高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试课时作业

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一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

2.已知函数f(x)为奇函数,且x≥0时, f(x)=2x+x+m,则f(-1)=(　　)

A.- B. C.-2 D.2

3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3) B.(1,2)

C.(0,3) D.(0,2)

4.设x0是方程log4x+x=7的解,若x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n的值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

5.已知定义在R上的函数f(x)的图象是不间断的,且有如下对应值表:

则函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)

A.(-∞,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,+∞)

6.现有一组试验数据如下表所示:

则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　)

A.y= B.y=log2t

C.y=·2t D.y=t2

7.下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)

8.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的是(　　)

(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)

A.2020年 B.2021年

C.2022年 D.2023年

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列函数中,是奇函数且存在零点的是(　　)

A.y=x3+x B.y=log2x

C.y=2x2-3 D.y=x|x|

10.已知函数f(x)=,则下列关于f(x)的性质表述正确的是(　　)

A. f(x)为奇函数

B. f=-f(x)

C. f(x)在[2,3]上的最大值为-

D.g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上无零点

11.已知函数f(x)=k≠0,下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是(　　)

A.当k>0时,有3个零点

B.当k<0时,有2个零点

C.当k>0时,有4个零点

D.当k<0时,有1个零点

12.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时, f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是(　　 )

A. f(x)=2x B. f(x)=3-

C. f(x)=x2-2x D. f(x)=ln x+2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.若函数y=f(x)的图象是不间断的,且有如下的对应值表:

则函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有　　　个. 

14.方程ex=10-3x的解x∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　. 

15.已知函数f(x)= 则函数g(x)=f(x)-2的零点个数为　　　　. 

16.设函数y=f(x)的定义域为R,且满足对任意x∈R,f(x)=f(x+2),且当x∈[-1,1)时, f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).

(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;

(2)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.

(1)当实数m满足什么条件时,函数f(x)有两个零点?

(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,且x1<0<x2,求实数m的取值范围.

19.(本小题满分12分)某企业拟用10万元投资甲,乙两种商品.已知各投入x万元,甲,乙两种商品分别可获得y1,y2万元的利润,利润P1:y1=axn,P2:y2=bx+c的图象如图所示.

(1)求函数y1,y2的解析式;

(2)应怎样分配投资资金,才能使投资获得的利润最大?

20.(本小题满分12分)为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出去的电动观光车就增加2辆.为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得).

(1)求函数y的解析式及其定义域;

(2)当每辆电动观光车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x|x-1|-3x+3.

(1)求函数f(x)的零点;

(2)若关于x的方程f 2(x)-mf(x)+n=0(m,n∈R)恰有5个不同的实数解,求实数m的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).

(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围;

(2)设h(x)=log2,若f(x)是偶函数,且函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,求实数b的取值范围.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.C　f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,故选C.

2.C　因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即20+0+m=0,所以m=-1,所以f(x)=2x+x-1(x≥0).因为f(-1)=-f(1), f(1)=2,所以f(-1)=-2.

3.C　由题可知f(1)f(2)=(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.故选C.

4.C　设f(x)=log4x+x-7,

易得y=f(x)为增函数,且其在区间[5,6]上的图象是不间断的,

因为f(5)=log45+5-7=log45-2<0,

f(6)=log46+6-7=log46-1>0,

又x0是方程log4x+x=7的实数解,

所以x0∈(5,6),

又x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n=5,故选C.

5.C　定义在R上的函数f(x)的图象是不间断的,且由题表知f(2)f(3)<0,故函数f(x)在(2,3)内一定存在零点.故选C.

6.C　根据题表数据画出散点图,如图所示,

由图中点的分布特征,知 y=·2t更能体现这些数据关系.故选C.

7.C　A中所表示的函数无零点,B和D中所表示的函数有零点,但它们在零点两侧的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而C中所表示的函数图象是不间断的,图象与x轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以C中图象所表示的函数能用二分法求零点.故选C.

8.B　设再经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.

由题意得130(1+12%)n>200,

∴lg[130(1+12%)n]>lg200,

∴lg 130+nlg 1.12>lg 200,

∴lg 1.3+2+nlg 1.12>lg 2+2,

∴n>3.8,

又n∈N*,

∴nmin=4,

∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的是2021年.

二、多项选择题

9.AD　A中,y=x3+x是奇函数,且存在零点0,符合题意;

B中,y=log2x是非奇非偶函数,不符合题意;

C中,y=2x2-3是偶函数,不符合题意;

D中,y=x|x|是奇函数,且存在零点0,符合题意.

10.BC　f(x)=的定义域为R,关于原点对称,

A选项,f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A错误;

B选项,f=-f(x),故B正确;

C选项,f(x)=,当x∈[2,3]时,f(x)=-1+单调递减,因此f(x)max=f(2)=-1+,故C正确;

D选项,因为g(x)=f(x)+x,所以g(-1)=f(-1)-1=-1,g(0)=f(0)+0=1,即g(-1)·g(0)<0,易知g(x)在区间[-1,0]上的图象不间断,所以g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上存在零点,故D错误.故选BC.

11.CD　当k>0时, f(x)=的大致图象如图所示.

此时f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1有f1(x)=-∈(-∞,0), f2(x)=两种情况.

又f1(x)=-∈(-∞,0)有两个实数根, f2(x)=也有两个实数根,故f(f(x))+1=0有4个实数根,即函数y=f(f(x))+4有4个零点.

当k<0时, f(x)=的大致图象如图所示.

又f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1只有f(x)=这一种情况,又f(x)=仅有一个实数根,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.综上,当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点.故选CD.

12.BD　对于A,函数单调递增,若定义域为[m,n],则值域为[2m,2n],故f(x)=2x不存在“和谐区间”;

对于B, f(x)=3-为定义域内的增函数,假设f(x)在x∈(0,+∞)上存在“和谐区间”,使得当定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得故函数存在“和谐区间”;

对于C, f(x)=x2-2x,其图象的对称轴为直线x=1,当x∈(-∞,1)时,函数为减函数,若定义域为[m,n],值域为[m,n],则解得m=n=0,不满足题意;同理当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,不满足题意,所以f(x)=x2-2x不存在“和谐区间”;

对于D, f(x)=ln x+2为定义域内的增函数,则应满足令h(x)=ln x,g(x)=x-2,作出h(x),g(x)的图象,如图所示,由图可知,两函数的图象有两个交点,则存在“和谐区间”.

故选BD.

三、填空题

13.答案　2

解析　由题表得f(1)f(2)<0, f(4)f(5)<0,因为函数y=f(x)的图象是不间断的,

所以函数y=f(x)在(1,2)上至少有1个零点,在(4,5)上至少有1个零点,

所以函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有2个.

14.答案　1

解析　方程ex=10-3x,即ex+3x-10=0,设f(x)=ex+3x-10,

易知函数f(x)为增函数,且其在定义域内的图象是不间断的,

且f(1)=e+3-10<0, f(2)=e2+6-10>0,

又x∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.

15.答案　2

解析　g(x)的零点即为方程g(x)=0的解.当x≤1时,令3-2x=2,解得x=,符合题意;当x>1时,令x2=2,解得x=舍去),符合题意,故g(x)的零点个数为2.

16.答案　14

解析　函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数即为函数y=f(x),y=g(x)的图象在区间[-5,10]内的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图,

由图可得两个函数图象有14个交点,故函数零点的个数是14.

四、解答题

17.解析　(1)函数f(x)的图象为开口向上,对称轴为直线x=a的抛物线,所以f(x)在[1,a]上单调递减,

所以解得a=2.(4分)

(2)f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点,即x2-2ax+5=0在[1,3]上有解,即2a=x+在[1,3]上有解,(8分)

令h(x)=x+,

因为h(x)=x+在[1,]上是减函数,在[,3]上是增函数,

所以2≤h(x)≤6,所以2≤2a≤6,

所以≤a≤3,即实数a的取值范围为[,3].(10分)

18.解析　(1)由题意,知

解得m<1且m≠-1,

即当m<1且m≠-1时,函数f(x)有两个零点.(5分)

(2) 根据二次函数图象的性质可得

或

解得-1<m<,(10分)

故实数m的取值范围为-1<m<.(12分)

19.解析　(1)由题图知(1,1.25),(4,2.5)在曲线P1上,则

解得即y1= .(3分)

又(4,1)在直线P2上,且c=0,则1=4b,

则b=,所以y2=x.(6分)

(2)设投资甲商品x万元,则投资乙商品(10-x)万元,投资获得的利润为y万元,则

y=,(8分)

令=t,t∈[0,],

则y=-.

当t=,即x==6.25时,利润最大,最大为=4.062 5万元,(10分)

此时10-x=3.75,(11分)

综上,当投资甲商品6.25万元,投资乙商品3.75万元时,投资获得的利润最大,最大为4.062 5万元.(12分)

20.解析　(1)当x≤5时,y=60x-120,

令60x-120>0,得x>2,

∵x∈N*,∴3≤x≤5(x∈N*),

当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,

令-2x2+70x-120>0,

即x2-35x+60<0,

 上述不等式的整数解为2≤x≤33(x∈N*),

∴5<x≤33(x∈N*).(4分)

综上所述,可得

y= (6分)

(2)对于y=60x-120,3≤x≤5,x∈N*,

显然当x=5时,ymax=180.

对于y=-2x2+70x-120=-2,5<x≤33,x∈N*,

∴当x=17或18时,ymax=492,492>180.(10分)

综上所述,当每辆电动观光车的日租金为17元或18元时,才能使一日的净收入最多.(12分)

21.解析　(1)由题得f(x)=x|x-1|-3x+3=

①当x<1时,令f(x)=0,得x=-3或x=1(舍去);(2分)

②当x≥1时,令f(x)=0,得x=1或x=3.(4分)

综上,函数f(x)的零点是-3,1,3.(5分)

(2)作出函数f(x)=x|x-1|-3x+3=的图象,如图:

(6分)

令t=f(x),若关于x的方程f 2(x)-mf(x)+n=0恰有5个不同的实数解,

解法一:令g(x)=t2-mt+n,则函数g(t)=t2-mt+n的零点的分布情况如下:

①当t1=-1,t2∈(-1,4)时,

即故m∈(-2,3);(8分)

②当t1=4,t2∈(-1,4)时,

即故m∈(3,8).(10分)

综上所述,实数m的取值范围为(-2,3)∪(3,8).(12分)

解法二:则方程t2-mt+n=0的实数解的情况如下:

①当t1=-1,t2∈(-1,4)时,由t1=-1得1+m+n=0,

则方程可化为t2-mt-(m+1)=0,即(t+1)·(t-m-1)=0,(8分)

故t2=m+1∈(-1,4),所以m∈(-2,3);

②当t1=4,t2∈(-1,4)时,由t1=4得16-4m+n=0,

则方程可化为t2-mt+4(m-4)=0,即(t-4)(t-m+4)=0,(10分)

故t2=m-4∈(-1,4),所以m∈(3,8).(11分)

综上所述,实数m的取值范围为(-2,3)∪(3,8).(12分)

22.解析　(1)函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有实数解.(1分)

因为k=2,所以f(x)=log2(4x+1)-2x

=log2,(2分)

因为1+>1,所以log2>0,

即f(x)>0,(3分)

因为f(x)=a-1有解, f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以a-1>0,即a>1,所以实数a的取值范围是(1,+∞).(5分)

(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R, f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),

∴log2+k=log2(4+1)-k,∴k=1,(6分)

检验: f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2(2x+2-x),f(-x)=log2(2-x+2x),

∴f(x)=f(-x),

又f(x)的定义域为R,关于原点对称,

∴f(x)为偶函数.(7分)

∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,

∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解,(8分)

令t=2x,t>0,则方程3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正解或有两个相等的正解,

当b=1时,t=-<0,不符合题意;(9分)

当b≠1时,若方程有两个相等的正数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b1=b2=-3,(10分)

若方程有两个不相等的实数解且只有一个正解根时,因为y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),所以只需图象开口向上,即b-1>0,解得b>1.(11分)

综上,实数b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).(12分)