高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法随堂练习题

第五章　复数

§2　复数的四则运算

2.1　复数的加法与减法

基础过关练

题组一　复数的加减运算

1.(2020北京八一学校高二第二学期期中)(2+i)+(3+i)=(　　)

A.5+2i B.5+5i C.6+i D.6+5i

2.若(1-i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于(　　)

A.3,-2 B.3,2

C.3,-3 D.-1,4

3.(2020黑龙江哈尔滨第三十二中学高二下学期期中)若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i为虚数单位,则复数z1-z2的实部为(　　)

A.10 B.38 C.-2 D.20

4.(2020河南省重点高中高三上学期阶段性考试)复数z=(5+2i)-(2-i),则|z|=(　　)

A.5 B.3 C.18 D.25

5.(多选)(2019湖北龙泉中学、随州一中、天门中学三校高三联考)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),则(　　)

A.z-1是实数 B.z-1是虚数

C.z-i是实数 D.z+i是纯虚数

6.(2020河北石家庄二中高二下学期线上期中)若复数z满足z-2i=|4+3i|,其中i为虚数单位,则z=　　　　. 

7.设z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则a=　　　　. 

8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　,z2=　　　. 

9.计算:(1)+i+(2-i)--i;

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i],其中a,b∈R.

10.(2020河南郑州高二下期中)复数z1=a+5+(10-a2)i,z2=1-2a+(2a-5)i,其中a∈R.

(1)若a=-2,求z1的模;

(2)若z1+z2是实数,求实数a的值.

题组二　复数加减法的几何意义

11.(2019山西临汾一中高二下学期期末)在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是1-3i,则向量对应的复数在复平面内对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

12.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是(　　)

A.2+4i B.-2+4i

C.-4+2i D.4-2i

13.(2020天津第七中学高二下学期期中)设z1=-6-2i,z2=6-18i,其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面内对应的点的坐标为　　　　. 

14.已知复数z1=2+ai,z2=a+i(a∈R),且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值范围是　　　　. 

能力提升练

题组一　复数的加减运算

1.(2020陕西西安高二下期中,)已知复数z满足z+=2,其中是z的共轭复数,|z|=2,则复数z的虚部为(　　)

A. B.i C.±i D.±

2.(2020山东滕州一中高二下月考,)已知i为虚数单位,复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b∈R.若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值分别为(　　)

A.-3,-4 B.-3,4 C.3,-4 D.3,4

3.(2019上海崇明高三上学期期末,)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=　　　　. 

4.(2020河北唐山高二下期末,)设f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,则f(z1+z2)=　　　　. 

5.(2020安徽六安一中高三上模拟,)已知复数z满足|z|2-2=7+4i,求z.

题组二　复数加减法的几何意义的应用

6.(2020北京海淀高三上学期第一次模拟,)复数z满足|z-3i|=2(i为虚数单位),则复数z-4的模的取值范围是(　　)

A.[3,7] B.[0,5]

C.[0,9] D.以上都不对

7.(2020河南濮阳高二期末,)复平面内正方形的三个顶点对应的复数分别为z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,则第四个顶点对应的复数为(　　)

A.2-i B.5i

C.-4-3i D.2-i,5i或-4-3i

8.(2020四川成都高二期末,)A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

9.(多选)(2020河南顶级名校高三尖子生诊断性检测,)复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(　　)

A.有最大值 B.无最大值

C.有最小值 D.无最小值

10.(2020湖北省实验学校、武汉一中等六校高二期末联考,)已知z1=2-2i,且|z|=1,则|z-z1|的最大值为　　　　. 

11.(2020河北保定高二上期末,)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,2π),设对应的复数为z.

(1)求复数z;

(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.

12.(2020重庆十一中高二期中,)已知复数z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,+z2∈R.

(1)求实数a的值;

(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.

答案全解全析

第五章　复数

§2　复数的四则运算

2.1　复数的加法与减法

基础过关练

1.A 2.B 3.C 4.B 5.BC

11.C 12.D   

1.A　(2+i)+(3+i)=5+2i.故选A.

2.B　由题可知,(1-i)+(2+3i)=a+bi,

即3+2i=a+bi,所以a=3,b=2,故选B.

3.C　z1-z2=4+29i-6-9i=-2+20i,所以z1-z2的实部为-2,故选C.

4.B　依题意得,z=5-2+(2+1)i=3+3i,

所以|z|=√(3^2+3^2 )=3√2.故选B.

5.BC　由题意可得,复数z=-1+i,

则z-1=-2+i,所以A不正确,B正确;

z-i=-1,所以C正确;

z+i=-1+2i不是纯虚数,所以D不正确.

故选BC.

6.答案　5+2i

解析　z-2i=|4+3i|=5,故z=5+2i.

7.答案　-1

解析　∵z1=1-i,z2=a+2ai,

∴z1+z2=a+1+(2a-1)i,

∵复数z1+z2是纯虚数,

∴a+1=0,2a-1≠0,∴a=-1.

8.答案　5-9i;-8-7i　

解析　z=z1-z2

=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,

∴{■(5x"-" 3y=13"," @x+4y="-" 2"," )┤解得{■(x=2"," @y="-" 1"," )┤

∴z1=5-9i,z2=-8-7i.

9.解析　(1) 1/3+1/2i +(2-i)- 4/3-3/2i = 1/3+2-4/3 + 1/2-1+3/2 i=1+i.

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i]

=[(a+b)-(a-b)]+[(a-b)+(a+b)]i

=2b+2ai.

10.解析　(1)由a=-2,得z1=3+6i,

则|z1|=√(3^2+6^2 )=√45=3√5,

∴z1的模为3√5.

(2)z1+z2=a+5+(10-a2)i+1-2a+(2a-5)i

=(6-a)+[(10-a2)+(2a-5)]i

=(6-a)+(-a2+2a+5)i.

∵z1+z2是实数,∴-a2+2a+5=0,

解得a=1±√6.

11.C　∵(CA) ⃗=(CB) ⃗-(AB) ⃗,∴(CA) ⃗对应的复数为1-3i-2-i=-1-4i,对应点的坐标为(-1,-4),在第三象限,故选C.

12.D　由题意可得,在平行四边形ABCD中,(CD) ⃗=(BA) ⃗=(OA) ⃗-(OB) ⃗,

则(3+i)-(-1+3i)=4-2i,所以(CD) ⃗对应的复数为4-2i,故选D.

13.答案　(0,-20)

解析　z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i,则z在复平面内对应的点的坐标为(0,-20).

14.答案　(2,+∞)

解析　由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,

因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,所以{■(2"-" a<0"," @a"-" 1>0"," )┤得a>2.

能力提升练

1.D 2.A 6.A 7.A 8.B

9.BC    

1.D　设复数z=x+yi(x,y∈R),由题得{■(2x=2"," @√(x^2+y^2 )=2"," )┤∴{■(x=1"," @y=±√3 "," )┤∴z=1±√3i,

所以复数z的虚部为±√3,故选D.

2.A　∵z1=a+4i,z2=-3+bi,

∴z1+z2=(a-3)+(4+b)i,∵z1+z2为实数,∴4+b=0,解得b=-4.

∵z1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i为纯虚数,∴a+3=0且4-b≠0,解得a=-3且b≠4.故a=-3,b=-4.故选A.

3.答案　1-2i

解析　设z=a+bi(a,b∈R),则¯z=a-bi,

∵2z+¯z=3-2i,∴2a+2bi+a-bi=3-2i,

∴3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,

∴z=1-2i.

4.答案　3+3√2

解析　∵z1+z2=-2+4i+5-i=3+3i,

∴f(z1+z2)=(3+3i)-3i+|3+3i|

=3+√(3^2+3^2 )=3+3√2.

5.解析　设z=a+bi,a,b∈R,则¯z=a-bi,|z|2=a2+b2,

因为|z|2-2¯z=7+4i,所以a2+b2-2(a-bi)=7+4i,所以a2+b2-2a=7且2b=4,

解得b=2,a=3或b=2,a=-1,所以z=3+2i或z=-1+2i.

6.A　|z-3i|=2表示复平面上到点(0,3)的距离为2的点的集合,显然是以(0,3)为圆心,2为半径的圆,z-4的模的几何意义是以点(0,3)为圆心,2为半径的圆上的点到点(4,0)的距离,显然复数z-4的模的最大值为√(3^2+4^2 )+2=7,最小值为√(3^2+4^2 )-2=3.

故选A.

7.A　设复数z1,z2,z3对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R).因为(AD) ⃗=(OD) ⃗-(OA) ⃗,所以(AD) ⃗对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,因为(BC) ⃗=(OC) ⃗-(OB) ⃗,所以(BC) ⃗对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.

∵(AD) ⃗=(BC) ⃗,∴(x-1)+(y-2)i=1-3i,

∴{■(x"-" 1=1"," @y"-" 2="-" 3"," )┤解得{■(x=2"," @y="-" 1"." )┤

故D点对应的复数为2-i.

8.B　由题可得,复数z1对应向量(OA) ⃗,复数z2对应向量(OB) ⃗,

则|z1+z2|=|(OA) ⃗+(OB) ⃗|,|z1-z2|=|(OA) ⃗-(OB) ⃗|.

依题意有|(OA) ⃗+(OB) ⃗|=|(OA) ⃗-(OB) ⃗|,

∴以(OA) ⃗,(OB) ⃗为邻边所作的平行四边形是矩形,∴△AOB是直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.

9.BC　设z=a+bi(a,b∈R),

因为|z-1|=|z+3|,

所以|a-1+bi|=|a+3+bi|,

即(a-1)2+b2=(a+3)2+b2,

解得a=-1,所以|z|=√(1+b^2 )≥1,

所以|z|有最小值,为1,无最大值.

故选BC.

10.答案　2√2+1

解析　如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是以原点为圆心,1为半径的圆,而z1在复平面内的对应点为(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,则|z-z1|的最大值为2√2+1.

11.解析　(1)z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos 2θ-1)=-1-2isin2θ.

(2)由(1)得,点P的坐标为(-1,-2sin2θ),由点P在直线y=1/2x上,得-2sin2θ=-1/2,

∴sin2θ=1/4,∴sin θ=±1/2,

又∵θ∈(0,2π),∴θ=π/6,5π/6,7π/6,11π/6.

12.解析　(1)因为z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,

所以¯z_1+z2=1-(10-a2)i+(2a-5)i

=1+(a2+2a-15)i,

因为¯z_1+z2∈R,所以a2+2a-15=0,

解得a=-5或a=3,

因为a>0,所以a=3.

(2)由(1)知z2=i,

因为|z-z2|=2,所以z在复平面内对应点的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.

故|z|可看作是复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离,

所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.

故|z|的取值范围为[1,3].