北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数本章综合与测试练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数本章综合与测试练习题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列等式正确的是( )
A.lg(xy)=lg x+lg yB.2m+2n=2m+n
C.2m·2n=2m+nD.ln x2=2ln x
2.设函数f(x)=lg2x,若f(a+1)<2,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)D.(-1,1)
3.已知函数y=f(3x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(lg3x)的定义域为( )
A.[-1,1]B.13,2
C.[1,2]D.[33,27]
4.已知函数f(x)=x2+e|x|,若a=f(20),b=flg1214,c=flg222,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.c>a>b
5.已知函数f(x)=ex-1,x<2,lg3(x2-1),x≥2,若f(a)≥1,则a的取值范围是( )
A.[1,2)B.[1,+∞)
C.[2,+∞)D.(-∞,-1)∪[1,+∞)
6.已知a=3lg23.2,b=3lg42,c=5lg52,则( )
A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b
7.已知f(x)=ax,g(x)=lgax(a>0,且a≠1),若f(3)·g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
8.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1),现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f2x1+x2=2f(x);③若x1、x2∈(-1,1),且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.其中所有正确命题的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.给出下列结论,其中正确的结论是( )
A.函数y=lg|x|在区间(0,+∞)上单调递增
B.若函数y=lga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是(1,2)
C.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称
D.函数f(x)=lg12(x2-4x)的增区间为(-∞,2)
10.已知函数f(x)=|lg2x|,02,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的值可能是( )
A.2B.52C.2311D.3
11.已知函数f(x)=ln(ax+b)(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数,则( )
A.b=0
B.b=1
C.当a>1时,不等式f(x)>aln a的解集是(a,+∞);当0aln a的解集是(-∞,a)
D.当a>1时,不等式f(x)>aln a的解集是(-∞,a);当0aln a的解集是(a,+∞)
12.定义“正对数”:ln+x=0,00,b>0,则下列结论中正确的是( )
A.ln+(ab)=bln+a
B.ln+(ab)=ln+a+ln+b
C.ln+(a+b)≥ln+a+ln+b
D.ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知y=f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=ex+1,则f(-ln 2)的值为 .
14.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年(记为第1年)全年投入研发资金5 300万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是
年.
15.已知函数f(x)=lga(-x+1)(a>0且a≠1)在[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为 .
16.已知函数f(x)=|lg2x|,正实数m,n满足m四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)lg 4+lg 25+lg3273-eln 4;
(2)(22)43-4×1649-12-42×80.25-2 0190.
18.(12分)已知函数f(x)=lga(x+2)+lga(2-x)(0(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值.
19.(12分)已知f(x)=lg(a·4x-3·2x+2),a∈R.
(1)若a=1,求函数y=f(x)的定义域;
(2)当x∈(-∞,1]时,函数y=f(x)有意义,求实数a的取值范围.
20.(12分)目前,我国一些高耗低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩严重影响了生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始,每年的年产能比上一年减少的百分比为x(0(1)设第n年(2018年记为第1年)的年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x;
(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
21.(12分)已知函数f(x)=(lg x)2-2alg(10x)+3,x∈1100,10.
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的最小值记为m(a),求m(a)的最大值.
22.(12分)已知函数f(x)=lg2(x+a).
(1)若当a=1时,f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(2)若定义在R上的奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在区间[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在区间[-3,3]上的单调性(不必证明);
(3)对于(2)中的g(x),若关于x的不等式gt-2x8+2x+3≥g-12在R上恒成立,求实数t的取值范围.
案全解全析
一、单项选择题
1.C 对于A,D,若x,y为非正数,则不正确;对于B,C,根据指数幂的运算性质知C正确,B错误.故选C.
2.A ∵函数f(x)=lg2x在定义域内单调递增, f(4)=lg24=2,
∴不等式f(a+1)<2等价于03.D 由x∈[-1,1],得3x∈13,3,所以lg3x∈13,3,所以x∈[33,27].
4.C 易知x∈R,所以由f(-x)=(-x)2+e|-x|=x2+e|x|=f(x)知函数f(x)为偶函数,又易知f(x)在(0,+∞)上为增函数,且a=f(20)=f(1),b=flg1214=f(2),c=flg222=f-12=f12,所以f(2)>f(1)>f12,即b>a>c.
5.B ∵f(x)=ex-1,x<2,lg3(x2-1),x≥2,f(a)≥1,
∴a<2,ea-1≥1或a≥2,lg3(a2-1)≥1,
即a<2,a-1≥0或a≥2,a2-1≥3,即1≤a<2或a≥2.
∴a的取值范围是[1,+∞).故选B.
6.C 因为lg23.2>1>lg42,
所以a=3lg23.2>3lg42=b.
因为c=5lg52=2,b=3lg42=312=3,
所以b>c,所以a>b>c,故选C.
7.C 由指数函数和对数函数的单调性知,函数f(x)=ax与g(x)=lgax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上的单调性相同,可排除B,D.再由关系式f(3)g(3)<0可排除A,故选C.
8.D ∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1),∴f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),即①正确;f2x1+x2=ln1+2x1+x2-ln1-2x1+x2=ln x2+2x+11+x2-ln x2-2x+11+x2=ln x2+2x+1x2-2x+1=ln1+x1-x2=2ln1+x1-x=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),故②正确;∵f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(-1,1)上单调递增,∴总有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0成立,故③正确.故选D.
二、多项选择题
9.AC 当x>0时,y=lg x,所以函数在(0,+∞)上为增函数,故A正确;
∵函数y=lga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数,∴a>1,2-a≥0,解得1在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称,故C正确;
令x2-4x>0,得x<0或x>4,即f(x)的定义域为{x|x<0或x>4},故D错误.故选AC.
10.BC 根据已知画出函数f(x)的草图如下.
不妨设a∴-lg2a=lg2b,∴lg2(ab)=0,
解得ab=1,由图可知211.AC 因为函数f(x)=ln(ax+b)(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=ln(1+b)=0,故b=0,则f(x)=ln ax=xln a,当a>1时,函数f(x)单调递增,由f(x)>aln a=f(a),得x>a;当0aln a=f(a),得x12.AD 对于A,当00时,有0所以ln +(ab)=bln+a;
当a≥1,b>0时,有ab≥1,从而ln +(ab)=ln ab=bln a,bln+a=bln a,
所以ln +(ab)=bln+a.
所以当a>0,b>0时,ln +(ab)=bln+a,所以A正确.
对于B,当a=14,b=2时满足a>0,b>0,
而ln +(ab)=ln +12=0,ln +a+ln +b=ln +14+ln +2=ln 2,所以ln +(ab)≠ln +a+ln +b,所以B错误.
对于C,令a=2,b=4,则ln +(2+4)=ln 6,ln +2+ln +4=ln 2+ln 4=ln 8,显然
ln 6≠ln 8,所以C错误.
对于D,由“正对数”的定义知,当0当0从而ln +(a+b)所以ln +(a+b)当a≥1,01,
从而ln +(a+b)=ln(a+b)ln 2=ln(2a),所以ln+(a+b)当01,从而ln+(a+b)=ln(a+b)当a≥1,b≥1时,ln +(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln +b+ln 2=ln a+ln b+ln 2=ln(2ab),
因为2ab-(a+b)=ab-a+ab-b=a(b-1)+b(a-1)≥0,所以2ab≥a+b,所以
ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.
综上所述,当a>0,b>0时,ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2,所以D正确.故选AD.
三、填空题
13.答案 -3
解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-(eln 2+1)=-(2+1)=-3.
14.答案 2022
解析 设第n年投入的研发资金超过7 000万元,
则5 300×(1+8%)n-1>7 000,
即(n-1)lg 1.08>lg 7-lg 5.3,
n-1>lg7-≈3.6,取n-1=4,此时2 018+n-1=2 022,
所以投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是2022年.
15.答案 [-1,+∞)
解析 由题意得,当a>1时,
f(x)=lga(-x+1)在[-2,0]上单调递减,
∴f(-2)=lga3=0,f(0)=lga1=-1,无解;
当0∴f(-2)=lga3=-1,f(0)=lga1=0,解得a=13.
∴g(x)=13x+m-3,
又∵g(x)的图象不经过第一象限,
∴g(0)=13m-3≤0,解得m≥-1,即m的取值范围是[-1,+∞).
16.答案 52
解析 根据题意并结合函数f(x)=|lg2x|的图象知,0四、解答题
17.解析 (1)lg 4+lg 25+lg3273-eln 4
=lg 100+lg3332-1-4(3分)
=2+32-5=-32.(5分)
(2)(22)43-4×1649-12-42×80.25-2 0190
=(2)32×43-4×74-42×48-1
=(2)2-7-416-1(8分)
=2-7-2-1=-8.(10分)
18.解析 (1)要使函数f(x)有意义,则有x+2>0,2-x>0,解得-2因为f(-x)=lga(-x+2)+lga(2+x)=f(x),(4分)
所以f(x)是偶函数.(5分)
(2)由已知得f(x)=lga(4-x2)(0因为x∈(-2,2),所以0<4-x2≤4.(6分)
令μ=4-x2,又0所以y=lgaμ在(0,4]上为减函数,(8分)
所以ymin=lga4=-2,(10分)
所以a-2=4,所以a=12a=-12舍去.
故实数a的值为12.(12分)
19.解析 (1)当a=1时, f(x)=lg(4x-3·2x+2),(1分)
令4x-3·2x+2>0,解得2x<1或2x>2,
所以x<0或x>1.(3分)
所以f(x)的定义域为{x|x<0或x>1}.(4分)
(2)当x∈(-∞,1]时,令t=2x,则t∈(0,2],(5分)
y=lg(at2-3t+2)有意义,
即at2-3t+2>0在(0,2]上恒成立,(6分)
即a>-2·1t2+3·1t在(0,2]上恒成立.(7分)
因为-2·1t2+3·1t=-21t-342+98,
当t∈(0,2]时,1t∈12,+∞,所以-21t-342+98≤98,(10分)
所以a>98.故实数a的取值范围是98,+∞.(12分)
20.解析 (1)依题意得(1-x)n=a,(2分)
即1-x=na,故x=1-na(n∈N*).(4分)
(2)设第m年的年产能不超过2017年的25%,则(1-10%)m≤25%,(6分)
即910m≤14,
解得m≥2lg21-2lg3,即m≥30123,(8分)
∵13<30123<14,且m∈N*,
∴m的最小值为14,(10分)
∴2 017+14=2 031.(11分)
∴至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.(12分)
21.解析 (1)当a=1时, f(x)=(lg x)2-2lg(10x)+3=(lg x)2-2(lg 10+lg x)+3=(lg x)2-2lg x+1=(lg x-1)2,(2分)
由x∈1100,10得-2≤lg x≤1.
因此,当lg x=1时, f(x)min=0;
当lg x=-2时, f(x)max=9.(4分)
故f(x)的值域为[0,9].(5分)
(2)f(x)=(lg x)2-2alg x-2a+3,x∈1100,10.
令t=lg x,t∈[-2,1],
则g(t)=t2-2at-2a+3.(6分)
①当a<-2时, f(x)min=g(-2)=2a+7;(7分)
②当-2≤a≤1时, f(x)min=g(a)=-a2-2a+3;(8分)
③当a>1时, f(x)min=g(1)=4-4a.(9分)
所以m(a)=2a+7,a<-2,-a2-2a+3,-2≤a≤1,4-4a,a>1,(10分)
所以m(a)max=4.(12分)
22.解析 (1)当a=1时,f(x)=lg2(x+1),
∴f(x-1)=lg2x,
∴f(x)+f(x-1)=lg2(x+1)+lg2x
=lg2[x(x+1)],(1分)
若f(x)+f(x-1)>0,则x>0,x+1>0,x(x+1)>1,(2分)解得x>5-12,
即x的取值范围为5-12,+∞.(3分)
(2)∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(0)=0,
又∵当0≤x≤1时,g(x)=f(x)=lg2(x+a),∴a=1,(4分)
当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=-lg2(x+3).(5分)
当x∈[-3,-2)时,x+2∈[-1,0),即-(x+2)∈(0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=g[-(x+2)]=lg2[-(x+2)+1]=lg2(-x-1).(6分)
故g(x)=lg2(-x-1),x∈[-3,-2),-lg2(x+3),x∈[-2,-1].g(x)在[-3,-1]和[1,3]上递减,在[-1,1]上递增.(7分)
(3)g-12=-g12=-f12=-lg232,
由(2)知,若g(x)=-lg232,则x=-12或x=-32或x=52.记u=t-2x8+2x+3=-18+t+18+2x+3,
当t+1≥0时,u∈-18,-18+t+18=-18,t8,
由gt-2x8+2x+3≥g-12在R上恒成立可得-18,t8⊂-12,52,(8分)
解得t∈[-1,20].(9分)
当t+1<0时,u∈-18+t+18,-18=t8,-18,
由gt-2x8+2x+3≥g-12在R上恒成立可得t8,-18⊂-12,52,(10分)
解得t∈[-4,-1).(11分)
综上,实数t的取值范围为[-4,20].(12分)