高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算综合训练题

9.2　向量运算

9.2.1　向量的加减法

基础过关练

题组一　向量的加法运算

1.若△ABC的三边长分别是3,4,5,则++=(　　)

A.12 B.2 C.0 D.0

2.++++=(　　)

A. B. C. D.

3.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

4.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　)

A.+=0 B.+=

C.+= D.+=0

5.在水流速度为10 km/h的河中,要使船以10 km/h的速度与河岸成直角横渡,求船行驶速度的大小与方向.

题组二　向量的减法运算

6.在平行四边形ABCD中,-等于(　　)

A. B. C. D.

7.化简下列各式:

①++;②-+-;

③-+;④++-.

结果为零向量的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于(　　)

A. B.

C. D.

9.已知O是四边形ABCD所在平面内任一点,且∥,|-|=|-|,则四边形ABCD一定是(　　)

A.菱形  B.任意四边形

C.矩形  D.平行四边形

10.如图,已知向量a和向量b,用三角形法则作出a-b+a.

11.如图,已知五边形ABCDE,=a,=b,=c,=d,=e,解答下列各题:

(1)用a,d,e表示;

(2)用b,c表示;

(3)用a,b,e表示;

(4)用d,c表示.

题组三　向量和与差的模

12.有下列式子:

①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;

②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;

③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;

④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.

其中,一定不成立的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

13.已知||=10,||=7,则||的取值范围是(　　)

A.[3,17] B.(3,17)

C.(3,10) D.[3,10]

14.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,向量||=1,则|+|=　　　　.

能力提升练

题组一　向量的加减运算

1.(2020江苏镇江第一中学高一阶段测试,)设三个向量a,b,c互不共线,则“a+b+c=0”是“以|a|,|b|,|c|为边长的三角形存在”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2020江苏宿迁第一学期期末,)在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,O为平面上一点,且满足+=+,则四边形ABCD的面积为(　　)

A. B.2 C.4 D.4

3.()已知长度相等的三个非零向量,,满足++=0,则由A、B、C三点构成的△ABC是　　　　三角形.

4.(2020江苏仪征第二中学高一期中,)如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:++=0.

5.()如图所示,为了调运急需物资,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为5 km/h,方向向东.

(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度;

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示).

题组二　向量和与差的模

6.(2020江苏无锡培林高级中学高一期中,)已知A,B,C为不共线的三点,则“|+|=|-|”是“△ABC为直角三角形”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.()已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列命题:

①|+|=|-|;②|-|=|-|;

③|-|=|-|;

④|-|2=|-|2+|-|2.

其中正确命题的序号为　　　　　　.

8.(2020江苏石榴高级中学阶段测试,)已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为　　　　,||的范围是　　　　　　.

9.()已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,则|a-b|=　　　　.深度解析 

10.(2020江苏常熟浒浦高级中学高一期中,)设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:

①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;

②给定平面内两个不共线的向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;

③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每个元素也都是极大向量.

其中真命题的序号是　　　　. 

11.()如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b.求证:

(1)|a-b|=|a|;

(2)|a+(a-b)|=|b|.

答案全解全析

9.2　向量运算

9.2.1　向量的加减法

基础过关练

1.D　++=+=0.

2.C　++++=++++=.

3.A　由向量加法的交换律及结合律知每个向量均与a+b+c相等,故选A.

4.C　如图,

对于A选项,,大小相等,方向相反,故+=0,结论正确;对于B选项,根据向量加法的平行四边形法则可知+=,结论正确;对于C选项,根据向量加法的三角形法则知+=,故结论错误;对于D选项,,大小相等,方向相反,故+=0,结论正确.故选C.

5.解析　如图,表示水流方向,表示垂直于对岸横渡的方向,表示船实际航行的方向,则=+,由题意知||=||=10,||=10,所以||=20,且∠AOC=120°.所以船行驶速度的大小为20 km/h,与水流方向成120°角.

6.A　-=,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.

7.D　①++=+=0;

②-+-=(+)-(+)=-=0;

③-+=(+)-=-=0;

④++-=++=-=0.

8.D　由题图可知-=-==.

9.D　由|-|=|-|知||=||,又∥,故四边形ABCD是平行四边形.

10.解析　如图所示,作向量=a,向量=b,则向量=a-b,

作向量=a,则=a-b+a.

11.解析　(1)=++=d+e+a.

(2)=-=--=-b-c.

(3)=++=e+a+b.

(4)=-=-(+)=-c-d.

12.A　①当a与b不共线时成立;②当a=b=0或b=0,a≠0时成立;③当a与b共线,且方向相反,|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.

13.A　因为=-,所以当,同向共线时,||=||-||=3;当,反向共线时,||=||+||=17;当,不共线时,有|||-|||<|-|<||+||,即3<||<17,故3≤||≤17.

14.答案　1

解析　在△ABD中,AD=AB=1,∠DAB=60°,故△ABD是等边三角形,则BD=1,所以|+|=||=1.

能力提升练

1.A　充分性:∵向量a,b,c互不共线且a+b+c=0,∴|a|,|b|,|c|可以作为一个三角形的三条边长,即充分性成立.

必要性:如图,在△ABC中,

令=a,=b,=c,

满足a,b,c互不共线,

且|a|,|b|,|c|作为三角形的三条边长,

但a+b+c=++=2≠0,

∴必要性不成立,

故为充分不必要条件.

2.B　∵+=+,∴-=-,即=,

∴BA?CD,∴四边形ABCD为平行四边形,

又AB=AD,∴平行四边形ABCD为菱形.

如图,连接AC,∵∠BAD=120°,∴△ABC与△ACD均为等边三角形,

∴四边形ABCD的面积为×2××2=2,故选B.

3.答案　等边

解析　如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则+=,

∴+=0,∴=-,

∴与互为相反向量,∴∥,

∴O,F,C三点在同一直线上.

∴CE垂直平分AB,∴CA=CB.

同理,AB=AC.∴△ABC为等边三角形.

4.证明　连接EF,由题意知=+,=+,=+.

由平面几何知识可知,=,=.

∴++=(+)+(+)+(+)

=(+++)+(+)

=(++++)+0

=++=++=0,

∴++=0.

5.解析　(1)作出向量如图所示:

其中表示江水的速度,表示船速,表示船实际航行的速度.

(2)∵AB⊥AC,=+,

∴四边形ACDB是矩形,

∴||==10,

tan∠DAC===,

∴∠DAC=60°.

∴船实际航行的速度为10 km/h,实际航行方向与江水速度方向的夹角为60°.

6.A　以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,

∵+=,-=,∴||=||,

∴四边形ABDC为矩形,则AB⊥AC.

∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形,充分性成立.

由△ABC是直角三角形,可知∠A,∠B,∠C均有可能为直角,∴必要性不成立.

∴“|+|=|-|”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件,故选A.

7.答案　①②③④

解析　以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.

①∵|+|=||,|-|=||,||=||,∴①正确;

②∵|-|=||,|-|=||,||=||,∴②正确;

③∵|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,||=||,∴③正确;

④∵|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2=||2+||2=||2,∴④正确.

8.答案　2;0<||<4

解析　因为-+=++=,

||=2,所以|-+|=||=2.

又因为=+,且在菱形ABCD中,||=||=2,

所以|||-|||<||=|+|<||+||,即0<||<4.

9.答案　10

解析　设=a,=b,以AB、AD为邻边作▱ADCB,如图.

则=a+b,=a-b.

因为|a+b|=|a-b|,所以||=||.

又四边形ADCB为平行四边形,

所以四边形ADCB为矩形,故AD⊥AB.

在Rt△DAB中,||=6,||=8,

由勾股定理,得||===10,所以|a-b|=10.

方法技巧　如图,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线所对应的向量=a+b,=a-b,这一结论在以后的学习中应用非常广泛.

10.答案　②③

解析　若W中有n(n≥3)个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故①不正确;由题意得a,b,c能组成闭合三角形,则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故②正确;3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每个元素也都是极大向量,故③正确.

11.证明　因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB,

又M是斜边AB的中点,

所以CM=AM=BM.

(1)因为a-b=-=,且||=||,所以|a-b|=|a|.

(2)因为M是斜边AB的中点,

所以=,

所以a+(a-b)=+(-)=+=+=,

因为||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.