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高中数学第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性精练
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这是一份高中数学第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性精练，共32页。试卷主要包含了函数f=·e2x的图像大致是等内容，欢迎下载使用。
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图像
1.若函数f(x)(x∈R)的图像如图所示,则其导函数f'(x)的图像可能为( )
2.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像,则下列判断正确的是( )
A.在(-2,1)上, f(x)是增函数
B.在(1,3)上, f(x)是减函数
C.在(4,5)上, f(x)是增函数
D.在(-3,-2)上, f(x)是增函数
3.导函数y=f'(x)的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是( )
4.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考)函数f(x)=(x2+2x)·e2x的图像大致是( )
5.(2020海南中学高三月考)函数f(x)=x2ln|x|的图像大致是( )
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
6.(2020山西吕梁高三期末)下列函数中,既是奇函数,又在其定义域上单调递增的是( )
A.f(x)=x+1x B.f(x)=ex-e-x
C.f(x)=xsin x D.f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)
7.(2020北京交通大学附属中学高二月考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是 .
8.(2020天津双菱中学高二月考)已知函数f(x)=-12x2+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递减区间为 .
9.(2020黑龙江大庆铁人中学高二期末)函数y=lnxx的单调递增区间是 .
10.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为[-1,2],则b= ,c= .
11.(2020湖南常德一中高二期末)设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
题组三 利用导数解不等式问题
12.(2020黑龙江牡丹江第三高级中学高二期末)已知函数f(x)的定义域为R, f(-1)=2,对任意x∈R, f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
13.已知函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,且f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=12f π3,b=0,c=-32f 5π6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
15.(2020辽宁沈阳高三模拟)定义在R上的可导函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>2x恒成立,则不等式f(4-x)
16.(2020北京交通大学附属中学高二月考)函数f(x)=x3+kx2-7x在区间[-1,1]上单调递减,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,2]
C.[-2,+∞) D.[2,+∞)
17.(2020山东省实验中学高二月考)若函数 f(x)=ln x+ax2-2 在区间12,2内存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-2,+∞)
C.-2,-18 D.-18,+∞
18.(2020福建福州第一中学高二月考)若函数f(x)=ex(sin x+acos x)在π4,π2上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
19.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考)已知函数f(x)=(2a-1)x+3a-4,x≤t,x3-x,x>t,无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则实数a的取值范围是 .
20.(2020北京人大附中高三期中)已知函数f(x)=e2x-ax,求f(x)的单调区间.
21. (2020黑龙江双鸭山一中高三期末)已知函数f(x)=
14x2(2ln x-1)-ax(ln x-2)-12x2,讨论f(x)的单调性.
能力提升练
题组一 利用导数研究函数的图像
1.()若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是( )
2.()已知函数y=xf'(x)的图像如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则函数y=f(x)的图像可能是( )
3.(2020四川南充白塔中学高二月考,)函数f(x)=x2ln|x||x|的图像大致是( )
4.(多选)(2020海南中学高二期末,)将函数y=f(x)和y=f'(x)的图像画在同一个平面直角坐标系中,不正确的是( )
题组二 利用导数求解函数单调性问题
5.(多选)(2020山东省实验中学高二月考,)已知函数f(x)=exx3,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(log52)
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解
6.(2020江苏宿迁宿豫中学高二月考,)若函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.-∞,13 B.13,+∞
C.-∞,13 D.13,+∞
7.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考,)函数f(x)=12ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A.a∈-∞,-12 B.a∈-12,16
C.a∈16,12 D.a∈12,+∞
8.(2020天津双菱中学高二月考,)已知函数f(x)=e2x+1-e-2x-mx在R上为增函数,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,4e] B.[4e,+∞)
C.(-∞,2e] D.[2e,+∞)
9.(2020广东中山纪念中学高三月考,)已知函数f(x)=loga(x3-ax),a>0且a≠1,若函数f(x)在区间-12,0上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.34,1 B.14,1
C.1,94 D.94,+∞
10.(2020浙江金华十校高二期末联考,)已知函数f(x)=12x2-4x+3ln x在区间t,t+32上是单调函数,则实数t的取值范围是 .
11.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考,)已知函数f(x)=x2+ln x-ax.
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
12.(2020甘肃兰州高二期末,)已知函数f(x)=-x3+ax+2,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在[-1,+∞)上只有一个零点,求a的取值范围.
13.(2020重庆康德高三期末,)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0.讨论f(x)的单调性.
题组三 利用导数解决不等式问题
14.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'π3,其中f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是( )
A.f(a)f(b)
C.f(a)=f(b) D.f(a)≤f(b)
15.()已知奇函数f(x)(x∈R), f'(x)是它的导函数,当x∈(-∞,0]时, f'(x)>1,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为 .
16.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考,)已知定义在R上的函数f(x), f'(x)是其导函数且满足f(x)+f'(x)>2, f(1)=2+4e,则不等式exf(x)>4+2ex的解集为 .
17.(2020湖南常德一中高二期末,)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),求不等式ex-1f(x)
答案全解全析
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
基础过关练
1.C 由函数f(x)(x∈R)的图像可知, f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞),因此,当x∈(1,4)时, f'(x)>0,当x∈(-∞,1)和x∈(4,+∞)时, f'(x)<0,结合选项知选C.
2.C 由题图知,当x∈(-2,1)和(1,3)时, f'(x)有正有负,故f(x)不单调,A,B错误;当x∈(4,5)时, f'(x)>0,所以在(4,5)上, f(x)是增函数,C正确;当x∈(-3,-2)时, f'(x)<0,所以在(-3,-2)上, f(x)是减函数,D错误.
3.D 由题图知,当x>0时, f'(x)>0,当x<0时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,故选D.
4.A 易得f'(x)=2(x2+3x+1)·e2x.令y=x2+3x+1,易知y=x2+3x+1的图像是开口向上的抛物线,且方程x2+3x+1=0有两个不相等的实数根,记为x1,x2,不妨设x10,当x∈(x1,x2)时,y<0,所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.所以C,D选项不正确.又当x<-2时, f(x)>0恒成立,所以B选项不正确.故选A.
5.D 易得f(-x)=-x2ln|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故排除选项A、C,又当0
对于B,易知函数f(x)是奇函数,且f'(x)=ex+e-x>0,故函数f(x)在其定义域上单调递增,符合题意;
对于C,易知函数f(x)是偶函数,不符合题意;
对于D,易知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数, f'(x)=-11-x-11+x=2x2-1<0,故函数f(x)在其定义域上单调递减,不符合题意.
7.答案 (-∞,-2),(2,+∞)
解析 由题图知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,+∞).
8.答案 (0,1],[2,+∞)
解析 易得f'(x)=-x+3-2x(x>0),
令f'(x)<0,解得x>2或0
9.答案 (0,e]
解析 函数的定义域为(0,+∞),且y'=1-lnxx2,
令y'>0,解得0
解析 易得f'(x)=3x2+2bx+c,
由题意知, f'(x)=0,
即3x2+2bx+c=0的两个实数根为-1和2,
则-1+2=-2b3,-1×2=c3,
解得b=-32,c=-6.
11.解析 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c,
∴g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c,
∵g(x)是奇函数,
∴b-3=0,且g(0)=0,
∴b=3,c=0.
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,当g'(x)>0时,x<-2或x>2,当g'(x)<0时,-2
所以函数y=g(x)在R上单调递增,又因为g(-1)=f(-1)+2-4=0.
所以要使g(x)=f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需x>-1,故选B.
13.A 令g(x)=f(x)cos x,则g'(x)=f'(x)·cos x-f(x)sin x,gπ2=0,
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0在(0,π)上恒成立,
所以g'(x)>0在(0,π)上恒成立,即g(x)在(0,π)上单调递增,
则gπ3
即a
解析 易知f(x)=3x-2sin x的定义域为R,
∴f(-x)=-3x+2sin x=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
易得f'(x)=3-2cos x>0,
∴函数f(x)在R上单调递增,
∵f(a2-3a)+f(3-a)<0,
即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),
∴a2-3a
解析 令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(x)>0在R上恒成立,则g(x)在R上单调递增,由f(4-x)2.
16.B ∵f(x)=x3+kx2-7x,
∴f'(x)=3x2+2kx-7,
由题意可知,不等式f'(x)≤0对于任意的x∈[-1,1]恒成立,
所以f'(-1)=-2k-4≤0,f'(1)=2k-4≤0,
解得-2≤k≤2.
所以实数k的取值范围是[-2,2].
17.B 易得f'(x)=1x+2ax(x>0),
若f(x)在区间12,2内存在单调递增区间,
则f'(x)>0在x∈12,2时有解集,
故a>-12x2在x∈12,2上有解集,
设g(x)=-12x2,x∈12,2,易得g(x)=-12x2在12,2上单调递增,
所以g(x)>g12=-2,故a>-2.
18.A ∵f(x)=ex(sin x+acos x)在π4,π2上单调递增,
∴f'(x)=ex[(1-a)sin x+(1+a)cos x]≥0在π4,π2上恒成立,
∵ex>0在π4,π2上恒成立,
∴(1-a)sin x+(1+a)cos x≥0在π4,π2上恒成立,
∴a(sin x-cos x)≤sin x+cos x在π4,π2上恒成立,
又sin x-cos x>0在π4,π2上恒成立,
∴a≤sinx+cosxsinx-cosx 在π4,π2上恒成立,
设g(x)=sinx+cosxsinx-cosx,x∈π4,π2,
易得g'(x)=-2(sinx-cosx)2,x∈π4,π2,
∴g'(x)<0在π4,π2上恒成立,
∴g(x)在π4,π2上单调递减,
∴g(x)>gπ2=1,
∴a≤1.
19.答案 a≤12
解析 对于函数f(x)=x3-x(x>t),其导函数f'(x)=3x2-1(x>t),
当x<-33或 x>33时, f'(x)>0,当-33
若无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,
则f(x)=(2a-1)x+3a-4(x≤t)不能为单调递增函数,所以2a-1≤0,
解得a≤12.
20.解析 函数f(x)=e2x-ax的定义域为R且f'(x)=2e2x -a.
①当a≤0时, f'(x)>0,则函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f'(x)=0,得2e2x=a,得x=12ln a2.
当x<12ln a2时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>12ln a2时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时,函数f(x)的单调递减区间为-∞,12ln a2,单调递增区间为12ln a2,+∞.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为-∞,12ln a2,单调递增区间为12ln a2,+∞.
21.解析 易得f'(x)=xln x-aln x+a-x=(x-a)(ln x-1),x∈(0,+∞).
当a=e时, f'(x)=(x-e)(ln x-1)≥0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤0时,x-a>0,则f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增;
当0
能力提升练
1.A 因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)图像上的点的切线斜率是递增的,故选A.
2.C 根据题中图像,得当x<-1时, f'(x)>0,所以f(x)递增;
当-1
故选C.
3.D 易知函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=(-x)2ln|-x||-x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故B不正确,
当x>0时, f(x)=x2lnxx=xln x,则f'(x)=1+ln x,
令f'(x)>0,得x>1e,令f'(x)<0,得0
4.ABD 对于选项A,由题中函数y=f'(x)的图像可知, f'(0)=0,但题图中函数y=f(x)的图像在x=0处的切线斜率不存在,故A不正确;
对于选项B,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)存在单调递增区间,但题图中函数y=f(x)为减函数,故B不正确;
对于选项C,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)在R上为增函数,故C正确;
对于选项D,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)有两个单调区间,但题图中函数y=f(x)有三个单调区间,故D不正确.
5.BCD 因为f(x)=exx3,所以f'(x)=exx3+3exx2=(x+3)x2ex,
故函数在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,A错误;
01,即log52
易知当x=0时, f(x)=kx=0,当x≠0时,k=f(x)x=exx2,设g(x)=exx2(x≠0),
则g'(x)=(x+2)exx(x≠0),当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,当x∈(-2,0)时,g'(x)<0,当x∈(-∞,-2)时,g'(x)>0,故函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2)上单调递增,且g(-2)=4e2.
画出函数g(x)的图像,如图所示.当0
故选BCD.
6.C 因为f(x)=x3-x2+mx+1,
所以f'(x)=3x2-2x+m,
又因为函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,
所以3x2-2x+m=0有两个不同的实数解,
可得Δ=4-12m>0,解得m<13,
即实数m的取值范围是-∞,13,
故选C.
7.A 因为函数f(x)=12ax2-2ax+ln x,
所以f'(x)=ax-2a+1x=ax2-2ax+1x(x>0),
令g(x)=ax2-2ax+1(x>0),因为函数f(x)在(1,3)上不单调,
所以ax2-2ax+1=0在(1,3)上有实数根,易知g(x)恒过点(0,1),且其图像的对称轴为直线x=1,
当a=0时,显然不成立,
当a≠0时,只需Δ>0,g(1)·g(3)<0,
解得a<-13或a>1,
即a∈-∞,-13∪(1,+∞),易知函数f(x)=12ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的充分不必要条件为-∞,-13∪(1,+∞)的一个真子集.
结合四个选项可知选A.
8.A 因为函数f(x)=e2x+1-e-2x-mx在R上为增函数,所以f'(x)=2e2x+1+2e-2x-m≥0对x∈R恒成立,即m≤2e2x+1+2e-2x对x∈R恒成立,又因为2e2x+1+2e-2x≥22e2x+1×2e-2x=4e当且仅当2e2x+1=2e-2x,即x=-14时等号成立,所以m≤4e.
9.A 设g(x)=x3-ax,则g'(x)=3x2-a,由g(x)>0可得x∈(-a,0)∪(a,+∞),令g'(x)<0可得x∈-3a3,0;令g'(x)>0,可得x∈-a,-3a3∪(a,+∞),所以函数g(x)在-3a3,0上单调递减,在-a,-3a3,(a,+∞)上单调递增.当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为-a,-3a3,(a,+∞),不合题意;当0
解析 易知函数f(x)=12x2-4x+3ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=x-4+3x=x2-4x+3x.
令f'(x)>0,得03;令f'(x)<0,得1
因为函数f(x)在t,t+32上单调,所以t,t+32为以上三个区间的子集.
①若t,t+32⊆(0,1),则t≥0,t+32≤1,无实数解;
②若t,t+32⊆(1,3),则t≥1,t+32≤3,解得1≤t≤32;
③若t,t+32⊆(3,+∞),则t≥3.
因此,实数t的取值范围是1,32∪[3,+∞).
11.解析 (1)当a=3时, f(x)=x2+ln x-3x(x>0),
所以f'(x)=2x+1x-3(x>0),令f'(x)>0,得01,
所以f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞).
(2)易知f'(x)=2x+1x-a.
∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f'(x)=2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,即a≤2x+1x在(0,1)上恒成立,
∵2x+1x≥22当且仅当x=22时,等号成立,所以a≤22,即实数a的取值范围为(-∞,22].
12.解析 (1)易得f'(x)=-3x2+a.
①当a≤0时, f'(x)≤0,此时f(x)在R上单调递减;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x1=-3a3,x2=3a3,
易得此时f(x)在-∞,-3a3和3a3,+∞上单调递减,在-3a3,3a3上单调递增.
(2)当a≤0时, f(x)在R上单调递减,
则只需f(-1)=1-a+2≥0,所以a≤3,又a≤0,所以a≤0.
当a>0时,由(1)知f(x)在-∞,-3a3和3a3,+∞上单调递减,在-3a3,3a3上单调递增,
且f3a3=2a3a9+2>0.
①当-3a3<-1,即a>3时,若f(x)在[-1,+∞)上只有一个零点,则应有f(-1)=3-a>0,又a>3,所以此时不满足题意;
②当-3a3≥-1,即0
13.解析 因为f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0,
所以f'(x)=1x+1+2ax=2ax2+2ax+1x+1,x>-1,a≠0,
设h(x)=2ax2+2ax+1,x>-1,a≠0,
则h(-1)=h(0)=1.
当0
又h(-1)=h(0)=1,所以x1,x2∈(-1,0),
故当x∈-1,-12-a2-2a2a∪-12+a2-2a2a,+∞时,h(x)>0, 则f'(x)>0,
当x∈-12-a2-2a2a,-12+a2-2a2a时,h(x)<0,则f'(x)<0,
故f(x)在-1,-12-a2-2a2a和-12+a2-2a2a,+∞上单调递增,在-12-a2-2a2a,-12+a2-2a2a上单调递减.
当a<0时,Δ=4a(a-2)>0,又h(-1)=h(0)=1,
所以当x∈-1,-12-a2-2a2a时,h(x)>0,则f'(x)>0,
当x∈-12-a2-2a2a,+∞时,h(x)<0,则f'(x)<0,
故f(x)在-1,-12-a2-2a2a上单调递增,在-12-a2-2a2a,+∞上单调递减.
综上所述,当02时, f(x)在-1,-12-a2-2a2a和-12+a2-2a2a,+∞上单调递增,在-12-a2-2a2a,-12+a2-2a2a上单调递减;
当a<0时, f(x)在-1,-12-a2-2a2a上单调递增,在-12-a2-2a2a,+∞上单调递减.
14.B 因为f'(x)=cos x+2f'π3,
所以f'π3=cos π3+2f'π3,
解得f'π3=-12,
所以f(x)=sin x-x.
因为f'(x)=cos x-1≤0,
所以f(x)为R上的减函数.
因为b=log32>log33=12=a,
所以f(a)>f(b),故选B.
15.答案 [3,+∞)
解析 令g(x)=f(x)-x,当x∈(-∞,0]时,g'(x)=f'(x)-1>0,
∴g(x)=f(x)-x在(-∞,0]上单调递增.
∵f(x)为奇函数,
∴g(x)也是奇函数,且在R上单调递增.
将f(2x-1)-f(x+2)≥x-3化为
f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2),
得g(2x-1)≥g(x+2),
∴2x-1≥x+2,解得x≥3.
∴f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为[3,+∞).
16.答案 (1,+∞)
解析 设g(x)=exf(x)-2ex,
则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-2ex=ex[f(x)+f'(x)-2],
∵f(x)+f'(x)>2,ex>0,
∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-2]>0,
∴g(x)是R上的增函数,
又∵f(1)=2+4e,
∴g(1)=ef(1)-2e=2e+4-2e=4,
∴不等式exf(x)>4+2ex等价于不等式exf(x)-2ex>4,
即g(x)>g(1),∴x>1,
∴不等式exf(x)>4+2ex的解集为(1,+∞).
17.解析 设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex,
∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
要求ex-1f(x)
∴不等式ex-1f(x)
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图像
1.若函数f(x)(x∈R)的图像如图所示,则其导函数f'(x)的图像可能为( )
2.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像,则下列判断正确的是( )
A.在(-2,1)上, f(x)是增函数
B.在(1,3)上, f(x)是减函数
C.在(4,5)上, f(x)是增函数
D.在(-3,-2)上, f(x)是增函数
3.导函数y=f'(x)的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是( )
4.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考)函数f(x)=(x2+2x)·e2x的图像大致是( )
5.(2020海南中学高三月考)函数f(x)=x2ln|x|的图像大致是( )
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
6.(2020山西吕梁高三期末)下列函数中,既是奇函数,又在其定义域上单调递增的是( )
A.f(x)=x+1x B.f(x)=ex-e-x
C.f(x)=xsin x D.f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)
7.(2020北京交通大学附属中学高二月考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是 .
8.(2020天津双菱中学高二月考)已知函数f(x)=-12x2+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递减区间为 .
9.(2020黑龙江大庆铁人中学高二期末)函数y=lnxx的单调递增区间是 .
10.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为[-1,2],则b= ,c= .
11.(2020湖南常德一中高二期末)设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
题组三 利用导数解不等式问题
12.(2020黑龙江牡丹江第三高级中学高二期末)已知函数f(x)的定义域为R, f(-1)=2,对任意x∈R, f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
13.已知函数f'(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,且f'(x)cos x-f(x)sin x>0,若a=12f π3,b=0,c=-32f 5π6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
15.(2020辽宁沈阳高三模拟)定义在R上的可导函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>2x恒成立,则不等式f(4-x)
16.(2020北京交通大学附属中学高二月考)函数f(x)=x3+kx2-7x在区间[-1,1]上单调递减,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,2]
C.[-2,+∞) D.[2,+∞)
17.(2020山东省实验中学高二月考)若函数 f(x)=ln x+ax2-2 在区间12,2内存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-2,+∞)
C.-2,-18 D.-18,+∞
18.(2020福建福州第一中学高二月考)若函数f(x)=ex(sin x+acos x)在π4,π2上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
19.(2020江苏连云港海头高级中学高二月考)已知函数f(x)=(2a-1)x+3a-4,x≤t,x3-x,x>t,无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则实数a的取值范围是 .
20.(2020北京人大附中高三期中)已知函数f(x)=e2x-ax,求f(x)的单调区间.
21. (2020黑龙江双鸭山一中高三期末)已知函数f(x)=
14x2(2ln x-1)-ax(ln x-2)-12x2,讨论f(x)的单调性.
能力提升练
题组一 利用导数研究函数的图像
1.()若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是( )
2.()已知函数y=xf'(x)的图像如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则函数y=f(x)的图像可能是( )
3.(2020四川南充白塔中学高二月考,)函数f(x)=x2ln|x||x|的图像大致是( )
4.(多选)(2020海南中学高二期末,)将函数y=f(x)和y=f'(x)的图像画在同一个平面直角坐标系中,不正确的是( )
题组二 利用导数求解函数单调性问题
5.(多选)(2020山东省实验中学高二月考,)已知函数f(x)=exx3,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(log52)
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解
6.(2020江苏宿迁宿豫中学高二月考,)若函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.-∞,13 B.13,+∞
C.-∞,13 D.13,+∞
7.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考,)函数f(x)=12ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A.a∈-∞,-12 B.a∈-12,16
C.a∈16,12 D.a∈12,+∞
8.(2020天津双菱中学高二月考,)已知函数f(x)=e2x+1-e-2x-mx在R上为增函数,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,4e] B.[4e,+∞)
C.(-∞,2e] D.[2e,+∞)
9.(2020广东中山纪念中学高三月考,)已知函数f(x)=loga(x3-ax),a>0且a≠1,若函数f(x)在区间-12,0上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.34,1 B.14,1
C.1,94 D.94,+∞
10.(2020浙江金华十校高二期末联考,)已知函数f(x)=12x2-4x+3ln x在区间t,t+32上是单调函数,则实数t的取值范围是 .
11.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考,)已知函数f(x)=x2+ln x-ax.
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
12.(2020甘肃兰州高二期末,)已知函数f(x)=-x3+ax+2,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在[-1,+∞)上只有一个零点,求a的取值范围.
13.(2020重庆康德高三期末,)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0.讨论f(x)的单调性.
题组三 利用导数解决不等式问题
14.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'π3,其中f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是( )
A.f(a)
C.f(a)=f(b) D.f(a)≤f(b)
15.()已知奇函数f(x)(x∈R), f'(x)是它的导函数,当x∈(-∞,0]时, f'(x)>1,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为 .
16.(2020黑龙江鹤岗一中高二月考,)已知定义在R上的函数f(x), f'(x)是其导函数且满足f(x)+f'(x)>2, f(1)=2+4e,则不等式exf(x)>4+2ex的解集为 .
17.(2020湖南常德一中高二期末,)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),求不等式ex-1f(x)
答案全解全析
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
基础过关练
1.C 由函数f(x)(x∈R)的图像可知, f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞),因此,当x∈(1,4)时, f'(x)>0,当x∈(-∞,1)和x∈(4,+∞)时, f'(x)<0,结合选项知选C.
2.C 由题图知,当x∈(-2,1)和(1,3)时, f'(x)有正有负,故f(x)不单调,A,B错误;当x∈(4,5)时, f'(x)>0,所以在(4,5)上, f(x)是增函数,C正确;当x∈(-3,-2)时, f'(x)<0,所以在(-3,-2)上, f(x)是减函数,D错误.
3.D 由题图知,当x>0时, f'(x)>0,当x<0时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,故选D.
4.A 易得f'(x)=2(x2+3x+1)·e2x.令y=x2+3x+1,易知y=x2+3x+1的图像是开口向上的抛物线,且方程x2+3x+1=0有两个不相等的实数根,记为x1,x2,不妨设x1
5.D 易得f(-x)=-x2ln|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故排除选项A、C,又当0
对于B,易知函数f(x)是奇函数,且f'(x)=ex+e-x>0,故函数f(x)在其定义域上单调递增,符合题意;
对于C,易知函数f(x)是偶函数,不符合题意;
对于D,易知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数, f'(x)=-11-x-11+x=2x2-1<0,故函数f(x)在其定义域上单调递减,不符合题意.
7.答案 (-∞,-2),(2,+∞)
解析 由题图知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,+∞).
8.答案 (0,1],[2,+∞)
解析 易得f'(x)=-x+3-2x(x>0),
令f'(x)<0,解得x>2或0
9.答案 (0,e]
解析 函数的定义域为(0,+∞),且y'=1-lnxx2,
令y'>0,解得0
解析 易得f'(x)=3x2+2bx+c,
由题意知, f'(x)=0,
即3x2+2bx+c=0的两个实数根为-1和2,
则-1+2=-2b3,-1×2=c3,
解得b=-32,c=-6.
11.解析 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c,
∴g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c,
∵g(x)是奇函数,
∴b-3=0,且g(0)=0,
∴b=3,c=0.
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,当g'(x)>0时,x<-2或x>2,当g'(x)<0时,-2
所以函数y=g(x)在R上单调递增,又因为g(-1)=f(-1)+2-4=0.
所以要使g(x)=f(x)-2x-4>0,即g(x)>g(-1),只需x>-1,故选B.
13.A 令g(x)=f(x)cos x,则g'(x)=f'(x)·cos x-f(x)sin x,gπ2=0,
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0在(0,π)上恒成立,
所以g'(x)>0在(0,π)上恒成立,即g(x)在(0,π)上单调递增,
则gπ3
即a
解析 易知f(x)=3x-2sin x的定义域为R,
∴f(-x)=-3x+2sin x=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
易得f'(x)=3-2cos x>0,
∴函数f(x)在R上单调递增,
∵f(a2-3a)+f(3-a)<0,
即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),
∴a2-3a
解析 令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(x)>0在R上恒成立,则g(x)在R上单调递增,由f(4-x)
16.B ∵f(x)=x3+kx2-7x,
∴f'(x)=3x2+2kx-7,
由题意可知,不等式f'(x)≤0对于任意的x∈[-1,1]恒成立,
所以f'(-1)=-2k-4≤0,f'(1)=2k-4≤0,
解得-2≤k≤2.
所以实数k的取值范围是[-2,2].
17.B 易得f'(x)=1x+2ax(x>0),
若f(x)在区间12,2内存在单调递增区间,
则f'(x)>0在x∈12,2时有解集,
故a>-12x2在x∈12,2上有解集,
设g(x)=-12x2,x∈12,2,易得g(x)=-12x2在12,2上单调递增,
所以g(x)>g12=-2,故a>-2.
18.A ∵f(x)=ex(sin x+acos x)在π4,π2上单调递增,
∴f'(x)=ex[(1-a)sin x+(1+a)cos x]≥0在π4,π2上恒成立,
∵ex>0在π4,π2上恒成立,
∴(1-a)sin x+(1+a)cos x≥0在π4,π2上恒成立,
∴a(sin x-cos x)≤sin x+cos x在π4,π2上恒成立,
又sin x-cos x>0在π4,π2上恒成立,
∴a≤sinx+cosxsinx-cosx 在π4,π2上恒成立,
设g(x)=sinx+cosxsinx-cosx,x∈π4,π2,
易得g'(x)=-2(sinx-cosx)2,x∈π4,π2,
∴g'(x)<0在π4,π2上恒成立,
∴g(x)在π4,π2上单调递减,
∴g(x)>gπ2=1,
∴a≤1.
19.答案 a≤12
解析 对于函数f(x)=x3-x(x>t),其导函数f'(x)=3x2-1(x>t),
当x<-33或 x>33时, f'(x)>0,当-33
若无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,
则f(x)=(2a-1)x+3a-4(x≤t)不能为单调递增函数,所以2a-1≤0,
解得a≤12.
20.解析 函数f(x)=e2x-ax的定义域为R且f'(x)=2e2x -a.
①当a≤0时, f'(x)>0,则函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f'(x)=0,得2e2x=a,得x=12ln a2.
当x<12ln a2时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>12ln a2时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时,函数f(x)的单调递减区间为-∞,12ln a2,单调递增区间为12ln a2,+∞.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为-∞,12ln a2,单调递增区间为12ln a2,+∞.
21.解析 易得f'(x)=xln x-aln x+a-x=(x-a)(ln x-1),x∈(0,+∞).
当a=e时, f'(x)=(x-e)(ln x-1)≥0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤0时,x-a>0,则f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增;
当0
能力提升练
1.A 因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)图像上的点的切线斜率是递增的,故选A.
2.C 根据题中图像,得当x<-1时, f'(x)>0,所以f(x)递增;
当-1
故选C.
3.D 易知函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=(-x)2ln|-x||-x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故B不正确,
当x>0时, f(x)=x2lnxx=xln x,则f'(x)=1+ln x,
令f'(x)>0,得x>1e,令f'(x)<0,得0
4.ABD 对于选项A,由题中函数y=f'(x)的图像可知, f'(0)=0,但题图中函数y=f(x)的图像在x=0处的切线斜率不存在,故A不正确;
对于选项B,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)存在单调递增区间,但题图中函数y=f(x)为减函数,故B不正确;
对于选项C,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)在R上为增函数,故C正确;
对于选项D,由题中函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)有两个单调区间,但题图中函数y=f(x)有三个单调区间,故D不正确.
5.BCD 因为f(x)=exx3,所以f'(x)=exx3+3exx2=(x+3)x2ex,
故函数在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,A错误;
0
易知当x=0时, f(x)=kx=0,当x≠0时,k=f(x)x=exx2,设g(x)=exx2(x≠0),
则g'(x)=(x+2)exx(x≠0),当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,当x∈(-2,0)时,g'(x)<0,当x∈(-∞,-2)时,g'(x)>0,故函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2)上单调递增,且g(-2)=4e2.
画出函数g(x)的图像,如图所示.当0
故选BCD.
6.C 因为f(x)=x3-x2+mx+1,
所以f'(x)=3x2-2x+m,
又因为函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,
所以3x2-2x+m=0有两个不同的实数解,
可得Δ=4-12m>0,解得m<13,
即实数m的取值范围是-∞,13,
故选C.
7.A 因为函数f(x)=12ax2-2ax+ln x,
所以f'(x)=ax-2a+1x=ax2-2ax+1x(x>0),
令g(x)=ax2-2ax+1(x>0),因为函数f(x)在(1,3)上不单调,
所以ax2-2ax+1=0在(1,3)上有实数根,易知g(x)恒过点(0,1),且其图像的对称轴为直线x=1,
当a=0时,显然不成立,
当a≠0时,只需Δ>0,g(1)·g(3)<0,
解得a<-13或a>1,
即a∈-∞,-13∪(1,+∞),易知函数f(x)=12ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的充分不必要条件为-∞,-13∪(1,+∞)的一个真子集.
结合四个选项可知选A.
8.A 因为函数f(x)=e2x+1-e-2x-mx在R上为增函数,所以f'(x)=2e2x+1+2e-2x-m≥0对x∈R恒成立,即m≤2e2x+1+2e-2x对x∈R恒成立,又因为2e2x+1+2e-2x≥22e2x+1×2e-2x=4e当且仅当2e2x+1=2e-2x,即x=-14时等号成立,所以m≤4e.
9.A 设g(x)=x3-ax,则g'(x)=3x2-a,由g(x)>0可得x∈(-a,0)∪(a,+∞),令g'(x)<0可得x∈-3a3,0;令g'(x)>0,可得x∈-a,-3a3∪(a,+∞),所以函数g(x)在-3a3,0上单调递减,在-a,-3a3,(a,+∞)上单调递增.当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为-a,-3a3,(a,+∞),不合题意;当0
解析 易知函数f(x)=12x2-4x+3ln x的定义域为(0,+∞), f'(x)=x-4+3x=x2-4x+3x.
令f'(x)>0,得0
因为函数f(x)在t,t+32上单调,所以t,t+32为以上三个区间的子集.
①若t,t+32⊆(0,1),则t≥0,t+32≤1,无实数解;
②若t,t+32⊆(1,3),则t≥1,t+32≤3,解得1≤t≤32;
③若t,t+32⊆(3,+∞),则t≥3.
因此,实数t的取值范围是1,32∪[3,+∞).
11.解析 (1)当a=3时, f(x)=x2+ln x-3x(x>0),
所以f'(x)=2x+1x-3(x>0),令f'(x)>0,得0
所以f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞).
(2)易知f'(x)=2x+1x-a.
∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f'(x)=2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,即a≤2x+1x在(0,1)上恒成立,
∵2x+1x≥22当且仅当x=22时,等号成立,所以a≤22,即实数a的取值范围为(-∞,22].
12.解析 (1)易得f'(x)=-3x2+a.
①当a≤0时, f'(x)≤0,此时f(x)在R上单调递减;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x1=-3a3,x2=3a3,
易得此时f(x)在-∞,-3a3和3a3,+∞上单调递减,在-3a3,3a3上单调递增.
(2)当a≤0时, f(x)在R上单调递减,
则只需f(-1)=1-a+2≥0,所以a≤3,又a≤0,所以a≤0.
当a>0时,由(1)知f(x)在-∞,-3a3和3a3,+∞上单调递减,在-3a3,3a3上单调递增,
且f3a3=2a3a9+2>0.
①当-3a3<-1,即a>3时,若f(x)在[-1,+∞)上只有一个零点,则应有f(-1)=3-a>0,又a>3,所以此时不满足题意;
②当-3a3≥-1,即0
13.解析 因为f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0,
所以f'(x)=1x+1+2ax=2ax2+2ax+1x+1,x>-1,a≠0,
设h(x)=2ax2+2ax+1,x>-1,a≠0,
则h(-1)=h(0)=1.
当0
又h(-1)=h(0)=1,所以x1,x2∈(-1,0),
故当x∈-1,-12-a2-2a2a∪-12+a2-2a2a,+∞时,h(x)>0, 则f'(x)>0,
当x∈-12-a2-2a2a,-12+a2-2a2a时,h(x)<0,则f'(x)<0,
故f(x)在-1,-12-a2-2a2a和-12+a2-2a2a,+∞上单调递增,在-12-a2-2a2a,-12+a2-2a2a上单调递减.
当a<0时,Δ=4a(a-2)>0,又h(-1)=h(0)=1,
所以当x∈-1,-12-a2-2a2a时,h(x)>0,则f'(x)>0,
当x∈-12-a2-2a2a,+∞时,h(x)<0,则f'(x)<0,
故f(x)在-1,-12-a2-2a2a上单调递增,在-12-a2-2a2a,+∞上单调递减.
综上所述,当0
当a<0时, f(x)在-1,-12-a2-2a2a上单调递增,在-12-a2-2a2a,+∞上单调递减.
14.B 因为f'(x)=cos x+2f'π3,
所以f'π3=cos π3+2f'π3,
解得f'π3=-12,
所以f(x)=sin x-x.
因为f'(x)=cos x-1≤0,
所以f(x)为R上的减函数.
因为b=log32>log33=12=a,
所以f(a)>f(b),故选B.
15.答案 [3,+∞)
解析 令g(x)=f(x)-x,当x∈(-∞,0]时,g'(x)=f'(x)-1>0,
∴g(x)=f(x)-x在(-∞,0]上单调递增.
∵f(x)为奇函数,
∴g(x)也是奇函数,且在R上单调递增.
将f(2x-1)-f(x+2)≥x-3化为
f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2),
得g(2x-1)≥g(x+2),
∴2x-1≥x+2,解得x≥3.
∴f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为[3,+∞).
16.答案 (1,+∞)
解析 设g(x)=exf(x)-2ex,
则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-2ex=ex[f(x)+f'(x)-2],
∵f(x)+f'(x)>2,ex>0,
∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-2]>0,
∴g(x)是R上的增函数,
又∵f(1)=2+4e,
∴g(1)=ef(1)-2e=2e+4-2e=4,
∴不等式exf(x)>4+2ex等价于不等式exf(x)-2ex>4,
即g(x)>g(1),∴x>1,
∴不等式exf(x)>4+2ex的解集为(1,+∞).
17.解析 设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex,
∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
要求ex-1f(x)
∴不等式ex-1f(x)
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