高中13.3 空间图形的表面积和体积练习

13.3.2　空间图形的体积

基础过关练

题组一　棱柱、棱锥、棱台的体积

1.(2020江苏海滨中学期中)正方体的表面积为96,则正方体的体积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.48 B.64 C.16 D.96

2.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积为(　　)

A.2 B.6

C.4 D.6+2

3.(2020江苏如东掘港中学学情检测)设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为(　　)

A. B.2 C.2 D.2

4.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为　　　　. 

5.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个三棱锥C-A'D'D,则三棱锥C-A'D'D的体积与剩余部分的体积之比为　　　　. 

题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积

6.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于(　　)

A. B. C.π D.2π

7.(2020江苏昆山第一中学期中)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为(　　)

A.2 B.π C.π D.2π

8.(2020江苏扬州新东方外国语学校期中)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为(　　)

A.6 cm B.6 cm

C.2 cm D.3 cm

9.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是　　　　. 

10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积.

题组三　球的表面积和体积

11.将棱长为1的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为(　　)

A.π B.π C. D.

12.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)

A.1倍 B.2倍 C. 倍 D. 倍

13.(2020山东兖州期中)圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示,则球的半径是　　　　cm. 

14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,在三角形内挖去一个半圆,圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC交于另一点N,将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小;

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

能力提升练

题组一　柱体、锥体、台体的体积

1.()已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,若P,Q分别在AA1,CC1上,且AP=AA1,CQ=CC1,则四棱锥B-ACQP的体积是(　　)

A.V B.V C.V D.V

2.(多选)()祖暅是南北朝时期伟大的数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:A是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,B、C、D分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的几何体为(　　)

3. (2020江苏宿豫中学期中,)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,则V1∶V2=(　　)

A.7∶5 B.5∶7

C.3∶2 D.4∶7

4.(2019江苏无锡高三一模,)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形,则该圆锥的体积等于　　　　　.  

5.(2020江苏镇江第一中学阶段测试,)在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设四棱锥E-ABCD的体积为V,那么三棱锥M-EBC的体积为多少?

题组二　球的表面积和体积

6.(2020广东中山期中,)已知A,B,C三点都在以O为球心的球面上,OA,OB,OC两两垂直,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为(　　)

A. B.16π C. D.32π

7.(2020广东高三二模,)已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若正四棱锥P-ABCD的高为2,则球O的表面积为(　　)

A.8π B.9π C.12π D.16π

8.()农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习俗,粽子又称“角黍”“筒粽”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的表面积为　　　　;若在该六面体内有一球,则该球体积的最大值为　　　　. 

9.()如图1所示,将半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体(如图2),求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC=30°)

题组三　与空间几何体体积有关的实际应用问题

10.()中国气象局规定:一天24小时里的降雨的深度当作日降水量,表示降水量的单位通常用毫米,1毫米的降水量是指单位面积上水深1毫米,在连续几天的暴雨天气中,某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量.已知该正四棱柱的底面边长为20 cm,高为40 cm,该容器的容器口为上底面正方形的内切圆,雨水从圆形容器口进入容器中,于0时放在露天环境中,24小时后,测得容器中水深10 cm,则该同学测得的当日降水量约为(π取3.14)(　　)

A.12.7 mm B.127 mm

C.509 mm D.100 mm

11.()《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事.它通过讲述一只乌鸦喝水的故事,告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.乌鸦想喝水,发现有一个锥形瓶如图,它上面是圆柱体,下面是圆台,瓶口直径为3 cm,瓶底直径为9 cm,瓶口距瓶颈为2 cm,瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为 cm.现将1颗石子投入瓶中,发现水位线上移 cm,若只有当水位线到达瓶口时,乌鸦才能喝到水,则乌鸦共需要投入的石子(石子体积视为一致)至少有(　　)

圆台体积公式:V圆台=πh(R2+r2+R·r),其中,h为圆台高,R为圆台下底面半径,r为圆台上底面半径

A.2颗 B.3颗 C.4颗 D.5颗

12.(2020江苏盐城第一中学模拟,)在日常生活中,石料是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石料,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2 m、高为4 m的正四棱柱形石料ABCD-A1B1C1D1中,雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体(如图),其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重　　　　kg.(结果保留整数,其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4 g/cm3,质量m=ρV) 

13.(2020上海高三模拟,)某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面.制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为24π cm,高为30 cm,圆锥的母线长为20 cm.

(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1 cm3,其中π≈3.14);

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?(结果精确到1元,其中π≈3.14)

答案全解全析

13.3.2　空间图形的体积

基础过关练

1.B　设正方体的棱长为a,则6a2=96,∴a=4,故正方体的体积V=a3=43=64.

2.D　V棱台=×(2+4+)×3=×(6+2)×3=6+2.

3.A　由题意得正六棱锥的高为=2,所以体积V=×6××12×2=.

4.答案　

解析　三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.

5.答案　1∶5

解析　设AB=a,AD=b,AA'=c,

则VC-A'D'D=CD·S△A'D'D=a·bc=abc,

∴剩余部分的体积=V长方体ABCD-A'B'C'D'-VC-A'D'D=abc-abc=abc,

∴三棱锥C-A'D'D的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

6.D　设圆柱的底面半径为r,S侧=2πr×2r=4πr2=4π,则r=1,故圆柱的体积为πr2×2r=2π.

7.C　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则

∴

∴h=,

∴V圆锥=π×12×=π.

8.B　设圆锥中水的底面半径为r cm,由题意知πr2×r=22×π×6,∴r=2,

∴水面的高度是×2=6(cm).

9.答案　π

解析　设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上=πr2=π,S下=πR2=4π,∴r=1,R=2.又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2.∴h==,∴V=××(π++4π)=π.

10.解析　如图,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积.

易求得ED=EC=2,AE=4,所以所求几何体的体积V=V圆台-V圆锥=π(52+5×2+22)×4-π×22×2=π.

11.D　将棱长为1的正方体木块削成一个体积最大的球,

则该球为正方体的内切球,其半径为,

所以球的体积为π×=.

12.C　设最小球的半径为r,由三个球的半径之比为1∶2∶3,得另外两个球的半径分别为2r,3r,所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2,所以=.

13.答案　3

解析　设球的半径为r cm,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3.

14.解析　(1)如图,连接OM,则OM⊥AB,

设OM=r,则OB=-r,

在△BMO中,sin∠MBO==⇒r=,∴S球面=4πr2=.

(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,∴AC=1,

将阴影部分绕直线BC旋转一周得到一个圆锥,里面挖去一个内切球,

∴所求体积V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×-π×=π.

能力提升练

1.B　如图,过P作PG∥AB交BB1于G,连接GQ,则VB-ACQP=V三棱柱ABC-PGQ,

∵AP=AA1,CQ=CC1,

∴V三棱柱ABC-PGQ=,

∴VB-ACQP=V三棱柱ABC-PGQ=××=V.

2.AD　设截面与底面的距离为h,则A中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);B中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R-h)2;C中截面圆的半径为R-,则截面圆的面积为π;D中截面圆的半径为,则截面圆的面积为π(R2-h2),所以A,D中截面的面积相等.

3.A　如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,连接A2C2,A2B2,B2C2,得到三棱柱A2B2C2-ABC,则=.延长B1E,C1F,则B1E与C1F相交于点A2.

因为A2A∶A2A1=1∶2,

所以=.

又==×=,

所以V1=7=,

故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.

4.答案　

解析　如图,设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,则由题意知×l×=3π,所以l=3,所以圆锥的底面周长c==2π,所以该圆锥的底面半径r=1,高h=2,所以该圆锥的体积V=πr2h=.

5.解析　设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2.

如图,连接MD,AC.

因为M是AE的中点,

所以VM-ABCD=V.

所以VE-MBC=V-VE-MDC.①

而VE-MBC=VB-EMC,VE-MDC=VD-EMC,

所以==.

因为B,D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离,而AB∥CD,且2AB=3CD,所以=.所以VE-MBC=VE-MDC.②

由①②得VE-MBC=V.

6.B　设球O的半径为R,以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R.根据三棱锥的体积公式,得×R2×R=,∴R=2,∴S球面=4π×22=16π.故选B.

7.A　如图①所示,圆O'是正方形ABCD和等腰△PAB的外接圆,连接PO'并延长,交AB于点E,连接O'A,O'B,设圆O'的半径为r,

图①

则O'E=AE=BE=r,O'P=r,

所以PE=r,

所以AP2=AE2+PE2=(2+)r2,

设点O是四棱锥P-ABCD的外接球的球心,F为正方形ABCD的中心,如图②,

则PF⊥平面ABCD,

图②

所以在Rt△AFP中,有AF2=AP2-PF2=(2+)r2-4,

又因为AF的长度等于圆O'的半径r,

所以(2+)r2-4=r2,

所以AF2=r2==4(-1),

设四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,

在Rt△AFO中,OF2=OA2-AF2,

所以OF2=R2-4(-1),

因为OF=PF-OP,

所以OF2=(2-R)2,

所以R2-4(-1)=(2-R)2,解得R=.

所以球O的表面积S球面=4πR2=8π.

8.答案　6;

解析　由题意得一个正三角形面积为×2×2×=,该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的,所以表面积为6.

该六面体也可看成由两个全等的正四面体组合而成,正四面体的棱长为2,如图,在棱长为2的正四面体S-ABC中,取BC中点D,连接SD,AD,作SO⊥平面ABC,垂足O在AD上,则AD=SD==,OD=AD=,SO==.

当该六面体内有一球,且该球体积取最大值时,球心为O,且该球与SD相切,过球心作OE⊥SD,垂足为E,则OE就是球的半径,设为R,

因为SO×OD=SD×OE,所以球的半径R=OE===,

所以该球体积的最大值为×π×=.

9.解析　过C作CO1⊥AB于点O1,

由已知得∠BCA=90°,

∵∠BAC=30°,AB=2R,

∴AC=R,BC=R,CO1=R.

∴S球面=4πR2,=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,

∴S几何体表=S球面++

=4πR2+πR2+πR2=πR2.

∵V球=πR3,

=·AO1·π·C=πR2·AO1,

=·BO1·π·C=πR2·BO1,

∴V几何体=V球-(+)=πR3.

10.B　由题意得水的体积V=20×20×10=4 000(cm3),

容器口的面积S=π×102=100π(cm2),

∴当日降雨量=≈12.7(cm)=127 mm.

11.C　如图所示,AB=9 cm,EF=GH=3 cm,KL=2 cm,LO=3 cm,所以∠A=60°.原水位线直径CD=6 cm,投入1颗石子后,水位线直径IJ=5 cm,则由圆台的体积公式得到,V石子=π·MN·(CN2+IM2+CN·IM)=(cm3).同理,空瓶体积是由空瓶圆台体积加圆柱体体积,即

V空瓶=V空圆台+V圆柱体=π·LN·(CN2+EL2+CN·EL)+π·EL2·KL

=+=(cm3),

故需要石子的个数=

==×=∈(3,4),

则至少需要投入4颗石子.故选C.

12.答案　21 952

解析　依题意知,正四棱柱的体积V1=22×4=16(m3).球M的半径r最大为1,此时其体积V2=πr3=π×13=(m3),四棱锥O-ABCD的底面为正方形,高h=2,所以其体积V3=×22×2=(m3).故该雕刻师需去除的石料的体积V=V1-V2-V3=16--≈(m3).又ρ=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,所以该雕刻师需去除的石料约重2 400×=21 952(kg).

13.解析　设圆柱的底面半径为r cm,圆锥的高为h1 cm.

(1)由题意得,2πr=24π,所以r=12 cm,h1==16(cm),

所以“笼具”的体积为30πr2-πr2h1=3 552π≈11 153.3(cm3).

(2)圆柱的侧面积为2πr×30=720π(cm2),圆柱的底面积为πr2=144π(cm2),

圆锥的侧面积为πr×20=240π(cm2),

所以“笼具”的表面积为720π+144π+240π=1 104π(cm2),

故制作50个“笼具”共需=≈139(元).