高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理本章综合与测试课堂检测

本章复习提升

易混易错练

易错点1　混淆分类与分步致误

1.()有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?

2.()甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则不同的冠军获得情况有多少种?

易错点2　对特殊对象考虑不周致误

3.()4名运动员参加4×100米接力赛,根据平时队员训练的成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.12种 B.14种 C.16种 D.24种

4.()8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙必须在后排,则共有多少种排法?

5.()有甲、乙、丙三项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有多少种?

易错点3　混淆二项展开式中项的系数与二项式系数致误

6.()已知(3x+1)6展开式中各项系数的和为m,且n=log2m,求展开式中二项式系数最大的项的系数.

7.()已知(1+2x)n的展开式中所有的二项式系数之和为128.

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求展开式中系数最大的项.

思想方法练

一、分类讨论思想在排列组合中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.()从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有(　　)

A.140种 B.420种 C.80种 D.70种

2.()某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(　　)

A.3 600 B.520  C.600  D.720

3.()如图,用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂法种数为(　　)

A.72 B.96 C.108 D.120

二、整体思想在排列组合中的应用

4.()有5盆不同的菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆菊花的不同摆放方法的种数是(　　)

A.12 B.24 C.36 D.48

5.()有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同坐法的种数是(　　)

A.234      B.346 C.350      D.363

三、函数与方程思想在二项式系数中的应用

6.(2019重庆第一中学高三联考,)已知(2x2+a)·的展开式中x2的系数是-10,求实数a的值.

7.(2020河南郑州一中高三月考,)已知(2x-1)·(x+a)6的展开式中x5的系数为24,则a=　　　　. 

8.(2019河北衡水中学高三上学期调研,)已知(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2的项的系数为70,求实数a的值.

9.(2019河南省实验中学高二月考,)将的展开式的各项按x的次数由大到小的顺序排列,首尾两项的系数之比为128,中间两项的系数之和为840.

(1)求实数a,b的值;

(2)求·x-10展开式中的常数项.

答案全解全析

本章复习提升

易混易错练

1.解析　每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理得,共可组成3+9+27=39种不同的信号.

2.解析　可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步.

第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;

第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;

第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况.

由分步乘法计数原理知,共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.

3.B　用排除法,若不考虑限制条件,4名队员全排列共有=24种排法,减去甲跑第一棒的=6种排法,乙跑第四棒的=6种排法,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒的=2种排法,共有24-6-6+2=14种不同的出场顺序.故选B.

4.解析　先排甲、乙,有种排法,再排丙,有种排法,其余5人有种排法,故共有=5 760种排法.

5.解析　解法一:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理知,不同的选法共有=2 520种.

解法二:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理知,不同的选法共有=2 520种.

6.解析　设(3x+1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=1,得m=(3+1)6=46=212,

∴n=log2m=12,∴展开式中共有13项,且中间一项(第7项)的二项式系数最大,该项为T7=()6=(-2)6x-3=59 136x-3.故所求的系数为59 136.

7.解析　(1)由题意,知2n=128,所以n=7.在二项式系数,,,…,中,最大的是与,故二项式系数最大的项是第4项与第5项,即T4=(2x)3=280x3,T5=·(2x)4=560x4.

(2)设第r+1(0≤r≤7,r∈N)项的系数最大,则有⇒

由于r∈N,故r=5,所以系数最大的项是第6项,即T6=(2x)5=672x5.

思想方法练

1.D　可分两类,男医生2名、女医生1名或男医生1名、女医生2名,共有+=70种不同的组队方案.故选D.

2.C　完成这件事可分为两类:第一类,甲、乙中有且只有一人参加,则有××=480种不同情况;第二类,甲、乙都参加,则有××=120种不同情况.由分类加法计数原理得,共有480+120=600种不同情况.故选C.

3.B　完成该问题可分两类:第一类:若区域1与区域3颜色不同,先用4种颜色涂区域1到区域4,共有种不同方法,再取区域1,2,3中的一种颜色涂区域5,有3种不同方法,由分步乘法计数原理得,有3种不同方法;第二类:若区域1与区域3颜色相同,且4种颜色全部使用,则用4种颜色涂区域1,2,4,5,有种不同方法.由分类加法计数原理得,共有3+=96种不同方法.故选B.

4.B　将2盆黄菊花视为一个整体与1盆红菊花全排列,有×种方法,再将2盆白菊花插入3个空位中,有种方法,所以不同的摆放方法的种数共有××=24,故选B.

5.B　一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有,还应再加上2,所以不同坐法的种数为-+2=346.故选B.

6.解析　的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-2r(r=0,1,2,…,6),

令6-2r=0,得r=3,令6-2r=2,得r=2,结合题意有2×(-1)3×+a×(-1)2×=-10,解得a=2.

7.答案　1或-

解析　根据题意,(x+a)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-rar(r=0,1,2,…,6),

其中当r=1时,有T2=x5a,

当r=2时,有T3=x4a2,

则(2x-1)(x+a)6的展开式中x5的系数为-a+2a2=-6a+30a2,

则有-6a+30a2=24,即5a2-a-4=0,

∴(a-1)(5a+4)=0,

∴a=1或a=-.

8.解析　(1-2x)5的展开式的通项公式为=·(-2x)r(r=0,1,2,…,5),

∴(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2的项的系数为2××(-2)2+a××(-2)=70,解得a=1.

9.解析　(1)(ax2+bx)7的展开式的通项公式为Tr+1=(ax2)7-r(bx)r(r=0,1,2,…,7),

首尾两项依次是(ax2)7(bx)0和(ax2)0(bx)7,

中间两项依次是(ax2)4(bx)3和(ax2)3(bx)4,

结合题意得

解得

(2)由(1)知原式=(2x2+x)7·x-10=(2x+1)7·x-3,

其展开式中的常数项即为(2x+1)7的展开式中含x3的项的系数,

∵(2x)3=35×8x3=280x3,

∴(ax2+bx)7·x-10展开式中的常数项为280.