2020-2021学年第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试同步练习题

这是一份2020-2021学年第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试同步练习题，共14页。试卷主要包含了已知直线l等内容，欢迎下载使用。

易错点1 忽视直线斜率不存在的情况致误
1.(2020湖南长沙一中高二期中,)已知直线l经过点M(2,4)且与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则直线l的方程为 .
2.(2020黑龙江大庆高三期末,)已知直线l:x+3y+6=0和圆C:x2+(y-3)2=4,经过点A(-1,0)的直线m与直线l相交于点N,与圆C相交于P、Q两点,且M是PQ的中点.
(1)当|PQ|=23时,求直线m的方程;
(2)判断AM·AN的值是不是定值,若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由.
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清致误
3.(2020江西南昌二中高二月考,)若动点P到点F(-2,1)的距离等于它到直线x-y+3=0的距离,则动点P的轨迹为( )
A.直线B.圆C.抛物线D.射线
4.(2019山东聊城高二月考,)若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.双曲线的一支B.圆 C.抛物线D.双曲线
5.(2020江西临川一中高二月考,)已知双曲线x236-y264=1上一点P到焦点F1的距离为15,则P到焦点F2的距离为 .
易错点3 对圆锥曲线的标准方程把握不准确致误
6.(2020甘肃兰州高二月考,)若抛物线x=ay2的准线方程为x=1,则实数a的值为 .
7.(2020山东滨州一中高二月考,)若椭圆x22m+y25=1的焦距等于4,则实数m= .
8.(2019辽宁铁岭高二期中,)已知双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线方程为y=43x,则双曲线的离心率等于 .
易错点4 对直线与圆锥曲线的位置关系理解不清致误
9.(2020湖南娄底双峰一中高三月考,)若直线l经过点(2,0)且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是( )
A.0B.1C.2D.3
10.(2020广东湛江高三期中,)在平面直角坐标系中,到点A(2,0),B(4,4)以及直线l:x+2=0的距离都相等的点P的个数为( )
A.0B.1C.2D.无数个
易错点5 求轨迹方程时忽视变量的范围致误
11.(2020江苏扬州中学高二月考,)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),若BC边的中线为定长2,则顶点C的轨迹方程为 .
12.(2020山西大同一中高二期中,)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.
思想方法练
一、分类讨论思想在平面解析几何中的应用
1.(2020河南南阳镇平一中高二月考,)已知直线l经过原点,并且点A(-2,1),B(4,3)到直线l的距离相等,则直线l的斜率为( )
A.12或13B.2或13C.2D.13
2.(多选)(2020湖北黄冈中学高二期中,)已知△ABC是一个等腰直角三角形,如果圆锥曲线以△ABC的两个顶点为焦点,且经过另外一个顶点,则该圆锥曲线的离心率可以等于( )
A.2B.22C.2-1D.2+1
3.(2020上海七宝中学高二检测,)已知F1,F2是椭圆x24+y2=1的左、右焦点,M是椭圆上一点,且△MF1F2是直角三角形,则符合条件的点M的个数为( )
A.2B.4C.6D.8
4.(2020辽宁师大附中高二期末,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为α,且cs α=13,则双曲线的离心率等于 .
二、数形结合思想在平面解析几何中的应用
5.(2020山西运城高二月考,)已知a+b-7=0,c+d-5=0,则(a+c)2+(b+d)2的最小值等于( )
A.3B.36C.32D.72
6.(2020天津河西高二期中,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于2,左、右顶点分别为A,B,点P为双曲线在第一象限内的任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,则k1k2k3的取值范围是( )
A.(0,33)B.(0,3)C.0,39D.(0,8)
7.(2020山东潍坊一中高二检测,)已知x2+2y2=3,则|x-2y+8|的最小值为( )
A.5B.11C.5D.11
8.(2020江苏镇江高二月考,)已知圆x2+y2=1的任意一条切线与圆x2+y2=4相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点,则x1x2+y1y2= .
三、函数与方程思想在平面解析几何中的应用
9.(2020吉林辽源高三模拟,)已知P,Q分别是抛物线y2=8x与圆C:(x-6)2+y2=2上的点,则|PQ|的最小值为( )
A.42B.32C.4D.3
10.(2020重庆万州一中高二月考,)已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C1,32在椭圆E上,若点P在椭圆E上,且t=PF1·PF2,则实数t的取值范围是 .
11.(2020江西南昌二中高二周考,)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
四、等价转化思想在平面解析几何中的应用
12.(2020山东省实验中学高三月考,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P(非左、右顶点)使a|PF2|=c|PF1|,则该椭圆离心率e的取值范围为( )
A.(2-1,1)B.(0,2-1)
C.22,1D.(2-2,1)
13.(2020陕西榆林高二月考,)过双曲线x216-y29=1的一个焦点F作弦AB,则1|AF|+1|BF|的值等于( )
A.92B.89
C.49D.29
14.(2020江西吉安高三月考,)已知在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,6),圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足|PB|=2|PA|,则r的取值范围是 .
答案全解全析
易混易错练
1.答案 x=2或y=4
解析 若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,此时可得A(2,0),B(2,6)或A(2,6),B(2,0),满足|AB|=6;若直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,依题意有|k-3+4-2k|k2+12+622=10,解得k=0,此时直线方程为y=4.故符合要求的直线l的方程为x=2或y=4.
2.解析 (1)当直线m与x轴垂直时,其方程为x=-1,此时直线m与圆C的交点为(-1,3+3),(-1,3-3),所以|PQ|=23,满足条件.
当直线m与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x+1),
由于|PQ|=23,所以|CM|=1,即|k-3|k2+1=1,解得k=43,所以直线m的方程为y=43(x+1),即4x-3y+4=0.
综上,直线m的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
(2)AM·AN的值为定值.
当直线m与x轴垂直时,其方程为x=-1,此时直线m与圆C的交点为(-1,3+3),(-1,3-3),所以M(-1,3),又可求得N-1,-53,
所以AM=(0,3),AN=0,-53,于是AM·AN=-5.
当直线m与x轴不垂直时,设其方程为y=k(x+1),代入圆的方程得(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),
则xM=x1+x22=-k2+3k1+k2,yM=k(xM+1)=3k2+k1+k2,即M-k2+3k1+k2,3k2+k1+k2,则AM=3k+11+k2,3k2+k1+k2,
又由y=k(x+1),x+3y+6=0得N-3k-61+3k,-5k1+3k,则AN=-51+3k,-5k1+3k.
故AM·AN=-15k-5(1+k2)(1+3k)+-5k(3k2+k)(1+k2)(1+3k)=-5(1+3k)(1+k2)(1+3k)(1+k2)=-5.
综上,AM·AN的值为定值-5.
3.A 由于点F(-2,1)恰好在直线x-y+3=0上,所以P点的轨迹是过F点且与直线x-y+3=0垂直的直线.
4.A 设动圆的圆心为P,半径为r,圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0,0),O2(4,0),半径分别为1和2,则由已知得|PO1|=r+1,|PO2|=r+2,因此|PO2|-|PO1|=1,且1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
5.答案 27
解析 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=12,又|PF1|=15,所以|PF2|=27或|PF2|=3(舍去).
6.答案 -14
解析 抛物线方程可化为y2=1ax,由于其准线方程为x=1,所以-14a=1,解得a=-14.
7.答案 92或12
解析 依题意应有22m-5=4或25-2m=4,解得m=92或m=12.
8.答案 53或54
解析 若m>0,n>0,则双曲线的焦点在x轴上,于是有ba=43,因此离心率e=ca=1+ba2=53;若m<0,n<0,则双曲线焦点在y轴上,于是有ab=43,因此离心率e=ca=1+ba2=54.综上,双曲线的离心率等于53或54.
9.C 依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).联立y=k(x-2),x2-y2=1,消去y整理得到(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0,当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点. 当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,k无解,所以符合要求的直线只有2条.
10.C 由于点P到点A(2,0)与到直线l:x+2=0的距离相等,所以点P一定在抛物线y2=8x上,又因为点P到A(2,0),B(4,4)的距离相等,所以点P也一定在线段AB的垂直平分线x+2y-7=0上,因此满足条件的点P应该为直线x+2y-7=0与抛物线y2=8x的交点,易知有2个交点,所以满足条件的点P的个数为2.
11.答案 (x+9)2+y2=16(y≠0)
解析 设C(x,y),则BC边的中点Dx+32,y2,因为|AD|=2,所以-3-x+322+0-y22=2,整理得(x+9)2+y2=16.又因为当C点在直线AB上时,不能组成三角形,故y≠0,即顶点C的轨迹方程为(x+9)2+y2=16(y≠0).
12.解析 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,线段MN的中点坐标为x0-32,y0+42.
因为平行四边形的对角线互相平分,所以x2=x0-32,y2=y0+42,从而有x0=x+3,y0=y-4,由N(x+3,y-4)在圆上得(x+3)2+(y-4)2=4,又O、M、N三点不共线,所以易得x≠-95且x≠-215,因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点-95,125,-215,285.
思想方法练
1.B 因为点A,B到直线l的距离相等,所以直线l要么经过线段AB的中点,要么与直线AB平行,当l经过线段AB的中点(1,2)时,其斜率为2;当l与直线AB平行时,其斜率为13.故直线l的斜率为2或13.
2.BCD 不妨设△ABC的直角边长为m,则斜边长为2m.如果圆锥曲线是椭圆,当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时,离心率e=2c2a=2mm+m=22;当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时,离心率e=2c2a=mm+2m=2-1.如果圆锥曲线是双曲线,则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点,这时离心率e=2c2a=m2m-m=2+1.
3.D 对△MF1F2的直角顶点分类讨论,当F1为直角顶点时,易知M点的坐标为-3,12或-3,-12;当F2为直角顶点时,易知M点的坐标为3,12或3,-12;当M为直角顶点时,可求得M点的坐标为263,33或263,-33或-263,33或-263,-33,故一共有8个.
4.答案 62或3
解析 设渐近线y=bax的倾斜角为θ,当01时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,由于cs α=13,所以cs(180°-2θ)=13,即1-tan2θ1+tan2θ=-13,解得tan2θ=2,即b2a2=2,故离心率e=ca=1+b2a2=3.
5.D 令A(a,b),B(c,d),由已知可得点A,B分别在直线x+y-7=0,x+y-5=0上,设线段AB的中点为M,则Ma+c2,b+d2,M到原点的距离d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2,依题意点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的最小距离即为原点到直线x+y-6=0的距离,为|0+0-6|2=32,因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值为32,因此(a+c)2+(b+d)2的最小值为72.
6.A 因为e=ca=2,所以b=3a,设P(x,y),则x2a2-y2b2=1,所以k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=3,又双曲线的渐近线方程为y=±3x,所以07.C 设直线l:x-2y+m=0,联立x2+2y2=3,x-2y+m=0,消去x得6y2-4my+m2-3=0,令Δ=(-4m)2-4×6×(m2-3)=0得m=±3,所以与直线x-2y+8=0平行且与椭圆x2+2y2=3相切的直线方程为x-2y±3=0,结合图像(图略)可知d的最小值即为x-2y+3=0与x-2y+8=0的距离|3-8|12+(-2)2=5,由于|x-2y+8|=|x-2y+8|5·5,而|x-2y+8|5表示点(x,y)到直线x-2y+8=0的距离,故|x-2y+8|的最小值为5×5=5.
8.答案 -2
解析 设切点为P,连接OP,OA,OB,则|OP|=1,|OA|=|OB|=2,OP⊥AB,所以∠AOP=∠BOP=60°,因此∠AOB=120°,于是OA·OB=x1x2+y1y2=|OA||OB|cs120°=-2.
9.B 设抛物线y2=8x上的点P(x0,y0),它与圆心C(6,0)的距离|PC|=(x0-6)2+y02,由于y02=8x0,所以|PC|=(x0-6)2+8x0=x02-4x0+36=(x0-2)2+32≥42,由于圆的半径为2,所以|PQ|的最小值为42-2=32.
10.答案 [2,3]
解析 依题意,设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题知半焦距c=1,所以a2-b2=1.因为点C1,32在椭圆E上,则1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,则椭圆E的方程为x24+y23=1.设P(x0,y0),由PF1·PF2=t,得(-1-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=t,即t=x02+y02-1,由于点P在E上,所以x024+y023=1,因此t=14x02+2,由于-2≤x0≤2,所以0≤x02≤4,故2≤t≤3,即实数t的取值范围为[2,3].
11.解析 (1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n,
与椭圆方程联立,可得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为点A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-433设A,C两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=n2.
由四边形ABCD为菱形可知,点3n4,n4在直线y=x+1上,
所以n4=3n4+1,解得n=-2.
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|,
因此菱形ABCD的面积S=32|AC|2.
由(1)可得,|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,
所以S=34(-3n2+16)-433所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值43.
12.A 由于a|PF2|=c|PF1|,又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以a2a-|PF1|=c|PF1|,解得|PF1|=2aca+c.由于P在椭圆上,且不是左、右顶点,因此a-c<|PF1|0,又013.B 采用特例法即可求得结果.不妨设焦点F为右焦点,则F(5,0),当AB⊥x轴时,不妨设A在第一象限,则A5,94,B5,-94,所以|AF|=|BF|=94,故1|AF|+1|BF|=89.
14.答案 [5,35]
解析 设P(x,y),由|PB|=2|PA|可得x2+(y-6)2=2(x-3)2+y2,整理可得(x-4)2+(y+2)2=20,故P点的轨迹是圆(x-4)2+(y+2)2=20,因此原问题转化为圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0)与圆(x-4)2+(y+2)2=20有公共点,又两圆圆心距d=(2-4)2+(-1+2)2=5,所以应满足|r-25|≤5≤r+25,解得5≤r≤35.