北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用本章综合与测试练习

第二章　平面向量及其应用

专题强化练4　数量积及其性质

一、选择题

1.()下列等式中不恒成立的是(　　)

A.a·b=b·a

B.λa·b=a·(λb)

C.(a·b)2=a2·b2

D.|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)

2.(2020北京师范大学附属中学高一年级下学期期中,)设m∈R,向量a=(1,-2),b=(m,m-2),若a⊥b,则m等于(　　)

A.- B. C.-4 D.4

3.(2020广东佛山实验中学高一下学期期末,)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则|a+b|=(　　)

A. B. C.3 D.5

4.(2020湖南永州高一下学期期末,)已知b的模为1,且b在a方向上的投影数量为,则a与b的夹角θ=(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

5.(2020江苏南通高一上学期期末联考,)向量a=(1,x+1),b=(1-x,2),a⊥b,则(a+b)·(a-b)=(　　)

A.-15 B.15 C.-20 D.20

6.(2020陕西西安高三上学期期中,)在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点M是△ABC外接圆上任意一点,则·的最大值为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

二、填空题

7.()已知a=(-2,3),b=(1,-5),则|3a-b|=　　　　. 

8.(2020贵州贵阳第一中学高三一模,)已知a=(1,),b=(0,-1),则+·b=　　　　. 

9.(2020江西南昌第二中学高三上学期期末,)已知a是以点A(3,-1)为起点且与b=(-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标为　　　　　　　　　　. 

10.()已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=　　　　. 

11.()在平行四边形ABCD中,∠DAB=,边AB,AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=,则·的取值范围是　　　　. 

三、解答题

12.(2020黑龙江大庆第四中学高一下学期期中,)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,m).

(1)若a⊥b,求|a+2b|;

(2)若m=0,求a+b与a-b夹角θ的余弦值.

13.(2020云南曲靖高一下学期期中联考,)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4.

(1)若(a-b)·b=-20,求向量a与b的夹角及|3a+b|;

(2)在矩形ABCD中,CD的中点为E,BC的中点为F,设=a,=b,试用向量a,b表示,,并求·的值.

答案全解全析

专题强化练4　数量积及其性质

1.C 2.D 3.B 4.A 5.A

6.D    

一、选择题

1.C　对于A,由向量的交换律可得a•b=b•a,故恒成立;

对于B,根据向量与数乘的结合律,可得λa•b=a• (λb),故恒成立;

对于C,由向量的数量积的运算公式,可得(a•b)2=|a|2•|b|2cos2<a,b>,a2•b2=|a|2•|b|2,所以不恒成立;

对于D,(a+b)•(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,所以恒成立.

故选C.

2.D　因为a=(1,-2),b=(m,m-2),且a⊥b,

所以a•b=(1,-2)•(m,m-2)=m-2(m-2)=0,整理得4-m=0,解得m=4.

故选D.

3.B　∵a∥b,∴1×m-2×(-2)=0,∴m=-4,∴a+b=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2),

∴|a+b|=√("(-" 1")" ^2+"(-" 2")" ^2 )=√5.

故选B.

4.A　因为|b|=1,b在a方向上的投影数量为|b|cos θ=1×cos θ=√3/2,所以cos θ=√3/2,

又因为0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角θ=30°.故选A.

5.A　若a⊥b,则a•b=(1-x)+2(x+1)=x+3=0,解得x=-3,

则a=(1,-2),b=(4,2),

所以a+b=(5,0),a-b=(-3,-4),

则(a+b)•(a-b)=-15.

故选A.

6.D　由题意,设△ABC的外心即BC的中点为O,则(AM) ⃗=(AO) ⃗+(OM) ⃗,

所以(AB) ⃗•(AM) ⃗=(AB) ⃗•((AO) ⃗+(OM) ⃗)

=(AB) ⃗•(AO) ⃗+(AB) ⃗•(OM) ⃗,

而(AB) ⃗•(AO) ⃗=|(AB) ⃗|•|(AO) ⃗|cos∠BAO

=|(AB) ⃗|•|(AO) ⃗|sin∠ACB=3×5/2×3/5=9/2,

当(OM) ⃗与(AB) ⃗同向时,(AB) ⃗•(OM) ⃗取最大值,((AB) ⃗•(OM) ⃗)max=3×5/2=15/2,所以((AB) ⃗•(AM) ⃗)max=9/2+15/2=12.故选D.

二、填空题

7.答案　7√5

解析　∵a=(-2,3),b=(1,-5),∴3a-b=(-7,14),∴|3a-b|=√("(-" 7")" ^2+14^2 )=7√5.

8.答案　1-√3/2

解析　易知|a|=2,|b|=1,

所以a/("|" a"|" )=(1/2 ","  √3/2),b/("|" b"|" )=(0,-1),

所以a/("|" a"|" )+b/("|" b"|" )=(1/2 ","  √3/2 "-" 1),

所以(a/("|" a"|" )+b/("|" b"|" ))•b=1/2×0+(√3/2 "-" 1)×(-1)=1-√3/2.

9.答案　(12/5 ",-"  1/5)或(18/5 ",-"  9/5)

解析　∵b=(-3,4),∴|b|=5,

∴与b=(-3,4)平行的单位向量为("-"  3/5 ","  4/5)或(3/5 ",-"  4/5).

设a的终点坐标是(x,y),可得(x-3,y+1)=("-"  3/5 ","  4/5)或(x-3,y+1)=(3/5 ",-"  4/5),

解得{■(x=12/5 "," @y="-"  1/5)┤或{■(x=18/5 "," @y="-"  9/5 "." )┤

则a的终点坐标是 12/5,-1/5 或 18/5,-9/5 .

10.答案　2/3

解析　因为c=2a-√5b,a•b=0,

所以a•c=2a2-√5a•b=2,

|c|2=4|a|2-4√5a•b+5|b|2=9,

所以|c|=3,

所以cos<a,c>=(a"•" c)/("|" a"|•|" c"|" )=2/(1×3)=2/3.

11.答案　[2,5]

解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),A(0,0),D(1/2 ","  √3/2).

设("|" (BM) ⃗"|" )/("|" (BC) ⃗"|" )=("|" (CN) ⃗"|" )/("|" (CD) ⃗"|" )=λ,λ∈[0,1],

则M(2+λ/2 ","  √3/2 λ),N(5/2 "-" 2λ","  √3/2),

所以(AM) ⃗•(AN) ⃗=(2+λ/2 ","  √3/2 λ)• 5/2-2λ,√3/2 =5-4λ+5/4λ-λ2+3/4λ=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6,

因为λ∈[0,1],所以-(λ+1)2+6∈[2,5].

即(AM) ⃗•(AN) ⃗的取值范围为[2,5].

三、解答题

12.解析　(1)因为a⊥b,a=(-1,2),b=(2,m),所以a•b=0,即-2+2m=0,

解得m=1,所以b=(2,1).

所以a+2b=(-1,2)+(4,2)=(3,4),

所以|a+2b|=√(3^2+4^2 )=5.

(2)若m=0,则b=(2,0),

所以a+b=(1,2),a-b=(-3,2),

所以|a+b|=√5,|a-b|=√13,(a+b)•(a-b)=-3+4=1,

所以cos θ=("(" a+b")•(" a"-" b")" )/("|" a+b"||" a"-" b"|" )=1/(√5×√13)=√65/65.

13.解析　(1)设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],∵|a|=2,|b|=4,(a-b)•b=-20,∴(a-b)•b=a•b-b2=|a||b|cos θ-|b|2=8cos θ-16=-20,即cos θ=-1/2,

又θ∈[0,π],∴θ=2π/3,

∴|3a+b|=√("(" 3a+b")" ^2 )=√(9a^2+6a"•" b+b^2 )=√(36+6×2×4×("-"  1/2)+16)=2√7.

(2)在矩形ABCD中,a⊥b,即a•b=0,

(AE) ⃗=(AD) ⃗+(DE) ⃗=(AD) ⃗+1/2 (AB) ⃗=1/2a+b,

(AF) ⃗=(AB) ⃗+(BF) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗=a+1/2b,

∴(AE) ⃗•(AF) ⃗=(1/2 a+b)•(a+1/2 b)=1/2a2+5/4a•b+1/2b2=1/2×4+0+1/2×16=10.