高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数同步训练题

10.1.3　两角和与差的正切

基础过关练

题组一　利用两角和与差的正切公式求值

1.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3 B.-3 C. D.-

2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan=(　　)

A. B. C. D.

3.计算:=(　　)

A. B.- C. D.-

4.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=　　　　.

5.(2020江苏苏州工业园区星海实验中学高三月考)已知α∈(0,π),cos α=-,则tan=　　　　.

6.计算:tan 10°+tan 20°+tan 10°tan 20°=　　　　.

7.已知tan=,tan=2,求:

(1)tan的值;

(2)tan(α+β)的值.

题组二　利用两角和与差的正切公式求角

8.(2020江苏苏州高一上学期期末)在△ABC中,tan A+tan B+1=tan Atan B,则角C的度数为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

9.(2020江苏南通通州、海安高一上学期期末)已知tan α=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则α+β=(　　)

A. B. C. D.

10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于　　　　.

11.若锐角α,β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β的值为　　　　.

12.(2020河南林州一中高一上期末)已知tan(α-β)=-7,cos α=-,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:

(1)tan β的值;

(2)α+β的值.

题组三　利用两角和与差的正切公式进行化简

13.已知α+β=,则(1+tan α)·(1+tan β)=(　　)

A.-1 B.-2

C.2 D.3

14.下列四个式子是恒等式的是(　　)

A.sin(α+β)=sin α+sin β

B.cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

C.tan(α-β)=

D.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β

能力提升练

题组一　利用两角和与差的正切公式求值

1.(2020江苏常州高级中学高一月考,)化简tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的结果为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.1 C.- D.

2.()若A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)=　　　;应用此结论计算(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 43°)·(1+tan 44°)的值为　　　　.

3.()计算:(3+tan 30°tan 40°+tan 40°tan 50°+tan 50°tan 60°)·tan 10°=　　　　.

4.(2020江苏盐城中学高一学情检测,)已知α,β均为锐角,且5cos(α+β)=3cos(α-β),则tan(α+β)的最小值是　　　　.

5.(2020江苏无锡、江阴高一上学期期末,)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边上有一点P的坐标是(3a,a),其中a≠0.

(1)求cos的值;

(2)若tan(2α+β)=1,求tan β的值.

题组二　利用两角和与差的正切公式求角

6.()已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为(　　)

A. B.-

C. D.-

7.(2020江苏张家港外国语学校高一期末,)在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan Atan C,则角B=(　　)

A.30° B.45° C.60° D.75°

8.(2020江苏姜堰中学高二期末,)若△ABC的三个内角满足:2B=A+C,且A<B<C,tan Atan C=2+,求角A,B,C的大小.

深度解析

9.()如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.

(1)求tan(α+β)的值;

(2)求α+2β的值.

题组三　两角和与差的正切公式的综合应用

10.(2020江苏扬州中学高一阶段检测,)已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是(　　)

A. B. C. D.

11.()是否存在锐角α,β,使得①α+2β=;②tan·tan β=2-同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

10.1.3　两角和与差的正切

基础过关练

1.C　tan(α-β)===.

2.C　因为α+=(α+β)-,

所以tan

=tan

==.

3.C　原式=-====.

4.答案　

解析　∵tan(A+B)===-1,∴tan C=1,

又C∈(0,π),∴C=,∴cos C=.

5.答案　

解析　由cos α=-,α∈(0,π),

得sin α=,

故tan α==-,

则tan=

==.

6.答案　1

解析　∵tan 10°+tan 20°=tan 30°(1-tan 10°tan 20°)=(1-tan 10°tan 20°),

∴tan 10°+tan 20°+tan 10°tan 20°=(tan 10°+tan 20°)+tan 10°tan 20°=×(1-tan 10°tan 20°)+tan 10°tan 20°=1.

7.解析　(1)tan

=tan

=

==-.

(2)tan(α+β)=tan

===2-3.

8.A　因为1-tan Atan B=-(tan A+tan B),

所以tan C=-tan(A+B)=-=,所以C=30°.故选A.

9.B　∵tan α=>0,tan β=-<0,且α,β∈(0,π),∴α∈,β∈,

∴α+β∈,

又tan(α+β)===-1,∴α+β=,故选B.

10.答案　

解析　由题图易知tan α=,tan β=,γ=,∴tan(α+β)==1,

又0<α+β<,

∴α+β=,∴α+β+γ=.

11.答案　60°

解析　∵(1+tan α)(1+tan β)

=1+(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,

∴tan α+tan β=(1-tan αtan β),

∴tan(α+β)==.

又∵α,β均为锐角,∴0°<α+β<180°,

∴α+β=60°.

12.解析　(1)因为cos α=-,α∈(0,π),

所以sin α==,

所以tan α==-2,

又tan(α-β)=-7,

所以tan β=tan[α-(α-β)]

==.

(2)tan(α+β)===-1.

因为cos α=-<0,α∈(0,π),

所以α∈,

因为tan β=>0,β∈(0,π),

所以β∈,

所以α+β∈,所以α+β=.

13.C　∵α+β=,

∴tan(α+β)=1,

∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+tan α·tan β=1+tan(α+β)·(1-tan α·tan β)+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.

14.D　 由两角和与差的正弦、余弦、正切公式可知,A,B,C中的等式不一定成立.选项D中,sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β.故选D.

能力提升练

1.D　解法一:tan 23°+tan 37°+tan 23°·tan 37°=tan(23°+37°)(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=tan 60°(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.

解法二:∵tan(23°+37°)=,

∴=,

∴-tan 23°tan 37°=tan 23°+tan 37°,

∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.

2.答案　2;222

解析　∵A+B=45°,

∴(1+tan A)(1+tan B)

=1+tan A+tan B+tan Atan B

=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B

=1+tan 45°(1-tan Atan B)+tan Atan B=2.

∴(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 43°)(1+tan 44°)

=[(1+tan 1°)(1+tan 44°)][(1+tan 2°)(1+tan 43°)]…[(1+tan 22°)(1+tan 23°)]

=222.

3.答案　

解析　原式=(1+tan 30°tan 40°+1+tan 40°·tan 50°+1+tan 50°tan 60°)·tan 10°,

∵tan 10°=tan(40°-30°)

=,

∴1+tan 40°tan 30°=.

同理,1+tan 50°tan 40°=,

1+tan 60°tan 50°=,

∴原式=++·tan 10°

=tan 40°-tan 30°+tan 50°-tan 40°+tan 60°-tan 50°

=-tan 30°+tan 60°=-+=.

4.答案　

解析　因为5cos(α+β)=3cos(α-β),

所以5cos αcos β-5sin αsin β

=3cos αcos β+3sin αsin β,

所以2cos αcos β=8sin αsin β,

故tan αtan β=,

因为α,β均为锐角,所以tan α>0,tan β>0.

所以tan(α+β)==(tan α+tan β)≥×2=,

当且仅当tan α=tan β=时等号成立,

所以tan(α+β)的最小值是.

5.解析　(1)由题意可得,当a>0时,点P在第一象限,

cos α==,

sin α==,

∴cos=cos αcos+sin αsin=;

当a<0时,点P在第三象限,

cos α===-,

sin α===-,

∴cos=cos αcos+sin αsin=-.

综上,当a>0时,cos=;当a<0时,cos=-.

(2)由题意可得tan α=,

∴tan 2α=tan(α+α)==,

∵tan(2α+β)=1,

∴tan β=tan[(2α+β)-2α]

==.

6.D　由题意得tan α=tan[(α-β)+β]===,

∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===1.

∵0<tan α=<1=tan,α∈(0,π),

∴0<α<.

∵tan β=-<0,β∈(0,π),

∴<β<π,∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-.

7.C　因为A+B+C=180°,

所以tan(A+C)=-tan B.

因为tan A+tan B+tan C=3,

所以tan A+tan C=3-tan B.

又tan2B=tan Atan C,

所以由tan(A+C)=得

-tan B=,

所以-tan B(1-tan2B)=3-tan B,

所以tan3B=3,所以tan B=.

又0°<B<180°,所以B=60°.

8.解析　由题意知

解得B=60°且A+C=120°,

又∵tan Atan C=2+,

∴tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C)

=tan 120°×(1-2-)

=-×(-1-)=3+.

∴tan A,tan C可作为一元二次方程x2-(3+)x+2+=0的两根,

解得x1=1,x2=2+,

又∵0°<A<B<C<180°,

∴tan A=1,tan C=2+,

即A=45°,C=75°.

∴角A,B,C的大小分别为45°,60°,75°.

方法技巧　两角和与差的正切公式有两种变形形式:

①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);②1∓tan α·tan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.

9.解析　由题意得cos α=,cos β=.

∵α,β为锐角,∴sin α==,sin β==.

∴tan α==7,tan β==.

(1)tan(α+β)===-3.

(2)∵tan 2β=tan(β+β)===,

∴tan(α+2β)===-1.

又∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.

10.D　如图,设 D为BC的中点,连接AD,

设BC=2a(a>0),则BD=CD=a,AC=4a,

∵△ABC是等腰三角形,∴AD⊥BC,

在Rt△ADC中,AD==a,∴tan∠DAC===,即tan=,

故tan ∠BAC=tan===,故选D.

11.解析　存在.由①得+β=,

∴tan==.

将②代入上式得tan+tan β=3-.

因此,tan,tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根,解得x1=1,x2=2-.

当tan=1时,∵0<α<,∴0<<,此时α不存在,故tan=2-,tan β=1,∵α,β均为锐角,

∴α=,β=.