北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数本章综合与测试免费当堂检测题

第一章　三角函数

专题强化练1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用

一、选择题

1.(2019陕西延安高三模拟,)函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则φ等于(　　)

A. B.- C. D.-

2.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考,) 已知函数f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是(深度解析)

A.函数g(x)是奇函数

B.函数g(x)的图象关于直线x=-对称

C.当x∈时,函数g(x)的值域是[-1,2]

D.函数g(x)在上是增函数

二、填空题

3.(2019广东中山一中高一下段考,)将函数y=2sin图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得函数的图象向右平移π个单位长度,所得图象对应的函数解析式为　　　　　　　. 

4.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象如图所示,则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为　　　　　. 

三、解答题

5.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期末,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)图象上的一个最低点为Q,且f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在上的值域.

6.(2019甘肃武威一中高一下第一次阶段考试,)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一个对称中心为,其图象上相邻两个最高点间的距离为π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)用“五点法”在给定的坐标系中作出函数f(x)在区间内的图象,并写出函数f(x)的单调递减区间.

答案全解全析

专题强化练1　函数y=

Asin(ωx+φ)的图象

变换及应用

1.D 2.C   

一、选择题

1.D　函数f(x)=√3sin(2x+φ)("|" φ"|" <π/2)的图象向左平移π/6个单位长度后,得到函数y=√3sin 2x+π/3+φ  |φ|<π/2 的图象.

由于平移后的图象关于原点对称,

∴π/3+φ=kπ(k∈Z),由|φ|<π/2得φ=-π/3.

2.C　依题意得g(x)=f(x+π/6)=2sin 2x+π/2 =2cos 2x(x∈R).

g(x)是偶函数,故A错误;又g("-"  π/4)=2cos("-"  π/2)=0≠±2,故B错误;由0≤x≤π/3得0≤2x≤2π/3,从而-1≤2cos 2x≤2,故C正确;由π/4≤x≤π/2得π/2≤2x≤π,因此g(x)在[π/4 ","  π/2]上单调递减,故D错误.

故选C.

解题模板

利用图象平移的性质求出g(x)的解析式是解题的基础,研究g(x)在闭区间上的性质常用的方法是由x的范围求出t=ωx+φ的范围,在此范围内作出y=sin t(或cos t)的图象,再利用图象解决问题.

二、填空题

3.答案　y=2sin1/6x

解析　将函数y=2sin(1/3 x+π/6)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的解析式为y=2sin 1/3×x/2+π/6 =2sin 1/6x+π/6 ,再把所得图象向右平移π个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin 1/6(x-π)+π/6 =2sin1/6x.

4.答案　(- π/6 , 1)(答案不唯一)

解析　由题图可知A=(3+1)/2=2,B=(3"-" 1)/2=1,T=2(7π/12 "-"  π/12)=π,所以ω=2.

故f(x)=2sin(2x+φ)+1.

由π/12×2+φ=π/2+2kπ(k∈Z),

且|φ|<π/2,得φ=π/3,

故f(x)=2sin(2x+π/3)+1.

令2x+π/3=kπ(k∈Z),

得x=kπ/2-π/6(k∈Z),

当k=0时,x=-π/6,

所以函数f(x)图象的一个对称中心的坐标可以为("-"  π/6 "," 1).

三、解答题

5.解析　(1)设函数的最小正周期为T.

由题意知A=2,T/2=2π,故T=4π=2π/ω,

∴ω=1/2,

又函数f(x)的图象过点Q(π/2 ",-" 2),

∴2sin(1/2×π/2+φ)=-2,

∴π/4+φ=2kπ+3π/2,k∈Z,

即φ=2kπ+5π/4,k∈Z,

又-π<φ<0,

∴φ=-3π/4.

则f(x)=2sin(1/2 x"-"  3π/4).

(2)将函数f(x)=2sin(1/2 x"-"  3π/4)的图象向左平移π/6个单位长度,

得到函数y=2sin[1/2 (x+π/6)"-"  3π/4]

=2sin(1/2 x"-"  2π/3)的图象,

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1/3,纵坐标不变,得到函数y=2sin(3/2 x"-"  2π/3)的图象,

∴g(x)=2sin(3/2 x"-"  2π/3).

若x∈(0","  2π/3),

则3/2x-2π/3∈("-"  2π/3 ","  π/3),

∴sin(3/2 x"-"  2π/3)∈["-" 1","  √3/2),

则g(x)的值域为[-2,√3).

6.解析　(1)因为图象上相邻两个最高点间的距离为π,所以最小正周期T=π,所以ω=2.

因为函数图象的一个对称中心为(5π/12 "," 0),

所以f(5π/12)=2sin(2×5π/12+φ)=0,

所以5π/6+φ=kπ(k∈Z),

所以φ=kπ-5π/6(k∈Z).

又因为|φ|<π/2,

所以φ=π/6,

所以f(x)=2sin(2x+π/6).

(2)列表,作图如下:

由图得函数f(x)的单调递减区间为[π/6+kπ","  2π/3+kπ](k∈Z).