2020-2021学年第五章 函数应用本章综合与测试练习

这是一份2020-2021学年第五章 函数应用本章综合与测试练习，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数零点不能用二分法求解的是 ( )
A. f(x)=x3-1B. f(x)=ln x+3
C. f(x)=x2+2x+1D. f(x)=-x2+4x-1
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:“一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完”.这样,每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为( )
A.y=12x(x∈N+)B.y=x12(x∈N+)
C.y=2x(x∈N+)D.y=12x(x∈N+)
3.渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后要在最短的时间内将其分拣、冷藏.若不及时处理,打上来的鱼会很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质,进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分钟)满足的函数关系式为h(t)=m·at.出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%;出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%.若不及时处理,则这种鱼从出海到失去全部新鲜度经过了(已知lg 2≈0.3,结果取整数)( )
A.33分钟B.43分钟C.50分钟D.56分钟
4.函数f(x)=1x-ln x的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
5.股票价格上涨10%称为“涨停”,下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,这只股票先经历了3次涨停,又经历了3次跌停,则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利
B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损
D.无法判断盈亏情况
6.已知s是函数f(x)的一个零点,且x1A. f(x1)·f(x2)>0B. f(x1)·f(x2)<0
C. f(x1)·f(x2)=0D.以上答案都不对
7.已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3(m∈R),若关于x的方程f(x)=0有实数根,且两根分别为x1,x2,则(x1+x2)·x1x2的最大值为( )
A.92B.2C.3D.94
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若f12>0>f(3),则方程f(x)=0的根的个数是( )
A.2B.2或1C.3D.2或3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的值可能为( )
A.0B.1C.2D.3
10.下列函数中,有2个零点的函数是( )
A.y=lg xB.y=2xC.y=|x|-1D.y=e|x|-2
11.设方程|x2-3|=a的解的个数为m,则m的值可能为( )
A.1B.2
C.3D.4
12.已知函数f(x)=a2x+12x-1-x2+2bx(a,b∈R),若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同,则a-b的值可能为( )
A.-1B.1C.-2D.0
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若方程lg x+x=2的根x0∈(k,k+1),其中k∈Z,则k= .
14.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励y为1万元;销售额x为64万元时,奖励y为4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
15.已知函数f(x)=2x-1,x>0,x2+x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是 .
16.方程x2+2x-1=0的解可视为函数y=x+2的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标.若方程x4+ax-4=0的各个实数根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点xi,4xi(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设函数f(x)=1-1x(x>0).
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)当0(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=2x-a2x(a∈R).
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若方程f(x)=a在x∈[0,1]上有且仅有一个实根,求a的取值范围.
19.(12分)环境污染触目惊心,它已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈.某化工厂每天排放污水的污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|lg25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=12,求一天中排放污水的污染指数最低的时刻;
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天排放污水的污染指数,要使该厂每天的排放污水的污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?
20.(12分)已知函数f(x)=3-x,x<0,lnx,0(1)求M;
(2)求函数g(x)的值域;
(3)当x∈M时,若函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点,求b的取值范围,并讨论零点的个数.
21.(12分)已知函数f(x)=(lg2x)2+4lg2x+m,x∈18,4,m为常数.
(1)若函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个互异的零点α,β,求实数m的取值范围及α·β的值.
22.(12分)小萌大学毕业后,家里给了她10万元,她想办一个“萌萌”加工厂.根据市场调研,她得出了一组毛利润y(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)的数据如下:
为了预测不同投入成本情况下的利润,她想在两个模型f(x)=ax2+b,g(x)=p·2x+q中选一个进行预测.
(1)根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式,请你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由),并预测她投入8万元的毛利润;
(2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂,请利用(1)中选定的模型,预测加工厂毛利润率r的最大值,并说明理由.毛利润率=毛利润投入成本
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 对于C, f(x)=(x+1)2≥0,此函数零点为不变号零点,不能用二分法求解.
2.D 由题意可得,剩下的部分依次为12,14,18,…,因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y=12x(x∈N+),故选D.
3.B 依题设有h(10)=ma10=0.1,h(20)=ma20=0.2,解得a=2110,m=0.05,故h(t)=0.05×(2110)t.
令h(t)=0.05×(2110)t=1,得(2110)t=20,
故t=lg20lg 2110=1+lg2110lg2≈10×(1+0.3)0.3≈43(分钟).
B 函数f(x)=1x-ln x的零点个数等价于函数y=1x(x>0)的图象与函数y=
ln x(x>0)的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,作出它们的图象,如图.
由图象可知,两函数图象有1个交点,即函数f(x)的零点个数为1,故选B.
5.B ∵(1+10%)3(1-10%)3=0.993<1,∴该股民在这只股票上的盈亏情况是略有亏损.故选B.
6.D 零点存在定理的逆命题不一定成立,故f(x1)·f(x2)的值不确定.
7.B ∵x1+x2=-2m,x1x2=2m+3,∴(x1+x2)·x1x2=-2m(2m+3)=-4·m+342+94.
在方程f(x)=0中,Δ=4m2-4(2m+3)≥0,解得m≤-1或m≥3.
令t=(x1+x2)·x1x2,
∵t=-4m+342+94在m∈(-∞,-1]上单调递增,
∴当m=-1时,t取最大值,最大值为2;
∵t=-4m+342+94在m∈[3,+∞)上单调递减,
∴当m=3时,t取最大值,最大值为-54,
∴(x1+x2)·x1x2的最大值为2,故选B.
8.D ∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f12>0>f(3),
∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点,则f(x)在(-∞,0)上也仅有1个零点.若f(0)=0,则共有3个零点;若f(0)≠0,则共有2个零点.故选D.
二、多项选择题
9.BC 易知函数f(x)在(1,2)内单调递增,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)<0,f(2)>0,即2-2-a<0,4-1-a>0,解得010.CD 分别作出这四个函数的图象(图略),其中y=|x|-1与y=e|x|-2的图象与x轴有两个交点,即函数有2个零点,故选CD.
11.BCD 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=|x2-3|和y=a的图象,如图所示.
易知方程解的个数为0或2或3或4,故选BCD.
12.AD 设y=f(x)的零点为t,即f(t)=0.
由f(x)与f(f(x))的零点相同可知:f(f(t))=0,∴f(0)=0.
又f(0)=a,∴a=0,
∴f(x)=-x2+2bx,
令f(x)=0,解得x1=0,x2=2b.
当b=0时,f(x)仅有一个零点0,符合题意;
当b≠0时,f(f(x))=-(-x2+2bx)2+2·b(-x2+2bx)=(-x2+2bx)(x2-2bx+2b),
∴x2-2bx+2b=0无实根,
∴Δ=(-2b)2-8b<0,解得0故选AD.
三、填空题
13.答案 1
解析 令f(x)=lg x+x-2,显然f(x)在(0,+∞)上单调递增,且为连续函数,因为f(1)<0, f(2)>0,所以f(x)在(1,2)上有唯一的零点,即方程lg x+x=2在(1,2)上只有一个根,
又x0∈(k,k+1),k∈Z,
所以k=1.
14.答案 1 024
解析 依题意得alg48+b=1,alg464+b=4,即32a+b=1,3a+b=4,解得a=2,b=-2.
所以y=2lg4x-2.
当y=8,即2lg4x-2=8时,x=1 024.
15.答案 -14,0
解析 令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图:
当x≤0时, f(x)=x2+x=x+122-14≥-14,若函数f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则-1416.答案 (-∞,-6)∪(6,+∞)
解析 方程x4+ax-4=0可化为x3+a=4x,
在同一平面直角坐标系中,分别画出函数y=x,y=4x,y=x3的图象,如图所示.
由y=x,y=4x,解得x1=2,y1=2,x2=-2,y2=-2,则A,B点的坐标分别为(2,2),(-2,-2).
将函数y=x3的图象向下移动到过点A时,
得到a=-6,再向下移动即可满足题意,此时a<-6.
将函数y=x3的图象向上移动到过点B时,得到a=6,再向上移动即可满足题意,此时a>6,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-6)∪(6,+∞).
四、解答题
17.解析 (1)函数f(x)的图象如图所示.
(3分)
(2)f(x)=1-1x
=1x-1,x∈(0,1],1-1x,x∈(1,+∞),
故f(x)在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,(5分)
由0(3)由函数f(x)的图象可知,当018.解析 (1)因为函数f(x)=2x-a2x(a∈R)为奇函数,所以f(0)=1-a=0,所以a=1.经检验,符合题意.(3分)
(2)设t=2x,因为x∈[0,1],所以t∈[1,2].
由方程f(x)=a,即2x-a2x=a,得t-at=a,即t2-at-a=0,
所以原问题等价于t2-at-a=0在t∈[1,2]上有且仅有一个实根.(5分)
设g(t)=t2-at-a(1≤t≤2),
①当方程的根在区间的端点时,t=1或t=2,
若g(1)=1-a-a=0,则a=12,
此时t2-12t-12=0,
解得t=1或t=-12,所以在区间[1,2]上g(t)有且只有一个实根,符合题意;(7分)
若g(2)=4-2a-a=0,则a=43,此时t2-43t-43=0,
解得t=2或t=-23,所以在区间[1,2]上g(t)有且只有一个实根,符合题意.(9分)
②当方程的根在区间的内部时,由方程在(1,2)内有且仅有一个实根,
得g(1)g(2)<0或Δ=a2+4a=0,1解得12综上,a的取值范围为12,43.(12分)
19.解析 (1) 因为a=12,所以f(x)=lg25(x+1)-12+2≥2.(1分)
当f(x)=2时,lg25(x+1)-12=0,(2分)
得x+1=5,即x=4.
所以一天中早上4时该厂排放污水的污染指数最低.(4分)
(2)设t=lg25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=-t+3a+1,0≤t≤a,t+a+1,a显然g(t)在[0,a]上是减函数,在(a,1]上是增函数,(7分)
则f(x)max=max{g(0),g(1)},(8分)
因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,
所以有g(0)=3a+1≤3,g(1)=a+2≤3,解得a≤23.(10分)
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在0,23内.(12分)
20.解析 (1)函数y=3-x是减函数,当x<0时,y>3;
函数y=ln x是增函数,当0∴M={y|y<1或y>3}=(-∞,1)∪(3,+∞). (3分)
(2)设t=2x,则y=t2-2t=(t-1)2-1.
∵x∈M,∴x<1或x>3,
∴t∈(0,2)∪(8,+∞).(4分)
当t∈(0,2)时,y∈[-1,0);
当t∈(8,+∞)时,y∈(48,+∞).
故函数y=t2-2t的值域为[-1,0)∪(48,+∞).
故函数g(x)的值域为[-1,0)∪(48,+∞).(5分)
(3)函数h(x)=4x-2x+1-b有零点等价于方程4x-2x+1-b=0有实根,
即方程4x-2x+1=b有实根,
等价于直线y=b与函数y=g(x)(x∈M)的图象有交点.(7分)
由(2)知g(x)∈[-1,0)∪(48,+∞),
所以当且仅当b∈[-1,0)∪(48,+∞)时,
函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点.
结合二次函数的图象与性质,由(2)可知,
当t∈(0,1)时,函数y=t2-2t单调递减,当t∈(1,2)时,函数y=t2-2t单调递增,当t∈(8,+∞)时,函数y=t2-2t单调递增.(9分)
所以①当b=-1或b∈(48,+∞)时,函数只有一个零点;(10分)
②当b∈(-1,0)时,函数有两个零点;(11分)
③当b∈(-∞,-1)∪[0,48]时,函数没有零点.(12分)
21.解析 令lg2x=t,则g(t)=t2+4t+m,t∈[-3,2].
(1)因为函数f(x)存在大于1的零点,
所以方程t2+4t+m=0在t∈(0,2]内存在根. (2分)
由t2+4t+m=0得m=-t2-4t,(3分)
当t∈(0,2]时,m∈[-12,0).
故实数m的取值范围为[-12,0).(5分)
(2)函数f(x)有两个互异的零点α,β,则函数g(t)=t2+4t+m在[-3,2]内有两个互异的零点t1,t2,其中t1=lg2α,t2=lg2β,(6分)
所以Δ=16-4m>0,g(-3)≥0,g(2)≥0,(8分)
解得3≤m<4.
所以实数m的取值范围是[3,4).(10分)
根据根与系数的关系,可知t1+t2=-4,(11分)
即lg2α+lg2β=-4,所以lg2(α·β)=-4,故α·β=2-4=116.(12分)
22.解析 (1)先求第一个模型f(x)=ax2+b的解析式,
由已知数据可得4a+b=2,16a+b=5,(1分)解得a=14,b=1,
∴f(x)=14x2+1(0同理可求得g(x)=14·2x+1(0f(x)=14x2+1(0当x=8万元时,毛利润为17万元.(6分)
(2)r=yx=14x2+1x=x4+1x(2≤x≤10).
设任意的x1,x2∈[2,10],且x1r2-r1x2-x1=x24+1x2-x14+1x1x2-x1=x1x22+4x1-x12x2-4x24x1x2x2-x1=x1x2-44x1x2.(9分)
又因为x2>x1≥2,所以x1x2-4>0,所以r2-r1x2-x1>0,所以r=yx=x4+1x(2≤x≤10)在[2,10]上是增函数,(10分)
当x=10万元时,rmax=104+110=135.(12分)
投入成本x
0.5
1
2
3
4
5
6
毛利润y
1.06
1.25
2
3.25
5
7.25
9.98