/2=0时,tanθ/2=1/2.
15.BC 由题意得x/2≠kπ+π/2(k∈Z),即x≠2kπ+π(k∈Z),定义域为{x∈R|x≠π+2kπ,k∈Z},关于原点对称.f(x)=(cs x+1-sin2x)•tanx/2=(cs x+cs2x)sinx/(1+csx)=1/2sin 2x,则f(-x)=-1/2sin 2x,所以f(x)+f(-x)=0,所以函数是奇函数.但由于f(0)=0,f(π)不存在,所以最小正周期不是π,应该为2π.
16.解析 由题意得 sin α/2-cs α/2 2=1/5,即1-sin α=1/5,得sin α=4/5.
∵450°<α<540°,
∴cs α=-3/5,
∴tan α/2=(1"-" csα)/sinα=(1"-" ("-" 3/5))/(4/5)=2.
17.解析 原式=
(2cs^2 α/2+2sin" " α/2 cs" " α/2)(sin" " α/2 "-" cs" " α/2)/√(4cs^2 α/2)
=(2cs" " α/2 (cs" " α/2+sin" " α/2)(sin" " α/2 "-" cs" " α/2))/2|cs" " α/2|
=(cs" " α/2 (sin^2 α/2 "-" cs^2 α/2))/|cs" " α/2|
=("-" cs" " α/2 csα)/|cs" " α/2| .
因为180°<α<360°,所以90°<α/2<180°,
所以cs α/2<0,所以原式=cs α.
18.解析 因为|m+n|=(8√2)/5,所以|m+n|2=128/25,即|m|2+|n|2+2m•n=128/25,
所以cs2θ+sin2θ+〖"(" √2 "-" sinθ")" 〗^2+cs2θ+2[cs θ(√2-sin θ)+sin θcs θ]=128/25,
整理得√2(cs θ-sin θ)=14/25,
所以cs θ+π/4 =7/25.
又因为θ∈(π,2π),所以θ/2+π/8∈ 5π/8,9π/8 ,所以cs θ/2+π/8 <0,
故cs θ/2+π/8 =-√((1+cs(θ+π/4))/2)=-√((1+7/25)/2)=-4/5.