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- 8.2.1 几个函数模型的比较练习题 试卷 4 次下载
- 第8章 函数应用复习提升 试卷 试卷 5 次下载
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2020-2021学年8.2 函数与数学模型课时练习
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这是一份2020-2021学年8.2 函数与数学模型课时练习，共27页。试卷主要包含了2xD等内容，欢迎下载使用。
8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
题组一 一次函数模型及反比例函数模型
1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为( )
A.P=96V B.P=-96V
C.P=69V D.P=96V
2.(2020江苏淮安高一上学期期中)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月31日大约卖出了 千克西红柿.(结果保留整数)
3.(2019江苏江阴四校高一上学期期中联考)某市“网约车”的现行计价标准是路程在2千米以内(含2千米)按起步价8元收取,超过2千米后的路程按1.9元/千米收取,超过10千米后的路程需加收50%的返空费(即1.9×(1+50%)=2.85元/千米).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的车费f(x)(单位:元)表示为行程x(0
题组二 二次函数模型
4.(2019湖南浏阳一中、株洲二中等六校高一联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)=12x2+2x+20万元,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A.9万件 B.18万件 C.22万件 D.36万件
5.(2019江苏启东中学高一上学期期中)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4
6.(2019江苏高邮中学高一上学期期中)国庆期间,高邮市清水潭旅游景点的团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m(40
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少的现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
题组三 指数型函数模型和对数型函数模型
7.(2019江苏姜堰二中第一学期高一月考)据统计,某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万,0.4万和0.76万,则该地区这三个月的用工人数y(万)关于月数x的函数关系可近似表示为( )
A.y=2x10 B.y=110(x2+2x)
C.y=0.2x D.y=0.2+log16x
8.(2018湖北襄阳四校高一上期中联考)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究发现v与log3x100(x≥100)成正比,且当x=300时,v=12.
(1)求出v关于x的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;
(3)当鲑鱼的游速增加1 m/s时,其耗氧量是原来的几倍?
题组四 建立、拟合函数模型
9.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数型函数模型 D.对数型函数模型
10.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
11.今有一组实验数据如下:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.v=log2t B.v=log12t
C.v=t2-12 D.v=2t-2
12.(2020江苏苏州相城陆慕高级中学高一上学期期中)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x/天
10
20
25
30
Q(x)/个
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.
能力提升练
题组一 一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.(2020浙江温州十五校联合体高一上学期期中联考,)在如图所示的三角形ABC空地中,欲建一个如图所示的内接矩形 DEFG花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为( )
A.120 B.210 C.225 D.300
2.(2020四川德阳高三一诊考试,)为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=kn,n
C.30分钟 D.25分钟
3.(2020江苏盐城新丰中学高一上学期期末,)某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:
项目类别
年固定
成本
(单位:
万美元)
每件产
品成本
(单位:
万美元)
每件产品
销售价
(单位:
万美元)
每年最多可
生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上缴0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1、y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.
题组二 指数型函数模型、对数型函数模型
4.(2020江苏南京高一上学期期末,)安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm3,容器倒置后,细沙从容器内流出,t min后容器内剩余的细沙量为y=101+at(单位:cm3),其中a为常数.经过4 min后发现容器内还剩余5 cm3的细沙,再经过x min后,容器中细沙的剩余量为1.25 cm3,则x=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
5.(2020安徽六安舒城中学高一上学期第四次统考,)我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算: η=10·lgII0(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度),设η1=70的声音强度为I1,η2=60的声音强度为I2,则I1是I2的( )
A.76倍 B.10倍 C.1076倍 D.ln76倍
6.(2020云南师范大学附属中学高三月考,)我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后,厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,所以我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为12w,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤23log2wx(注:lg 2≈0.3),根据以上信息,一张长为21 cm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
7.(2020北京东城高一上学期期末,)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;②第8个月浮草的面积超过60平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号为 .
8.(2019湖南衡阳第八中学高一上学期期末,)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt,其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5小时消除了10%的污染物,试求:
(1)过滤开始后经过10小时还剩百分之几的污染物;
(2)污染物减少50%所需要的时间.(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
题组三 建立、拟合函数模型
9.(2020湖北襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中高一上学期期中联考,)2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林(William G.Kaelin Jr)在研究肾癌的VEGF抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完,则函数h=f(x)的图象为( )
10.(2018广东汕头金山中学高一上期中,)为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天)
1
2
6
市场价y(元)
5
2
10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.
11.()下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速/(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离/m
4
7
12
18
25
车速/(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离/m
34
43
54
66
80
答案全解全析
8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
1.D 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=kV(k≠0),由题图可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=96V,故选D.
2.答案 23
解析 设f(x)=ax+b(a≠0,1≤x≤10,x∈N*),
将点(1,10),(10,30)代入函数解析式,
得a+b=10,10a+b=30,解得a=209,b=709,
所以f(x)=209x+709(1≤x≤10,x∈N*),
在1月31日,即当x=7时, f(7)=209×7+709=2109≈23.
故此人在1月31日大约卖出了23千克西红柿.
3.解析 (1)由题意得,车费f(x)关于行程x的函数为
f(x)=8,0
理由如下:只乘一辆“网约车”的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),
乘两辆“网约车”的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元),
∵40.3>38.8,
∴该乘客乘两辆“网约车”比只乘一辆“网约车”更省钱.
4.B 由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,成本是12x2+2x+20万元,所以此时的利润为20x-12x2+2x+20=-12x2+18x-20=-12(x-18)2+142,结合二次函数的图象(图略)知,
当x=18时,取得最大值,为142.故选B.
5.解析 (1)由题意得当0
解得a=-18,b=52,
所以v=-18x+52.
故v关于x的函数表达式为
v=2,0
f(x)=2x,0
当4
故f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0
6.解析 (1)当0
∴y=100x,0m.
(2)当0
当400,
此时对于y=(140-m)x,y随x的增大而增大;
当40
∵x≤m,
∴40
8.解析 (1)设v=klog3x100(k≠0),
则12=klog3300100,
解得k=12,
∴v关于x的函数解析式为v=12log3x100(x≥100).
(2)当游速为1.5 m/s时,
由解析式得1.5=12log3x100,
∴log3x100=3,
∴x100=27,解得x=2 700,
即耗氧量为2 700个单位.
(3)设原来的游速为v0 m/s,耗氧量为x0,游速增加1 m/s后为(v0+1)m/s,耗氧量为x,
则v0=12log3x0100,①
v0+1=12log3x100,②
②-①,得1=12log3x100-12log3x0100
=12log3xx0,
∴log3xx0=2,
∴xx0=32=9.
∴耗氧量是原来的9倍.
9.D 由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.
10.A 由题中的图象可知,该函数模型应为指数函数,设指数函数为y=at(a≠0),将点(2,4)代入,得a=2,所以指数函数的解析式为y=2t .故选A.
11.C 由题表可知v随着t的增大而增大,所以排除B;
对于A,log21.99≈1,log23≈1.58,log24=2,所以排除A;
对于C,1.992-12≈1.5,32-12=4,42-12=7.5,5.12-12≈12.5,6.122-12≈18.2,所以C中的函数比较接近;
对于D,2×1.99-2=1.98,2×3-2=4,2×4-2=6,2×5.1-2=8.2,2×6.12-2=10.24,所以排除D.故选C.
12.解析 (1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k=1,即k的值为1.
(2)由题中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①③④中的函数为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
从题表中可得Q(10)=110,Q(20)=120,解得a=-1,b=125, 故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=100+x,1≤x<25,x∈N*,150-x,25≤x≤30,x∈N*,
∴f(x)=P(x)·Q(x)
=x+100x+101,1≤x<25,x∈N*,150x-x+149,25≤x≤30,x∈N*,
当1≤x<25时,y=x+100x在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,所以当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=150x-x是单调递减的,所以当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元.
能力提升练
1.C 由题意可得,△ADE∽△ABC,设DE=x,DG=y,则x30=30-y30⇒y=30-x,所以矩形的面积为xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,所以当矩形的长为15时,面积最大,为225.故选C.
2.C 由该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟及函数f(n)的解析式知f(9)=k9=20,∴k=60,又4<9,∴f(4)=604=30.故选C.
3.解析 (1)生产A、B两种产品的年利润分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N;
y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,且x∈N.
(2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x-20为增函数,
又0≤x≤200且x∈N,所以x=200时,生产A产品有最大利润,最大利润为(10-m)×200-20=1 980-200m(万美元).
y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N,
所以x=100时,生产B产品有最大利润,最大利润为460万美元.
(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.
令1 520-200m>0,得6≤m<7.6;
令1 520-200m=0,得m=7.6;
令1 520-200m<0,得7.6
当7.6
4.C 当t=4时,y=5,所以5=101+4a,即1+4a=lg 5,解得a=14lg12.
设经过m min后,剩余的细沙量为54 cm3,则101+14m·lg12=10lg[10·(12)14m]=10·1214m=54,即1214m=123,解得m=12,所以再经过的时间x=12-4=8.
故选C.
5.B 因为η=10·lgII0,
所以将η1=70,η2=60代入,
得70=10·lgI1I0,60=10·lgI2I0,
两式相减,得10=10·lgI1I0-lgI2I0,
即lgI1I2=1,所以I1I2=10.
故选B.
6.答案 8
解析 由题意得n≤23log24 200
=23log24+log21 000+log22120
=232+3log210+log22120,
因为log210=1lg2≈10.3,0
所以n的最大值为8.
故答案为8.
7.答案 ①②④
解析 由题图知,函数y=at-1(a>0且a≠1)的图象经过点(2,2),
所以2=a2-1 ,解得a=2,所以浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=2t-1.
①当t=0时,y=12,故①正确.
②当t=8时,y=28-1=27=128>60,故②正确.
③当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故③错误.
④令2t1-1=10,解得t1=log210+1,
同理,t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t2=log2300+2,故④正确.
故答案为①②④.
8.解析 (1)由题意可知,当t=0时,P=P0,当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-15ln 0.9,∴P=P0e(15ln0.9)t.当t=10时,P=P0e(15ln0.9)×10=P0eln 0.81=81%P0,
∴过滤开始后经过10小时还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e(15ln0.9)t,
解得t=ln0.515ln0.9=5ln 12ln 910=5×-ln2ln9-ln10=5×ln2ln2+ln5-2ln3≈35.
∴污染物减少50%所需要的时间约为35小时.
9.C 由题意知,每分钟滴下π cm3药液,
当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-x16,此时0≤x≤144;
当1≤h<4时,xπ=π·42·9+π·22·(4-h),即h=40-x4,此时144
10.解析 (1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数模型.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题表中数据可知a+b+c=5,4a+2b+c=2,36a+6b+c=10,解得a=1,b=-6,c=10,
∴f(x)=x2-6x+10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,f(x)取得最小值,为1,
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元.
11.解析 若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·e10k=4,a·e40k=18,解得k≈0.050 136,a≈2.422 8,
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.328 9,
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况相比误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2 ,
∴y=1150x2+215x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它最符合实际情况.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
题组一 一次函数模型及反比例函数模型
1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为( )
A.P=96V B.P=-96V
C.P=69V D.P=96V
2.(2020江苏淮安高一上学期期中)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月31日大约卖出了 千克西红柿.(结果保留整数)
3.(2019江苏江阴四校高一上学期期中联考)某市“网约车”的现行计价标准是路程在2千米以内(含2千米)按起步价8元收取,超过2千米后的路程按1.9元/千米收取,超过10千米后的路程需加收50%的返空费(即1.9×(1+50%)=2.85元/千米).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的车费f(x)(单位:元)表示为行程x(0
题组二 二次函数模型
4.(2019湖南浏阳一中、株洲二中等六校高一联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)=12x2+2x+20万元,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A.9万件 B.18万件 C.22万件 D.36万件
5.(2019江苏启东中学高一上学期期中)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4
6.(2019江苏高邮中学高一上学期期中)国庆期间,高邮市清水潭旅游景点的团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m(40
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少的现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
题组三 指数型函数模型和对数型函数模型
7.(2019江苏姜堰二中第一学期高一月考)据统计,某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万,0.4万和0.76万,则该地区这三个月的用工人数y(万)关于月数x的函数关系可近似表示为( )
A.y=2x10 B.y=110(x2+2x)
C.y=0.2x D.y=0.2+log16x
8.(2018湖北襄阳四校高一上期中联考)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究发现v与log3x100(x≥100)成正比,且当x=300时,v=12.
(1)求出v关于x的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;
(3)当鲑鱼的游速增加1 m/s时,其耗氧量是原来的几倍?
题组四 建立、拟合函数模型
9.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数型函数模型 D.对数型函数模型
10.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
11.今有一组实验数据如下:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.v=log2t B.v=log12t
C.v=t2-12 D.v=2t-2
12.(2020江苏苏州相城陆慕高级中学高一上学期期中)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x/天
10
20
25
30
Q(x)/个
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.
能力提升练
题组一 一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.(2020浙江温州十五校联合体高一上学期期中联考,)在如图所示的三角形ABC空地中,欲建一个如图所示的内接矩形 DEFG花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为( )
A.120 B.210 C.225 D.300
2.(2020四川德阳高三一诊考试,)为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=kn,n
C.30分钟 D.25分钟
3.(2020江苏盐城新丰中学高一上学期期末,)某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:
项目类别
年固定
成本
(单位:
万美元)
每件产
品成本
(单位:
万美元)
每件产品
销售价
(单位:
万美元)
每年最多可
生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上缴0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1、y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.
题组二 指数型函数模型、对数型函数模型
4.(2020江苏南京高一上学期期末,)安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm3,容器倒置后,细沙从容器内流出,t min后容器内剩余的细沙量为y=101+at(单位:cm3),其中a为常数.经过4 min后发现容器内还剩余5 cm3的细沙,再经过x min后,容器中细沙的剩余量为1.25 cm3,则x=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
5.(2020安徽六安舒城中学高一上学期第四次统考,)我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算: η=10·lgII0(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度),设η1=70的声音强度为I1,η2=60的声音强度为I2,则I1是I2的( )
A.76倍 B.10倍 C.1076倍 D.ln76倍
6.(2020云南师范大学附属中学高三月考,)我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后,厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,所以我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为12w,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤23log2wx(注:lg 2≈0.3),根据以上信息,一张长为21 cm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
7.(2020北京东城高一上学期期末,)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;②第8个月浮草的面积超过60平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号为 .
8.(2019湖南衡阳第八中学高一上学期期末,)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt,其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5小时消除了10%的污染物,试求:
(1)过滤开始后经过10小时还剩百分之几的污染物;
(2)污染物减少50%所需要的时间.(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
题组三 建立、拟合函数模型
9.(2020湖北襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中高一上学期期中联考,)2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林(William G.Kaelin Jr)在研究肾癌的VEGF抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完,则函数h=f(x)的图象为( )
10.(2018广东汕头金山中学高一上期中,)为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天)
1
2
6
市场价y(元)
5
2
10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.
11.()下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速/(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离/m
4
7
12
18
25
车速/(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离/m
34
43
54
66
80
答案全解全析
8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
1.D 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=kV(k≠0),由题图可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=96V,故选D.
2.答案 23
解析 设f(x)=ax+b(a≠0,1≤x≤10,x∈N*),
将点(1,10),(10,30)代入函数解析式,
得a+b=10,10a+b=30,解得a=209,b=709,
所以f(x)=209x+709(1≤x≤10,x∈N*),
在1月31日,即当x=7时, f(7)=209×7+709=2109≈23.
故此人在1月31日大约卖出了23千克西红柿.
3.解析 (1)由题意得,车费f(x)关于行程x的函数为
f(x)=8,0
理由如下:只乘一辆“网约车”的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),
乘两辆“网约车”的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元),
∵40.3>38.8,
∴该乘客乘两辆“网约车”比只乘一辆“网约车”更省钱.
4.B 由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,成本是12x2+2x+20万元,所以此时的利润为20x-12x2+2x+20=-12x2+18x-20=-12(x-18)2+142,结合二次函数的图象(图略)知,
当x=18时,取得最大值,为142.故选B.
5.解析 (1)由题意得当0
解得a=-18,b=52,
所以v=-18x+52.
故v关于x的函数表达式为
v=2,0
f(x)=2x,0
当4
故f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0
6.解析 (1)当0
∴y=100x,0
(2)当0
当40
此时对于y=(140-m)x,y随x的增大而增大;
当40
∵x≤m,
∴40
8.解析 (1)设v=klog3x100(k≠0),
则12=klog3300100,
解得k=12,
∴v关于x的函数解析式为v=12log3x100(x≥100).
(2)当游速为1.5 m/s时,
由解析式得1.5=12log3x100,
∴log3x100=3,
∴x100=27,解得x=2 700,
即耗氧量为2 700个单位.
(3)设原来的游速为v0 m/s,耗氧量为x0,游速增加1 m/s后为(v0+1)m/s,耗氧量为x,
则v0=12log3x0100,①
v0+1=12log3x100,②
②-①,得1=12log3x100-12log3x0100
=12log3xx0,
∴log3xx0=2,
∴xx0=32=9.
∴耗氧量是原来的9倍.
9.D 由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.
10.A 由题中的图象可知,该函数模型应为指数函数,设指数函数为y=at(a≠0),将点(2,4)代入,得a=2,所以指数函数的解析式为y=2t .故选A.
11.C 由题表可知v随着t的增大而增大,所以排除B;
对于A,log21.99≈1,log23≈1.58,log24=2,所以排除A;
对于C,1.992-12≈1.5,32-12=4,42-12=7.5,5.12-12≈12.5,6.122-12≈18.2,所以C中的函数比较接近;
对于D,2×1.99-2=1.98,2×3-2=4,2×4-2=6,2×5.1-2=8.2,2×6.12-2=10.24,所以排除D.故选C.
12.解析 (1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k=1,即k的值为1.
(2)由题中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①③④中的函数为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
从题表中可得Q(10)=110,Q(20)=120,解得a=-1,b=125, 故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=100+x,1≤x<25,x∈N*,150-x,25≤x≤30,x∈N*,
∴f(x)=P(x)·Q(x)
=x+100x+101,1≤x<25,x∈N*,150x-x+149,25≤x≤30,x∈N*,
当1≤x<25时,y=x+100x在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,所以当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=150x-x是单调递减的,所以当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元.
能力提升练
1.C 由题意可得,△ADE∽△ABC,设DE=x,DG=y,则x30=30-y30⇒y=30-x,所以矩形的面积为xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,所以当矩形的长为15时,面积最大,为225.故选C.
2.C 由该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟及函数f(n)的解析式知f(9)=k9=20,∴k=60,又4<9,∴f(4)=604=30.故选C.
3.解析 (1)生产A、B两种产品的年利润分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N;
y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,且x∈N.
(2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x-20为增函数,
又0≤x≤200且x∈N,所以x=200时,生产A产品有最大利润,最大利润为(10-m)×200-20=1 980-200m(万美元).
y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N,
所以x=100时,生产B产品有最大利润,最大利润为460万美元.
(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.
令1 520-200m>0,得6≤m<7.6;
令1 520-200m=0,得m=7.6;
令1 520-200m<0,得7.6
当7.6
4.C 当t=4时,y=5,所以5=101+4a,即1+4a=lg 5,解得a=14lg12.
设经过m min后,剩余的细沙量为54 cm3,则101+14m·lg12=10lg[10·(12)14m]=10·1214m=54,即1214m=123,解得m=12,所以再经过的时间x=12-4=8.
故选C.
5.B 因为η=10·lgII0,
所以将η1=70,η2=60代入,
得70=10·lgI1I0,60=10·lgI2I0,
两式相减,得10=10·lgI1I0-lgI2I0,
即lgI1I2=1,所以I1I2=10.
故选B.
6.答案 8
解析 由题意得n≤23log24 200
=23log24+log21 000+log22120
=232+3log210+log22120,
因为log210=1lg2≈10.3,0
所以n的最大值为8.
故答案为8.
7.答案 ①②④
解析 由题图知,函数y=at-1(a>0且a≠1)的图象经过点(2,2),
所以2=a2-1 ,解得a=2,所以浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=2t-1.
①当t=0时,y=12,故①正确.
②当t=8时,y=28-1=27=128>60,故②正确.
③当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故③错误.
④令2t1-1=10,解得t1=log210+1,
同理,t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t2=log2300+2,故④正确.
故答案为①②④.
8.解析 (1)由题意可知,当t=0时,P=P0,当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-15ln 0.9,∴P=P0e(15ln0.9)t.当t=10时,P=P0e(15ln0.9)×10=P0eln 0.81=81%P0,
∴过滤开始后经过10小时还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e(15ln0.9)t,
解得t=ln0.515ln0.9=5ln 12ln 910=5×-ln2ln9-ln10=5×ln2ln2+ln5-2ln3≈35.
∴污染物减少50%所需要的时间约为35小时.
9.C 由题意知,每分钟滴下π cm3药液,
当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-x16,此时0≤x≤144;
当1≤h<4时,xπ=π·42·9+π·22·(4-h),即h=40-x4,此时144
10.解析 (1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数模型.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题表中数据可知a+b+c=5,4a+2b+c=2,36a+6b+c=10,解得a=1,b=-6,c=10,
∴f(x)=x2-6x+10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,f(x)取得最小值,为1,
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元.
11.解析 若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·e10k=4,a·e40k=18,解得k≈0.050 136,a≈2.422 8,
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.328 9,
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况相比误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2 ,
∴y=1150x2+215x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它最符合实际情况.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
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