苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形课后作业题

13.1.3　直观图的斜二测画法

基础过关练

题组一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图

1.(2020江苏苏州第三中学学情检测)对于用斜二测画法画平面图形的直观图,以下说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.正三角形的直观图还是正三角形

B.正三角形的直观图是锐角三角形

C.正三角形的直观图是直角三角形

D.正三角形的直观图是钝角三角形

2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的序号是(　　)

A.③ B.④ C.① D.②

3.(2020江苏溧阳中学高一阶段检测)画出如图水平放置的直角梯形的直观图.

深度解析

题组二　空间图形的直观图

4.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)

A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm

B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm

C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm

5.(2020江苏南菁高级中学阶段检测)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

深度解析

题组三　水平放置的平面图形的直观图的有关计算

6.水平放置的正方形ABCO如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的该正方形的直观图中,点B'到x'轴的距离为(　　)

A. B. C.1 D.

7.(2019山东昌乐第一中学高二月考)已知水平放置的正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(深度解析)

A.a2 B.a2

C.a2 D.a2

8.如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O',若O'B'=1,那么原三角形ABO的面积是(　　)

A. B. C. D.2

9.已知C(C为OA的中点)为坐标原点,点A在x轴上,等边三角形OAB的面积为,将△OAB水平放置,其用斜二测画法画出的直观图为△O'A'B',求点B'到O'A'的距离.

能力提升练

题组一　平面图形与空间图形的直观图

1.(2020江苏羊尖高级中学高一学情检测,)水平放置的正五边形ABCDE如图所示,试画出其直观图.

2.(2020江苏南京行知实验中学高一期中,)用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)

题组二　与直观图有关的计算

3.(2020江苏怀仁中学高一阶段检测,)如图是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABO的直观图,已知O'B'=4,且△ABO的面积为16,A'B'∥y'轴,过A'作A'C'⊥x'轴于点C',则A'C'的长为(　　)

A.2 B. C.16 D.1

4.()水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'C'∥y'轴,则△ABC中,AB边上的中线的长度为(　　)

A. B. C.5 D.

5.(多选)(2020江苏南京大厂高级中学高一期中,)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个(　　)

A.等边三角形 　B.直角三角形

C.三边互不相等的三角形 　D.面积为的三角形

6.(2020江苏江浦高级中学高一学情检测,)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是　　　　. 

7.(2020江苏仪征中学高一学情检测,)有一个边长为1的正方形A'B'C'D',如图所示,其对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是水平放置的四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图,试画出四边形ABCD的平面图形并求出其面积.

答案全解全析

13.1.3　直观图的斜二测画法

基础过关练

1.D　根据斜二测画法画水平放置的平面图形时的规则,可得正三角形的直观图是钝角三角形.

2.A　正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.故正确的序号为③.

3.解析　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示.

(2)在x'轴上取O'B'=OB,在y'轴上取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC.连接B'C',如图②所示.

(3)所得四边形O'B'C'D'就是水平放置的直角梯形OBCD的直观图,如图③所示.

方法技巧　在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键之一,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置,借助于坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.

4.C　按比例尺缩小后的长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,得图形的尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.故选C.

5.解析　(1)画轴.如图①,画x'轴、y'轴、z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.

图①

(2)画底面.以点O'为中点,在x'轴上取线段MN,使MN=4 cm,在y'轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y'轴的平行线,过点P和Q作x'轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.

(4)成图.连接A'B',B'C',C'D',D'A',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图,如图②所示.

图②

方法技巧　(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以较快、较准确地画出.

(2)画空间图形的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z'轴,表示竖直方向.

(3)z'轴方向上的线段,方向与长度都与原来保持一致.

6.B　因为BC垂直于x轴,所以在直观图中B'C'的长度是1,且与x'轴正方向的夹角是45°,

所以点B'到x'轴的距离是.

7.D　如图①②所示的分别是原平面图形和其直观图.

由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中过C'作C'D'⊥A'B'于D',

则C'D'=O'C'=a,

所以S△A'B'C'=·A'B'·C'D'=×a×a=a2.

方法技巧　求水平放置的平面图形的直观图的面积常用的方法有两种:一是根据斜二测画法,作出直观图,再求直观图的面积;二是利用直观图与原平面图形的面积比为∶4求得.

8.C　直观图中等腰直角三角形的直角边长为1,因此面积为,又直观图与原平面图形的面积比为∶4,所以原三角形ABO的面积为.故选C.

9.解析　图①为等边三角形OAB在平面直角坐标系内的图形,且BC⊥OA.以C'点为原点画出水平放置的△OAB的直观图如图②所示,过B'作B'D⊥x'轴,垂足为D.

因为等边三角形OAB的面积为,所以等边三角形的边长为2,则BC=,B'C'=,

又∠A'C'B'=45°,所以B'D=,则点B'到O'A'的距离为.

能力提升练

1.解析　(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,使∠x'O'y'=45°.

(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.

(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D'及坐标轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).

2.解析　(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN所在的直线为y轴,两轴相交于点O,如图a,画出相应的x'轴、y'轴、z'轴,三轴相交于O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图b;

②在图b中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN,以点N'为中点,画出B'C'平行于x'轴,并且长度等于BC,再以M'为中点,画出E'F'平行于x'轴,并且长度等于EF;

③连接A'B',C'D',D'E',F'A'得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.

(2)画出正六棱锥P-ABCDEF的顶点,在z'轴正半轴上截取点P',点P'异于点O'.

(3)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并擦去x'轴、y'轴和z'轴,便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图c.

3.A　因为A'B'∥y'轴,所以△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以AB·OB=16,因为OB=O'B'=4,所以AB=8,所以A'B'=4.因为∠A'B'C'=45°,所以A'C'的长为4×sin 45°=2.

4.A　由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC=3,BC=8,所以AB=,所以AB边上的中线的长度为.故选A.

5.AD　由题图知,在原△ABC中,AO⊥BC.

∵A'O'=,∴AO=.

∵B'O'=C'O'=1,

∴BC=2,AB=AC=2,

∴△ABC为等边三角形.∴△ABC的面积为×2×=,故选AD.

6.答案　8 cm

解析　易得原图形为平行四边形OABC,且OB⊥OA,如图所示.

所以原图形中,OB=2O'B'=2 cm,OA=O'A'=1 cm,AB==3(cm),

故原图形的周长为2×(1+3)=8(cm).

7.解析　四边形ABCD的平面图形如图所示.

∵四边形A'B'C'D'为正方形,

∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,

又A'C'在水平位置,

∴在四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC.

∵DA=2D'A'=2,AC=A'C'=,

∴=AC×DA×2=2.