选择性必修第二册综合测评

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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修第二册本册综合习题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知某同学在高二期末考试中,A和B两道选择题同时答对的概率为23,在A题答对的情况下,B题也答对的概率为89,则A题答对的概率为(　　)
A.14 B.12 C.34 D.79
2.一车间为规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验,测得的数据如下:
零件数x(个)
2
3
4
5
加工时间y(分钟)
26
a
49
54
根据上表可得回归方程y^=9.4x+9.1,则实数a的值为(　　)
A.37.3 B.38 C.39 D.39.5
3.在(2+x)6(1+y)m的展开式中,令x3y的系数为800,则xy4的系数为(　　)
A.30 B.960 C.300 D.360
4.已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),若P(X<4)=0.7,则P(0 A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7
5.为深入贯彻“精准扶贫”计划,某地党委决定安排6名党员干部到4个贫困村驻村扶贫,每个贫困村至少分配1名党员干部,则不同的分配方案共有(　　)
A.2 640种 B.4 800种
C.1 560种 D.7 200种
6.连续投掷2粒大小相同、质地均匀的骰子3次,则恰有2次向上的点数之和不小于10的概率为(　　)
A.112 B.572 C.115 D.5216
7.某次数学竞赛为填空题比赛,共10道题目,某位选手做题有一个古怪的习惯:先从最后一题(第10题)开始往前看,凡是遇到会的题就作答,遇到不会的题目先跳过(允许跳过所有的题目),一直看到第1题;然后从第1题开始往后看,凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案,遇到先前已答的题目则跳过(例如,他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答题),这样所有的题目均有作答,设这位选手可能的答题次序有m种,则m的值为(　　)
A.512 B.511 C.1 024 D.1 023
8.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,其中0 A.E(η)>E(ξ) B.E(η) C.D(η)>D(ξ) D.D(η)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　)
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
10.下列关于正态分布N(μ,σ2)(σ>0)的命题正确的是(　　)
A.正态曲线关于y轴对称
B.当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”
C.设随机变量X~N(2,4),则D12X等于2
D.当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移
11.“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度函数为φ(x)=1102πe-(x-100)2200,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是(　　)
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.该地水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
12.下列判断正确的是(　　)
A.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ<4)=0.79,则P(ξ≤-2)=0.21
B.同时抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚反面向上},则A与B是互斥事件
C.若随机变量ξ~B4,14,则E(ξ)=1
D.设0 ξ
0
1
2
P
1-p2
12
p2
则当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先减小后增大

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知A,B独立,若P(A|B)=0.66,则P(A)=　　　　　 .
14.2020年世界各地相继出现新冠疫情,这已经成为全球性的公共卫生问题.为了测试某种新冠疫苗的效果,某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
则在犯错误的概率不超过　　　　的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染新冠肺炎”有关系.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
15.已知3x2+1xn(n∈N+)的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240,则n=　　　　;展开式中的系数最大的项是　　　　.
16.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为Y,若Y的数学期望E(Y)>74,则p的取值范围是　　　　.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知2x-1x5.
(1)求展开式中1x的系数;
(2)设2x-1x5的展开式中前三项的二项式系数之和为M,(1+ax)6的展开式中各项系数之和为N,若4M=N,求实数a的值.

18.(12分)甲、乙两人射击,甲射击1次中靶的概率是12,乙射击1次中靶的概率是13.
(1)两人各射击1次,至少中靶1次才算完成目标,则完成目标的概率是多少?
(2)两人各射击2次,至少中靶3次才算完成目标,则完成目标的概率是多少?

19.(12分)近年来,学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂,考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业,报考专业分布更加广泛,之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码(t)
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
510
511
520
512
526
数学专业录取平均分
522
527
539
537
554
提档线与数学专业录取
平均分之差(y)
12
16
19
25
28
(1)根据上表数据可知,y与t之间存在线性相关关系,求y关于t的线性回归方程;
(2)据以往数据可知,该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布N(μ,16),其中μ为当年该大学的数学录取平均分,假设2020年该校最低提档分数线为540分,某同学2020年高考考了560分,他很想报考这所大学的数学专业,想第一志愿填报,请利用概率与统计知识,给该同学一个合理的建议.(第一志愿录取可能性低于60%,则建议谨慎报考)
参考公式:b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2=∑i=1ntiyi-nty∑i=1nti2-nt 2,
a^=y-b^t.
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954.

20.(12分)景泰蓝(Cloisonne),中国的著名特种金属工艺品之一,到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰,因制作出的工艺品最为精美而闻名,故后人称这种瓷器为“景泰蓝”.其制作过程中有“掐丝”这一环节,某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10 000人,现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计.得到如下统计表:
每月完成合
格品的件数
(12,14]
(14,16]
(16,18]
(18,20]
(20,22]
频数
10
45
35
6
4
女员工人数
3
22
17
5
3
(1)若每月完成合格品的件数超过18件,则车间授予“工艺标兵”称号,由以上统计表填写下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关;

非“工艺标兵”
“工艺标兵”
总计
男员工人数

女员工人数

合计

(2)为提高员工的工作积极性,该车间实行计件工资制:每月完成合格品的件数在12件以内(包括12件),每件支付员工200元,超出(0,2]的部分,每件支付员工220元,超出(2,4]的部分,每件支付员工240元,超出4件以上的部分,每件支付员工260元,将这4段频率视为相应的概率,在该车间男员工中随机抽取2人,女员工中随机抽取1人进行工资调查,设实得计件工资超过3 320元的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

21.(12分)现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场,均养有1万头猪.根据猪的体重,将其分为三个成长阶段,如下表:
阶段
幼年期
成长期
成年期
体重(kg)
[2,18)
[18,82)
[82,98]

根据以往经验,两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布N(50,162).
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度,高度重视其质量保证,为了养出健康的成年期的猪,甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为45,34.
(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量;
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪,则可盈利400元,若为不合格的猪,则亏损200元;乙养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪 ,则可盈利500元,若为不合格的猪,则亏损100元.记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润,求随机变量Y的分布列,假设两个养猪场均能把成年期的猪售完,求两个养猪场的总利润的期望值.
(参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997)

22.(12分)市面上有某品牌的A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯的使用寿命都超过5 000小时.经销商对B型节能灯的使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:

某商家因原店面重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯的照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时,正常营业期间灯坏了立即购买同型号灯更换.(用频率估计概率)
(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;
(2)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯?请说明理由.

答案全解全析
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1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.BD
11.AC
12.AC

一、单项选择题
1.C　记答对A题为事件E,答对B题为事件F,根据题意知P(EF)=23,P(F|E)=89,又P(F|E)=P(EF)P(E)=23P(E),所以P(E)=34.故选C.
2.C　根据题意可得,x=2+3+4+54=3.5,y=26+a+49+544=129+a4,
根据回归直线过点(x,y)可得,129+a4=9.4×3.5+9.1,解得a=39.故选C.
3.B　(2+x)6的展开式中x3的系数为C63×23,(1+y)m的展开式中y的系数为Cm1,所以x3y的系数为C63×23×Cm1,所以C63×23×Cm1=800,即160m=800,解得m=5,所以(2+x)6的展开式中x的系数为C61×25,(1+y)5的展开式中y4的系数为C54,所以xy4的系数为C61×25×C54=6×32×5=960,故选B.
4.A　∵随机变量X~N(2,σ2)(σ>0),∴P(X≤2)=0.5,又P(X<4)=0.7,∴P(2 5.C　依题意,6人分成每组至少一人的四组,可以分为3,1,1,1或2,2,1,1两种,分为3,1,1,1四组时,有C63×A44=480种,分为2,2,1,1四组时,有C62×C42A22×A44=1 080种,故共有480+1 080=1 560种,故选C.
6.B　连续投掷2粒大小相同、质地均匀的骰子1次,基本事件总数n=6×6=36,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有:(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有6个,∴每次投掷,向上的点数之和不小于10的概率为16.
投掷3次,相当于3次独立重复试验,故恰有两次向上的点数之和不小于10的概率为C32×162×56=572.故选B.
7.A　设从最后一题(第10题)开始往前看直到第2题,做了n(n∈N,n≤9)道题,这n道题的顺序只能从大到小或者不答题(n=0),则不同的答题情况有C9n种,则剩下的(10-n)道题只能有一种答法,所以可能的答题次序一共有C90+C91+C92+C93+…+C99=29=512种.故选A.
8.D　由题意知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1-p
p

所以E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p).
随机变量η=|ξ-E(ξ)|,
所以当ξ=0时,η=|ξ-E(ξ)|=p;
当ξ=1时,η=|ξ-E(ξ)|=1-p,
所以随机变量η=|ξ-E(ξ)|的分布列如下表所示(当p=0.5时,η只有一种情况,概率为1):
η
p
1-p
P
1-p
p
则E(η)=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p),
D(η)=[p-2p(1-p)]2·(1-p)+[1-p-2p(1-p)]2·p=p(1-p)(2p-1)2.
当p=2p(1-p),即p=12时,E(ξ)=E(η),
所以A、B错误.D(ξ)-D(η)=p(1-p)-p(1-p)(2p-1)2=4p2(1-p)2>0恒成立,
所以C错误,D正确.故选D.
二、多项选择题
9.ACD　在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不是相互独立事件;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不是相互独立事件;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)·P(B),故A、B不是相互独立事件.故选ACD.
10.BD　正态曲线关于直线x=μ对称,故A不正确;当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故B正确;随机变量X~N(2,4),则D12X的值等于1,故C不正确;当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移,D正确.故选BD.
11.AC　因为密度函数为φ(x)=1102π·e-(x-100)2200,所以μ=100,σ=10,即均值为100,标准差为10,方差为100,故A正确,B错误;根据正态曲线的特征可知C正确,D错误.故选AC.
12.AC　选项A,已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则正态曲线关于直线x=1对称,又P(ξ<4)=0.79,∴P(ξ≥4)=1-0.79=0.21,∴P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.21,故A正确;
选项B,同时抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此P(A)=34,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此P(B)=12,事件AB中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此P(AB)=38,因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A、B是相互独立事件,不是互斥事件,故B错误;
选项C,由于随机变量ξ~B4,14,则E(ξ)=4×14=1,故C正确;
选项D,E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+12,
D(ξ)=0-p-122×1-p2+1-p-122×12+2-p-122×p2
=-p2+p+14=-p-122+12,
∴p∈0,12时,D(ξ)单调递增;p∈12,1时,D(ξ)单调递减,∴D(ξ)先增大后减小,故D错误.故选AC.
三、填空题
13.答案　0.34
解析　因为A,B独立,所以P(A|B)=P(A)=1- P(A)=0.66,所以P(A)=0.34.
14.答案　0.05
解析　由题意得χ2=100×(10×30-40×20)250×50×30×70=10021≈4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染新冠肺炎”有关系.
15.答案　4;108x5
解析　3x2+1xn(n∈N+)的展开式中的各二项式系数的和为2n.令x=1,则各项系数的和为(3+1)n=22n,依题意知22n-2n=240,所以(2n+15)(2n-16)=0,所以2n=16,所以n=4.所以原式=3x2+1x4,其展开式的通项为Tr+1=C4r(3x2)4-r(x-1)r=34-rC4rx8-3r(r=0,1,2,3,4),所以展开式中的系数为34-rC4r,令r=0,1,2,3,4,得系数的取值分别为34=81,33×C41=108,32×C42=54,31×C43=12,30×C44=1,所以展开式中的系数最大的项是34-1C41x8-3=108x5.
16.答案　0,12
解析　由已知得P(Y=1)=p,P(Y=2)=(1-p)p,P(Y=3)=(1-p)2,
则E(Y)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>74,
解得p>52或p<12,
又p∈(0,1],所以p∈0,12.
四、解答题
17.解析　(1)2x-1x5的展开式的第r+1项为Tr+1=C5r(2x)5-r-1xr=(-1)r25-rC5rx5-32r(r=0,1,2,3,4,5).
令5-32r=-1,则r=4,∴展开式中含1x的项为T4+1=(-1)4·2·C54·x-1=10x,
所以展开式中1x的系数为10.(5分)
(2)由题意可知,M=C50+C51+C52=16,N=(1+a)6.
因为4M=N,所以(1+a)6=64,所以a=1或a=-3.(10分)
18.解析　(1)共三种情况:乙中靶、甲不中靶,概率为12×13=16;甲中靶、乙不中靶,概率为12×23=13;甲、乙全中靶,概率为12×13=16.(4分)
因此,所求概率是16+13+16=23.(5分)
(2)分以下两种情况:
共击中3次,概率为122×C21×13×23+C21×12×12×132=16;(8分)
共击中4次,概率为122×132=136.(11分)
因此,所求概率为16+136=736.(12分)
19.解析　(1)由题意知t=15×(1+2+3+4+5)=3,
y=15×(12+16+19+25+28)=20,
∑i=1n(ti-t)(yi-y)=16+4+0+5+16=41,
∑i=1n(ti-t)2=4+1+0+1+4=10,(4分)
所以b^=4110=4.1,a^=y-b^t=20-4.1×3=7.7,
故所求线性回归方程为y^=4.1t+7.7.(6分)
(2)由(1)知,当t=6时,y^=4.1×6+7.7=32.3,
故该大学2020年的数学专业录取平均分约为572.3.
因为560<572.3-4=568.3,又P(572.3-4≤X≤572.3+4)=P(568.3≤X≤576.3)≈0.683,
所以该同学被录取的概率P<1-0.6832=0.158 5<0.6,
故建议该同学谨慎报考该大学的数学专业.(12分)
20.解析　(1)2×2列联表如下:

非“工艺标兵”
“工艺标兵”
总计
男员工人数
48
2
50
女员工人数
42
8
50
合计
90
10
100

(2分)
χ2=100×(48×8-42×2)250×50×90×10=4>3.841,(4分)
所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关.(5分)
(2)若员工实得计件工资超过3 320元,则每月完成合格品的件数需超过16件,由题中统计表数据可得,男员工实得计件工资超过3 320元的概率P1=25,女员工实得计件工资超过3 320元的概率P2=12.(6分)
设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3 320元的人数为X,随机抽取的女员工中实得计件工资超过3 320元的人数为Y,则X~B2,25,Y~B1,12.(8分)
由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)=352×12=950,
P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21×35×25×12+C20×352×12=2150,
P(ξ=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=1)=C22×252×12+C21×35×25×12=825,
P(ξ=3)=P(X=2,Y=1)=252×12
=225,(11分)
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
950
2150
825
225
所以E(ξ)=0×950+1×2150+2×825+3×225=1310.(12分)
21.解析　(1)设各阶段猪的数量分别为n1,n2,n3,
∵猪的体重X近似服从正态分布N(50,162),
∴P(2≤X<18)=P(50-3×16≤X<50-2×16)≈0.997-0.9542=0.021 5,
∴n1=10 000×0.0215=215(头); (2分)
P(18≤X<82)=P(50-2×16≤X<50+2×16)≈0.954
∴n2=10 000×0.954=9 540(头);(4分)
P(82≤X≤98)=P(50+2×16≤X≤50+3×16)≈0.997-0.9542=0.021 5,
∴n3=10 000×0.021 5=215(头).
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头,成长期的猪9 540头,成年期的猪215头.(6分)
(2)随机变量Y的所有可能取值为900,300,-300.
P(Y=900)=45×34=35,P(Y=300)=45×14+15×34=720,P(Y=-300)=15×14=120,(9分)
∴Y的分布列为
Y
900
300
-300
P
35
720
120
∴E(Y)=900×35+300×720-300×120=630(元),(11分)
由于两个养猪场均有215头成年期的猪,且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元,则总利润的期望为630×215=135 450(元).(12分)
22.解析　(1)由题中频率分布直方图可知,B型节能灯的使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 0×200=0.2,(2分)
用频率估计概率,得B型节能灯的使用寿命超过3 600小时的概率为15.(3分)
所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为45,
所以一年内恰好更换了2只灯的概率为C52452×153=32625.(6分)
(2)若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3 600×5×20×0.75×10-3=870元;(8分)
若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从B5,45,
故一年内需更换灯的只数的数学期望为5×45=4只,
故一年共需花费(5+4)×25+3 600×5×55×0.75×10-3=967.5元.(11分)
因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯.(12分)