高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理本章综合与测试课后练习题

专题强化练1　两个计数原理的应用

一、选择题

1.(2020黑龙江牡丹江一中高二期中,)从5名同学中选出正、副组长各1名,不同的选法有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.10种 B.20种 C.25种 D.30种

2.(2020湖北武汉高一期末,)某人打开手机时,忘记了开机的六位密码的第二位和第四位,只记得第二位是7,8,9中的一个数字,第四位是1,2,3中的一个数字,则他输入一次能够开机的概率是(　　)

A.            B.           C.          D.

3.(2019河北邢台第八中学高二期末,)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为　(　　)

A.243           B.252 C.261  D.279

4.(2020湖北荆州高二期中,)大学生小王和小张即将参加实习,他们分别从荆州市荆州中学,荆门市龙泉中学、钟祥一中,襄阳市第四中学、第五中学,宜昌市第一中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习,两人可选同一所或者两所不同的学校,假设他们选择哪所学校是等可能的,则他们在同一个市参加实习的概率为(　　)

A.     B. C.       D.

5.(2020广西玉林高二期中,)若自然数n使得做竖式加法n+(n+1)+(n+2)时不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象,则小于100的“开心数”的个数为(　　)

A.9     B.10 C.11       D.12

6.(2019四川成都七中高二期中,)如图,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有(　　)

A.192种 B.336种

C.600种 D.624种

7.(2019四川成都七中高三开学考试,)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现用5种颜色给A,B,C,D,E五个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域涂不同颜色,则A,C区域涂色不相同的概率为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

8.(2020江苏无锡高二期末,)已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成,且英文字母在前,数字在后.已知英文字母是A,B,C,D,E这5个字母中的1个,数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个,则共有　　　　个不同的编号(用数字作答). 

9.(2020河北石家庄高二期中,)某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为　　　　. 

10.()若a,b∈,构造方程+=1,则该方程表示的曲线为落在矩形区域{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的概率是　　　　. 

三、解答题

11.(2020湖北武汉江夏一中高二下学期月考,)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去,则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法有多少种?

答案全解全析

专题强化练1　两个计数原理的应用

一、选择题

1.B　先选正组长,有5种方法,再选副组长,有4种方法,根据分步乘法计数原理,不同的选法共有5×4=20种,故选B.

2.C　第二位有三种情况,第四位有三种情况,所以一共有3×3=9种情况,所以一次输对的概率为.

3.B　由分步乘法计数原理知,用0,1,…,9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10=900,组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,因此组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.

4.C　由题意知,两人从七所学校中随机选择一所参加实习,共有7×7=49种选法,他们在同一个市参加实习共有1×1+2×2+2×2+2×2=13种选法,所以他们在同一个市参加实习的概率为,故选C.

5.D　根据题意,个位数a需要满足:a+(a+1)+(a+2)<10,即a<2.3,∴个位数可取0,1,2三个数,十位数b需要满足:3b<10,∴b<3.3,∴十位数可取0,1,2,3四个数.故小于100的“开心数”共有3×4=12个.故选D.

6.C　E,F,G分别有4,3,2种涂法,

(1)当A与F相同时,A有1种涂色方法,此时B有2种涂色方法,

①若C与F相同,则C有1种涂色方法,此时D有3种涂色方法;

②若C与F不同,则D有2种涂色方法.

故此时共有4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240种涂色方法.

(2)当A与G相同时,A有1种涂色方法,

①若C与F相同,则C有1种涂色方法,此时B有2种涂色方法,D有2种涂色方法;

②若C与F不同,则C有2种涂色方法,此时B有2种涂色方法,D有1种涂色方法.

故此时共有4×3×2×1×(1×2×2+2×2×1)=192种涂色方法.

(3)当A既不同于F又不同于G时,A有1种涂色方法,

①若B与F相同,则C与A相同时,D有2种涂色方法,C与A不同时,C和D均只有1种涂色方法;

②若B与F不同,则B有1种涂色方法,

(i)若C与F相同,则C有1种涂色方法,此时D有2种涂色方法;

(ii)若C与F不同,则必与A相同,C有1种涂色方法,此时D有2种涂色方法.

故此时共有4×3×2×1×[1×(1×2+1×1)+1×(1×2+1×2)]=168种涂色方法.

综上,共有240+192+168=600种涂色方法.

故选C.

7.D　分4步进行分析:

第1步,对于A区域有5种颜色可选;

第2步,因为B区域与A区域相邻,所以有4种颜色可选;

第3步,对于E区域,因为与A,B区域相邻,所以有3种颜色可选;

第4步,对于D,C区域,若D与B颜色相同,则C区域有3种颜色可选;

若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,C区域有2种颜色可选,则区域D,C共有3+2×2=7种选择.

综上,不同的涂色方案有5×4×3×7=420种,其中,A,C区域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2=240种,

所以A,C区域涂色不相同的概率为P==,故选D.

二、填空题

8.答案　45

解析　对于英文字母来说,共有5种可能,对于数字来说,共有9种可能,按照分步乘法计数原理,可知共有5×9=45个不同的编号.

9.答案　54

解析　甲有三个培训班可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训班可选,丙、丁各有三个培训班可选,根据分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.

10.答案　

解析　因为a,b∈{1,2,3,…,11},所以a,b的不同取法总数为11×11=121.

因为椭圆在矩形区域内,故a<11,b<9且a≠b,

所以椭圆在矩形区域内的a,b的不同取法总数为10×8-8=72.

设A为事件“方程+=1表示的曲线为落在矩形区域{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆”,则P(A)=.

三、解答题

11.解析　由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12个单位,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5;3,3,6;5,5,2;4,4,4,共6种组合.

其中1,5,6;2,4,6;3,4,5这三种组合每一种有6种不同的结果,所以有3×6=18种;

其中3,3,6;5,5,2这两种组合每一种有3种不同的结果,所以有2×3=6种;

其中4,4,4这种组合只有1种结果.

根据分类加法计数原理知共有18+6+1=25种不同的结果,即某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法有25种.