2021学年第六章 立体几何初步4 平行关系4.2 平面与平面平行课后练习题

第六章　立体几何初步

4.2　平面与平面平行

基础过关练

题组一　平面与平面平行的性质

1.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.异面 D.不确定

2.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)

A.两两相互平行

B.两两相交于同一点

C.两两相交但不一定交于同一点

D.两两相互平行或交于同一点

3.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)

A.AB∥CD B.AD∥CB

C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面

4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.

求证:EC∥A1D.

题组二　平面与平面平行的判定

5.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是(　　)

A.平面α内有一条直线与平面β平行

B.平面α内有两条直线与平面β平行

C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D.平面α与平面β不相交

6.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的是(　　)

A.平面E1FG1与平面EGH1

B.平面FHG1与平面F1H1G

C.平面F1H1E与平面FHE1

D.平面E1HG1与平面EH1G

7.已知a,b,c,d是四条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β,则α与β的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.平行或相交 D.以上都不对

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上(不与端点重合),且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.

9.(2020四川成都石室中学高一下期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:

(1)直线EG∥平面BDD1B1;

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

能力提升练

题组一　平面与平面平行的性质

1.(2020湖南雅礼中学高一下期中,)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为(　　)

A.2∶5 B.3∶8 

C.4∶9 D.4∶25

2.(2020河北衡水二中高一期中诊断,)如图所示,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)

A.平面 B.直线

C.线段,但只含1个端点 D.圆

3.(2020河南开封高一校际联考,)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,记图中阴影平面为平面α,且平面α∥平面BC1E.若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(　　)

A.1 B.1.5

C.2 D.3

4.(2020山东济宁高二下期中,)如图,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为　　　　. 

5.(2020江西师范大学附属中学高一下期末,)如图①所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②所示.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.

题组二　平面与平面平行的判定

6.(多选)(2020山东菏泽郓城高一下期末,)α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是(　　)

A.⇒a∥b B.⇒a∥b

C.⇒α∥β D.⇒α∥β

7.(多选)(2020安徽合肥八中高一期中检测,)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是(　　)

A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β

B.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β

C.若a∥α,α∥β,则a∥β

D.若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b

题组三　面面平行中的探索性问题

8.(2020天津南开中学高一下期中,)已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是A'D',A'B'的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面?若存在,试作出该平面,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

9.(2020山东烟台莱阳一中高二下期中,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.

10.(2020江西临川第二中学高三模拟,)如图所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.

(1)求证:当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD;

(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗?如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立.

4.2　平面与平面平行

基础过关练

1.A　由面面平行的性质定理易得EF∥E'F'.

2.A　可以借助长方体.由面面平行的性质定理可得结论.

3.D　充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质定理知AC∥BD.必要性显然成立.故选D.

4.证明　易知BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,

BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.

因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.

又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D,

又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,

所以EC∥A1D.

5.D　选项A、C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内有两条相交直线与平面β平行才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种,因为两个平面不相交,所以这两个平面必定平行.故选D.

6.A　如图,∵EG∥E1G1,EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,

∴EG∥平面E1FG1.

同理,可证H1E∥平面E1FG1.

∵H1E∩EG=E,H1E,EG⊂平面EGH1,

∴平面E1FG1∥平面EGH1.

7.C　如图,由图(1)和图(2)可知,α与β平行或相交.

8.证明　∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,

∴MQ∥AD,NQ∥BP.

∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,

∴NQ∥平面PBC.

∵底面ABCD为平行四边形,

∴BC∥AD,∴MQ∥BC.

∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,

∴MQ∥平面PBC.

又MQ∩NQ=Q,所以由平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.

9.证明　(1)如图,连接SB,

∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,∴直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1.

又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.

能力提升练

1.D　∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,∴A'B'∥AB.又∵PA'∶AA'=2∶3,∴A'B'∶AB=PA'∶PA=2∶5.同理,B'C'∶BC=A'C'∶AC=2∶5,∴△A'B'C'与△ABC相似,∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25.

2.C　因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1,交B1C1于点E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点).

3.A　因为平面α∥平面BC1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F∥BE.又A1E∥BF,所以四边形A1EBF是平行四边形,所以A1E=BF=2,所以AF=1.

4.答案　

解析　相交直线AA',BB'所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A'B',所以AB∥A'B'.同理BC∥B'C',CA∥C'A'.所以△ABC与△A'B'C'的三内角相等,所以△ABC∽△A'B'C',==,=,又S△ABC=×2×1×=,所以S△A'B'C'=×=.

5.证明　在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.

由题意知AD?BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理,EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG.

6.AD　由平行线的传递性及平行平面的传递性知A、D正确;B中,a,b还可能相交或异面;C中,α,β还可能相交.故选AD.

7.BD　A错误,α与β也可能相交;B正确,设a,b确定的平面为γ,依题意,得γ∥α,γ∥β,故α∥β;C错误,也可能a⊂β;由线面平行的性质定理可知D正确.故选BD.

8.解析　存在.证明如下:

过顶点且与平面AMN平行的平面有如图所示的三种情况(其中,E,F均为所在棱的中点).

下面以图(1)为例进行证明.

连接ME,D'B',易知ME?A'B'?AB,

∴四边形ABEM是平行四边形,

∴BE∥AM.

又BE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

∵MN是△A'B'D'的中位线,

∴MN∥B'D'.

∵四边形BDD'B'是平行四边形,

∴BD∥B'D',∴MN∥BD.

又BD⊂平面BDE,MN⊄平面BDE,

∴MN∥平面BDE.

又AM⊂平面AMN,MN⊂平面AMN,且AM∩MN=M,

∴由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.

9.解析　如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;同理,连接AC交BD于点O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC:

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD?B1C1,

所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.

同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,

所以平面AB1D1∥平面C1BD.

又因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.

10.解析　(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G.易知MG∥AF,NG∥AD.

当F,A,D三点不共线时,如图所示,

由翻折不变性知MG∥AF,NG∥AD.

又MG∩NG=G,AD∩AF=A,

∴平面MGN∥平面FAD.

又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面FAD.

∴当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD.

(2)结论不正确.

要使结论成立,M,N应分别为AE,DB的中点.

理由:当F,A,D三点共线时,如题图,易证得MN∥FD.

当F,A,D三点不共线时,

由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,根据面面平行的性质定理,只要FD与MN共面即可.

要使FD与MN共面,连接FM,只要FM与DN相交即可.

∵FM⊂平面ABEF,DN⊂平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,

∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.

由FM∩DN=B可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.

∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD.