高中数学苏教版 (2019)必修 第二册14.4 用样本估计总体随堂练习题

14.4.3　用频率直方图估计总体分布

基础过关练

题组　用频率直方图估计总体分布

1.某校初三年级有400名学生,随机抽查了40名学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是(　　)

A.该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25

B.该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24

C.该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为80

D.该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8

2.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量可知被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195].按上述分组方式得到的频率直方图的一部分如图所示,估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为　　　　. 

3.(2020江苏大丰高级中学高一阶段测试)某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下:

[0,0.5),4;[0.5,1),8;[1,1.5),15;[1.5,2),22;[2,2.5),25;[2.5,3),14;[3,3.5),6;[3.5,4),4;[4,4.5],2.

(1)列出样本的频率分布表;

(2)画出频率直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准,若超出标准加倍收费,当地政府说,85%以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么?

4.为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量,随机抽取20台,其无故障连续使用时限(单位:h)统计如下:

(1)作出频率直方图;

(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台;

(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替,估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.

5.(2020江苏东海第二中学高一月考)为调查某市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60],整理得到如下频率直方图:

(1)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲(精确到0.01);

(2)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系(只需写出结论),并计算其中的、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

6.(2019广西贵港高中高三模拟)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:

(1)作出这些数据的频率分布直方图:

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?

答案全解全析

14.4.3　用频率直方图估计总体分布

基础过关练

1.C　由题图知[15,20)的频率为0.02×5=0.1,[20,25)的频率为0.06×5=0.3,[25,30)的频率为0.08×5=0.4,易知中位数在[25,30)内,设中位数为25+x,则0.08x=0.5-0.1-0.3=0.1,∴x=1.25,故中位数为26.25,故A错;

区间[25,30)的矩形最高,故众数为其组中值27.5,故B错;

抽查的40名学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5=0.2,∴该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为400×0.2=80,故C正确;

抽查的40名学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1,故该校初三年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为400×0.1=40,故D错.

2.答案　144

解析　根据频率直方图知,男生身高在180 cm以上(含180 cm)的频率为1-(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.18,

故估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18=144.

3.解析　(1)列出频率分布表,如下:

(2)由频率分布表画出频率直方图,如下:

由频率直方图得这组数据的平均数=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02(t).

∵[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2)的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,[2,2.5)的频率为0.25,

∴中位数为2+×0.5=2.02(t),

众数为=2.25(t).

(3)人均月用水量在3 t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%,

即大约有12%的居民人均月用水量在3 t以上,88%的居民人均月用水量在3 t以下,

因此,当地政府的解释是正确的.

4.解析　(1)频率直方图如图所示.

(2)无故障连续使用时限不低于280 h的频率为0.30+0.10+0.05=0.45,故估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有8×0.45=3.6(万台).

(3)由频率直方图,可估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为190×0.05+210×0.05+230×0.10+250×0.15+270×0.20+290×0.30+310×0.10+330×0.05=269(h).

5.解析　(1)甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数为m甲=20+×10≈26.67(分钟).

(2)<,>.

=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55×0.05=27.5(分钟),

=(5-27.5)2×0.1+(15-27.5)2×0.2+(25-27.5)2×0.3+(35-27.5)2×0.2+(45-27.5)2×0.15+(55-27.5)2×0.05=178.75(分钟2).

6.解析　(1)频率分布直方图如图.

(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100,

质量指标值的样本方差为(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104,

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68,

由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.