高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步本章综合与测试当堂达标检测题

专题强化练3　空间两条直线的位置关系

一、选择题

1.(2020江苏淮安范集中学高二期中,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和B1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.0

2.(2020江苏如皋中学高一月考,)空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD,BC所成的角为(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

3.(多选)(2020江苏连云港高级中学学情检测,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下结论中,正确的是(深度解析)

A.直线AM与CC1是相交直线

B.直线AM与BN是平行直线

C.直线BN与MB1是异面直线

D.直线AA1与CC1是平行直线

4.()已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP所在直线为旋转轴将其旋转一周得到一几何体,CD是底面圆O上的弦,△COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

5.(2020江苏溧阳中学高一期中,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过点A,C,E的截面与平面BB1D1D的交线为m,则异面直线m与CC1所成角的正切值为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

6.(2020江苏泰州中学高一期中,)在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　. 

三、解答题

7.()如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1D的中点,N为AC的中点.

(1)求异面直线MN和AB所成的角;

(2)求证:MN⊥AB1.

8.()如图,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)证明:E、F、G、H四点共面;

(2)m、n满足什么条件时,四边形EFGH为平行四边形?

答案全解全析

专题强化练3　空间两条直线的位置关系

一、选择题

1.A　连接ED,EF,易得四边形CDEF为平行四边形,所以ED∥FC,所以∠AED(或其补角)为异面直线AE与CF所成的角,

设D1E=a,则在△ADE中,AE=DE=a,AD=2a,

由余弦定理得cos∠AED==,

即异面直线AE与CF所成角的余弦值为.

2.B　如图,取AC的中点G,连接EG、FG,

由三角形的中位线定理可知EG=BC且EG∥BC,FG=AD且FG∥AD,

∴∠EGF(或其补角)为异面直线AD,BC所成的角,

在△EFG中,cos∠EGF===-,

∴∠EGF=120°,

∴异面直线AD,BC所成的角为60°.

3.CD　AM与CC1不同在任何一个平面内,故直线AM与CC1是异面直线,

同理,直线AM与BN是异面直线,直线BN与MB1是异面直线.

∵AA1∥BB1,BB1∥CC1,

∴由基本事实4知AA1∥CC1,故选CD.

方法技巧　异面直线的判断方法:一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面,那么两条直线异面;反之则为共面直线,可能是平行直线也可能是相交直线.

4.B　设OP=r,如图,过点D作OC的平行线,与圆O交于点E,连接PE,OE.

则OE=OC=CD=OD=DE=r,PE=PD=r,

所以∠PDE(或其补角)为异面直线OC与PD所成的角,

在△PDE中,PE=PD=r,DE=r,

所以cos∠PDE==.

5.D　如图所示,取C1D1的中点F,连接EF,CF,A1C1,

则平面ACE即为平面ACFE,EF∩B1D1=G,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,连接OG,OO1.

∴平面ACFE∩平面BB1D1D=GO=m.

∵OO1∥CC1,

∴∠GOO1(或其补角)为异面直线m与CC1所成的角.

∵E,F分别为A1D1,C1D1的中点,

∴G为D1O1的中点,

∴GO1=.

在Rt△GOO1中,tan∠GOO1===.

∴异面直线m与CC1所成角的正切值为.

二、填空题

6.答案　或

解析　如图,取BC的中点G,连接GE,GF,∵E,F分别是AB,CD的中点,

∴EG∥AC,GF∥BD,GE=AC=,GF=BD=,

∴异面直线BD,AC所成的角是∠EGF(或其补角).

若∠EGF=60°,则EF=GE=;

若∠EGF=120°,则EF=2GFsin 60°=2××=.

综上,EF的长为或.

三、解答题

7.解析　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1D的中点,连接AD1,CD1,易知M为AD1的中点,

在△AD1C中,M、N分别为AD1、AC的中点,

∴MN∥D1C,

∵D1C和DC所成的角为45°,DC∥AB,

∴异面直线MN和AB所成的角为45°.

(2)证明:由(1)知MN∥D1C,连接C1D,则D1C⊥DC1,

∵AD?A1D1?B1C1,

∴四边形AB1C1D为平行四边形,

∴DC1∥AB1,

∴D1C⊥AB1,

∴MN⊥AB1.

8.解析　(1)证明:∵AE∶EB=AH∶HD,

∴EH∥BD.

∵CF∶FB=CG∶GD,

∴FG∥BD,

∴EH∥FG,

∴E、F、G、H四点共面.

(2)当EH∥FG,EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.

∵==,∴EH=BD.

同理,FG=BD.由EH=FG得m=n.

故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.