必修 第二册9.2 向量运算同步训练题

9.2.2　向量的数乘

基础过关练

题组一　向量数乘运算的定义

1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　)

A.a与λa的方向相反

B.a与λ2a的方向相同

C.|-λa|≥|a|

D.|-λa|≥|λ|a

2.已知λ∈R,则下列结论正确的是(　　)

A.|λa|=λ|a|

B.|λa|=|λ|a

C.|λa|=|λ||a|

D.|λa|>0

3.已知非零向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λa,则λ的值等于(　　)

A. B.- C.- D.

4.如图,已知向量a与b,作出向量-2a和3a-b.

题组二　向量的线性运算

5.下列计算正确的个数是(　　)

①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3

6.(多选)下面命题中正确的是(　　)

A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb

B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na

C.若ma=mb(m∈R),则a=b

D.若ma=na(m,n∈R,a≠0),则m=n

7.(2020江苏徐州高一上学期期末)如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　(用a、b表示).

8.(2020江苏镇江中学高一阶段测试)若向量a=3i-4j,b=5i+4j,则-3+(2b-a)=　　　　.

9.已知向量a,b,若3m+2n=a,m-3n=b,则m=　　　　,n=　　　　.

题组三　向量共线定理

10.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)

A.A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.A,C,D

11.设P是△ABC所在平面内一点,+=2,则(　　)

A.P,A,C三点共线 

B.P,A,B三点共线

C.P,B,C三点共线 

D.以上均不正确

12.(2020江苏常州高级中学高一上学期期末)已知e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=e1+ke2,若a与b是共线向量,则实数k的值为　　　　.

13.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k=　　　　.易错 

14.已知平面内有O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且=x+y,则x+y=　　　　.

15.已知向量a=c,b=c+a,求证:a∥b.

能力提升练

题组一　向量的线性运算

1.(2020江苏泰州高一上学期期末考试,)在△ABC中,若x+2+y=0,x,y∈R,则x+y=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-2 B.1 C.2 D.4

2.()已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则P一定为△ABC的(　　)

A.AB边中线的三等分点(非重心)

B.AB边的中点

C.AB边中线的中点

D.重心

3.(2020江苏西亭高级中学高一上学期期末考试,)在任意平面四边形ABCD中,点E,F分别在线段AD,BC上,且=λ+μ(λ,μ∈R),给出下列四组等式,其中能使λ,μ为常数的是(　　)

A.=,= B.=,=

C.=,= D.=,=

4.(多选)(2020江苏南通如皋高一上学期期末,)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于M,设=a,=b,则下列结论正确的是(　　)

A.=a+b B.=-a+b

C.=-a+b D.=-a+b

5.(2020江苏海门中学期中,)如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,且BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.

题组二　向量共线定理的应用

6.()在△ABC中,O为其内部一点,且满足++3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　)

A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3

7.(2020江苏连云港高一上学期期末考试,)在△ABC中,D在AB上,AD∶DB=1∶2,E为AC的中点,CD、BE相交于点P.设=x+y(x,y∈R),则x,y的值分别为(　　)

A., B., C., D.,

8.(2020江苏板浦高级中学高一阶段测试,)过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q,设=h,=k,则+=　　　　.

9.(2020江苏海安高级中学高一上学期月考,)如图所示,已知△OAB,由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区域(不含边界).

(1)若D为AB的中点,则=　　　　　(用,表示);

(2)已知下列四个式子:

①=+2;②=+;

③=+;④=+.

对于点M1,M2,M3,M4,落在阴影区域(不含边界)内的点有　　　　(把所有符合条件的点都填上).

10.(2020江苏沭阳如东高级中学高一阶段测试,)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.

(1)求证:A,B,D三点共线;

(2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;

(3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.

答案全解全析

9.2.2　向量的数乘

基础过关练

1.B　当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A错误;由于λ2>0,故a与λ2a的方向相同,故B正确;|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C错误;|λ|a是向量,而|-λa|表示向量的长度,两者不能比较大小,故D错误.故选B.

2.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.故选C.

3.C　∵b=λa,∴|b|=|λ||a|.

又非零向量a与b反向,∴λ=-=-.

4.解析　向量-2a的长度是向量a的长度的2倍,方向与向量a的方向相反,故向量-2a如图①所示.

作向量=3a,=b,则即为向量3a-b,如图②所示.

图①

图②

5.C　(-3)·2a=-6a,故①正确;2(a+b)-(2b-a)=2a+2b-2b+a=3a,故②正确;(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,故③错误.故选C.

6.ABD　根据向量的数乘满足分配律可知A、B正确;

若m=0,则不一定有a=b,故C错误;

由ma=na得(m-n)a=0,由于a≠0,所以m-n=0,则m=n,故D正确.故选ABD.

7.答案　(b-a)

解析　=++

=-++

=--+(+)

=-b-a+(a+b)

=b-a=(b-a).

8.答案　-16i+j

解析　-3+(2b-a)=a-b-3a-2b+2b-a=-a-b=-(3i-4j)-(5i+4j)=-11i+j-5i-4j=-16i+j.

9.答案　a+b;a-b

解析　联立

②×3,得3m-9n=3b,③

①-③,得11n=a-3b,∴n=a-b,④

将④代入②得m=b+3n=a+b.

10.A　因为=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2,

所以A,B,D三点共线.故选A.

11.A　在△ABC中,取AC的中点D,则+=2,∴2=2,∴D和P重合,

∴P,A,C三点共线.故选A.

12.答案　-

解析　由题意可设a=λb(λ∈R),即2e1-e2=λ(e1+ke2),故2e1-e2=λe1+kλe2,

因为e1,e2不共线,所以λ=2,kλ=-1,故k=-.

13.答案　-4

解析　由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,

∴存在实数λ,使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.

∵e1,e2不共线,

∴解得或

∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,

∴λ=-,k=-4.

易错警示　利用向量共线定理求参数的问题中要注意两向量的方向,如本题中方向相反,需把同向的情况舍去.

14.答案　1

解析　∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ,∴-=λ(-),∴=(1-λ)+λ,

∵=x+y,,不共线,

∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.

15.证明　∵a=c,∴c=2a,

∵b=c+a=a+a=a,

∴a∥b.

能力提升练

1.D　∵x+2+y=0,

∴x+2(-)+y=0,

∴(x-2)+(2-y)=0,

∵与不共线,∴x-2=2-y=0,

∴x=y=2,∴x+y=4.故选D.

2.A　如图所示,设AB的中点为E,则==(+2),

∵O是三角形ABC的重心,∴2=,

∴=(+4)=,∴P在AB边的中线上,是中线的三等分点(非重心).故选A.

3.D　设=m,=n(m,n∈[0,1]),

则=++

=-m+n

=-m+n(++)

=(1-n)+(n-m)+n,

因为=λ+μ(λ,μ∈R),

所以当m=n时,λ,μ为定值,

所以欲使λ,μ为常数,则需满足m=n,

所以只有D选项成立,故选D.

4.ABD　=+=+=a+b,A正确;

=++=-++=-a+b,B正确;

=+=-+=-a+b,C错误;

=++=-++=-a+b,D正确.故选ABD.

5.解析　===(-)=(a-b),

所以=+=b+(a-b)=a+b.

因为==,

所以=+=+==(+)=(a+b)=a+b.

所以=-=a+b-a-b=a-b.

6.D　如图所示,在△ABC中,设M为AC边的中点,连接OM,则+=2,又++3=0,所以2=-3,从而可得B,O,M三点共线,且2OM=3BO.由2OM=3BO可得,==,S△AOB+S△BOC=S△ABC,又S△AOB=S△BOC,故S△AOB=S△ABC,则S△AOB∶S△AOC=1∶3.故选D.

7.C　如图所示.因为AD∶DB=1∶2,E为AC的中点,所以=,=,因为D、P、C三点共线,所以存在实数μ,使得=μ=μ(-)=-,所以=μ+(1-μ)=(1-μ)+μ.因为E、P、B三点共线,同理存在实数ω,使得=ω+(1-ω),因为,不共线,所以解得

所以=+,

又=x+y,所以x=,y=.

8.答案　3

解析　延长OG交边AB于点M,则M为AB边的中点,

∴=(+)

==+,

又=,

∴=+.

∵P、Q、G三点共线,且,是不共线的向量,

∴+=1,即+=3.

9.答案　(1)(+)　(2)M1,M2

解析　(1)若D为AB的中点,则由向量加法的平行四边形法则可得=(+).

(2)设M在阴影区域内,则射线OM与线段AB有公共点,记为N,

则存在实数t∈[0,1],使得=t+(1-t),

且存在实数r≥1,使得=r,从而=rt+r(1-t),则rt+r(1-t)=r≥1,

又0≤t≤1,所以r(1-t)≥0.

对于①,rt=1,r(1-t)=2,解得r=3,t=,满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故①符合条件;

对于②,rt=,r(1-t)=,解得r=,t=,满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故②符合条件;

对于③,rt=,r(1-t)=,解得r=,t=,不满足r≥1,故③不符合条件;

对于④,rt=,r(1-t)=,解得r=,t=,不满足r≥1,故④不符合条件.

故符合条件的点为M1,M2.

10.解析　(1)证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,

所以与共线.

因为与有公共点B,

所以A,B,D三点共线.

(2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线,

所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).

因为e1,e2不共线,所以

所以λ=±.

(3)假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2).

因为e1,e2不共线,所以

所以λ=±1.因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1.