高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换1 同角三角函数的基本关系本节综合与测试同步测试题

第四章　三角恒等变换

§1　同角三角函数的基本关系

基础过关练

题组一　对同角三角函数基本关系式的理解

1.下列各式中成立的是(　　)

A.sin2α+cos2β=1 B.cos α=sin αtan α

C.sin2+cos2=1 D.tan 2α=

2.(2020广东佛山高一期末)下列等式中正确的是(　　)

A.sin22α+cos22α=2

B.若α∈(0,2π),则一定有tan α=

C.sin=±

D.sin α=tan α·cos α

3.(2020浙江余姚高一检测)下列结论中正确的是(　　)

A.存在角α,使得sin α=cos α=

B.存在角α,使得tan α=1,cos α=

C.若α为第二象限角,则tan α=-

D.sin22 020°+cos2(-2 020°)=1

题组二　由已知三角函数值求其他三角函数值

4.(2020山东济南高一期末)已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为(　　)

A. B.- C. D.-

5.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=(　　)

A. B.- C. D.-

6.已知α是第三象限角,且sin α=-,则3cos α+4tan α=(　　)

A.- B. C.- D.

7.(2020福建莆田高一期末)若cos α=,且α是第四象限角,则cos=　　　　. 

8.若sin θ=,cos θ=,且θ的终边不在坐标轴上,则tan θ的值为　　　　. 

题组三　三角函数式的化简、求值

9.(2020广东珠海高一检测)已知sin θ-2cos θ=0,则sin2θ+1等于(　　)

A. B. C. D.

10.若α为第三象限角,则+ 的值为(　　)

A.3 B.-3 C.1 D.-1

11.(2020山东威海高一期中)已知2tan α·sin α=3,且-<α<0,则sin α的值等于(　　)

A. B.- C. D.-

12.使=成立的角α的范围是(　　)

A.2kπ-π<α<2kπ(k∈Z)

B.2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z)

C.2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z)

D.2kπ-<α<2kπ(k∈Z)

13.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)

A. B. C.1 D.

14.(2020山西太原高一期中)cos2x等于(　　)

A.tan x B.sin x C.cos x D.

15.(2020黑龙江双鸭山高一期末)若M=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos290°,则M等于(　　)

A.90 B.45 C.44 D.44.5

16.(2020河北邢台高一期中)(1+tan2375°)·cos2735°=　　　　. 

17.化简sin(π+α)cos+sincos(π+α)=　　　　. 

能力提升练

题组一　利用sin α±cos α,sin αcos α的关系求值

1.(2020广东广州高一期末,)已知sin α+cos α=,则sin αcos α的值为(　　)

A.- B.- C. D.

2.(2020贵州凯里高一期中,)已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为(　　)

A. B.- C.± D.-

3.(2020福建龙岩高一检测,)若α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,则这个三角形是(　　)

A.正三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

4.(2020吉林通化高一期末,) 的值为(　　)

A.1 B.-1 C.sin 10° D.cos 10°

5.(多选)(2020山西太原高一期中,)若sin α与cos α是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,α∈,则下列结论中正确的是(　　)

A.m= B.sin αcos α=

C.α=或 D.α=或

6.(2020山东滨州高一期末,)已知sin αcos α=,则sin α-cos α=　　　　. 

7.(2020四川绵阳高一期中,)若sin α+cos α=,则tan α+的值为　　　　. 

8.(2020江苏连云港高一期末,)若-<α<0,sin α+cos α=,则=　　　　. 

题组二　三角函数中的齐次式问题

9.(2020山东青州高一期末,)若tan α=2,则等于(　　)

A.0 B. C. D.-

10.(2020山东师大附中高一期末,)已知tan θ=-,则sin θcos θ等于(　　)

A.- B. C.- D.

11.(2020江西吉安高一期末,)已知=-5,那么tan α的值为(　　)

A.-2 B.2 C. D.-

12.(2020河南郑州高一期中,)若cos α+2sin α=-,则tan α等于(　　)

A. B.2 C.- D.-2

13.(2020广东深圳高一期末,)若α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,则tan α的值为(　　)

A.3或- B.- C.-3或 D.

14.(2020云南玉溪一中高一期末,)如果sin α+3cos α=0,那么sin2α+2sin αcos α的值为　　　　. 

15.(2020江西临川高二期末,)已知=1,则=　　　　. 

题组三　三角函数的证明

16.()证明:=.

17.(2020河南南阳高一联考,)证明:sin θ(1+tan θ)+cos θ·1+=+.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

§1　同角三角函数的基本关系

基础过关练

1.C 2.D 3.D 4.D 5.D

6.A 9.C 10.B 11.B 12.A

13.C 14.D 15.D  

1.C　由同角三角函数基本关系式可知,C选项正确.

2.D　sin22α+cos22α=1,所以A不正确;利用同角三角函数的基本关系式时一定要注意其隐含的条件,对于B,有cos α≠0,即α≠π/2,3π/2,因此B不正确;因为0<π/8<π/2,所以sinπ/8>0,所以C不正确.

3.D　若sin α=cos α=1/2,则sin2α+cos2α= 1/2 2+ 1/2 2=1/2≠1,故A选项错误;若tan α=1,则sin α=cos α,又cos α=√3/2,因此sin α=√3/2,于是sin2α+cos2α= √3/2 2+ √3/2 2=3/2≠1,故B选项错误;只要α≠kπ+π/2(k∈Z),就有tan α=sinα/cosα,所以C选项错误;sin22 020°+cos2(-2 020°)=sin22 020°+cos22 020°=1,故D选项正确.

4.D　由于cos θ=4/5,且3π/2<θ<2π,

所以sin θ=-√(1"-" cos^2 θ)=-3/5,

所以tan θ=-3/4,故1/tanθ=-4/3.

5.D　∵α是第四象限角,∴sin α<0,由tan α=-5/12,得sinα/cosα=-5/12,∴cos α=-12/5sin α.由sin2α+cos2α=1,得sin2α+("-"  12/5 sinα)^2=1,∴169/25sin2α=1,∴sin α=±5/13.∵sin α<0,∴sin α=-5/13.

6.A　因为α是第三象限角,且sin α=-1/3,所以cos α=-√(1"-" sin^2 α)=-√(1"-" ("-"  1/3)^2 )=-(2√2)/3,所以tan α=sinα/cosα=1/(2√2)=√2/4,所以3cos α+4tan α=-2√2+√2=-√2.

7.答案　-(2√2)/3

解析　因为α是第四象限角,所以sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-(2√2)/3,所以cos(α+3π/2)=-cos α+π/2 =sin α=-(2√2)/3.

8.答案　3/4

解析　因为sin2θ+cos2θ=((k+1)/(k"-" 3))^2+((k"-" 1)/(k"-" 3))^2=1,所以k2+6k-7=0,所以k=1或k=-7.当k=1时,cos θ=0,不符合题意,舍去;当k=-7时,sin θ=3/5,cos θ=4/5,tan θ=3/4.

9.C　由sin θ-2cos θ=0得cos θ=1/2sin θ,因此sin2θ+〖(1/2 sinθ)〗^2=1,解得sin2θ=4/5,故sin2θ+1=4/5+1=9/5.

10.B　原式=cosα/("|" cosα"|" )+2sinα/("|" sinα"|" ),因为α为第三象限角,所以原式=cosα/("-" cosα)+2sinα/("-" sinα)=-1-2=-3.

11.B　由已知得(2sin^2 α)/cosα=3,所以2sin2α=3cos α,即2-2cos2α=3cos α,解得cos α=1/2或cos α=-2(舍去),又因为-π/2<α<0,所以sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-√3/2.

12.A　因为√((1"-" cosα)/(1+cosα))=√(("(" 1"-" cosα")" ^2)/(sin^2 α))=(1"-" cosα)/("|" sinα"|" )=(cosα"-" 1)/sinα,所以sin α<0,故2kπ-π<α<2kπ(k∈Z).

13.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.

14.D　原式=(sinx/cosx+cosx/sinx)•cos2x=(sin^2 x+cos^2 x)/sinxcosx•cos2x=1/sinxcosx•cos2x=cosx/sinx=1/tanx.

15.D　cos21°+cos22°+cos23°+…+cos290°=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+(cos23°+cos287°)+…+(cos244°+cos246°)+cos245°+cos290°=(cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+(cos23°+sin23°)+…+(cos244°+sin244°)+1/2+0=44+1/2+0=44.5.

16.答案　1

解析　(1+tan2375°)•cos2735°=(1+tan215°)•cos215°= 1+(sin^2 15"°" )/(cos^2 15"°" ) •cos215°=cos215°+sin215°=1.

17.答案　-1

解析　原式=(-sin α)•sin  α+cos α•(-cos α)=-sin2α-cos2α=-1.

能力提升练

1.A 2.B 3.D 4.B 5.AC

9.B 10.C 11.D 12.B 13.A

1.A　由已知得(sin α+cos α)2=2/3,即1+2sin αcos α=2/3,于是sin αcos α=-1/6.

2.B　因为sin θ+cos θ=4/3 (0<θ<π/4),所以两边平方可得1+2sin θcos θ=16/9,即sin θ•cos θ=7/18,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ•cos θ=1-7/9=2/9,又因为0<θ<π/4,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ=-√2/3.

3.D　由sin α+cos α=2/3得1+2sin αcos α=4/9,所以sin αcos α=-5/18<0,又因为α∈(0,π),所以α为钝角,故三角形为钝角三角形.

4.B　√(1"-" 2sin10"°" cos10"°" )/(sin10"°-" √(1"-" sin^2 10"°" ))

=√("(" cos10"°-" sin10"°" ")" ^2 )/(sin10"°-" √(cos^2 10"°" ))

=("|" cos10"°-" sin10"°|" )/(sin10"°-" cos10"°" )=(cos10"°-" sin10"°" )/(sin10"°-" cos10"°" )=-1.

5.AC　依题意有{■(sinα+cosα=(√3+1)/2 "," @sinαcosα=m/2 "," )┤

又sin2α+cos2α=1,解得{■(m=√3/2 "," @sinα=√3/2 "," @cosα=1/2)┤或{■(m=√3/2 "," @sinα=1/2 "," @cosα=√3/2 "," )┤所以sin αcos α=√3/4,所以α=π/3或π/6,故A、C正确,B、D错误.

6.答案　0

解析　(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×1/2=0,所以sin α-cos α=0.

7.答案　2

解析　因为sin α+cos α=√2,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=2,于是sin αcos α=1/2,故tan α+1/tanα=sinα/cosα+cosα/sinα=1/sinαcosα=2.

8.答案　-24/175

解析　因为sin α+cos α=1/5,所以1+2sin α•cos α=1/25,因此2sin αcos α=-24/25,所以1-2sin αcos α=49/25,即(cos α-sin α)2=49/25,又-π/2<α<0,所以cos α-sin α>0,所以cos α-sin α=7/5,

故(2sinαcosα+2sin^2 α)/(1"-" tanα)=(2sinα"(" cosα+sinα")" )/((cosα"-" sinα)/cosα)=(2sinαcosα"•(" cosα+sinα")" )/(cosα"-" sinα)=("-"  24/25×1/5)/(7/5)

=-24/175.

9.B　∵tan α=2,∴(2sinα"-" cosα)/(sinα+2cosα)=(2tanα"-" 1)/(tanα+2)=(2×2"-" 1)/(2+2)=3/4.

10.C　∵tan θ=-1/2,∴sin θcos θ=sinθcosθ/(sin^2 θ+cos^2 θ)=tanθ/(tan^2 θ+1)=("-"  1/2)/(("-"  1/2)^2+1)=-2/5.

11.D　由题意可知cos α≠0,分子、分母同除以cos α,得(tanα"-" 2)/(3tanα+5)=-5,解得tan α=-23/16.

12.B　解法一:因为cos α+2sin α=-√5,所以cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5,所以(cos^2 α+4sinαcosα+4sin^2 α)/(cos^2 α+sin^2 α)=5,于是(1+4tanα+4tan^2 α)/(1+tan^2 α)=5,所以tan2α-4tan α+4=0,即(tan α-2)2=0,故tan α=2.

解法二:联立cos α+2sin α=-√5,

cos2α+sin2α=1,消去cos α,得(-√5-2sin α)2+sin2α=1,化简得5sin2α+4√5sin α+4=0,所以(√5sin α+2)2=0,于是sin α=-(2√5)/5.所以cos α=-√5-2sin α=-√5/5.

故tan α=sinα/cosα=2.

13.A　由已知得(sin^2 α+4sinαcosα+4cos^2 α)/(sin^2 α+cos^2 α)=5/2,即(tan^2 α+4tanα+4)/(tan^2 α+1)=5/2,整理得3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-1/3.

14.答案　3/10

解析　由题意得{■(sinα+3cosα=0"," @sin^2 α+cos^2 α=1"," )┤解得{■(sin^2 α=9/10 "," @cos^2 α=1/10 "," )┤所以sin αcos α=-3/10,所以sin2α+2sin αcos α=9/10-6/10=3/10.

15.答案　5/7

解析　由1/(tanα"-" 1)=1得tan α=2,1/(1+sinαcosα)=(sin^2 α+cos^2 α)/(sin^2 α+cos^2 α+sinαcosα)=(tan^2 α+1)/(tan^2 α+tanα+1)=(2^2+1)/(2^2+2+1)=5/7.

16.证明　左边=(2sinxcosx"-(" sin^2 x+cos^2 x")" )/(cos^2 x"-" sin^2 x)

=-("(" sin^2 x"-" 2sinxcosx+cos^2 x")" )/(cos^2 x"-" sin^2 x)

=("(" sinx"-" cosx")" ^2)/(sin^2 x"-" cos^2 x)

=("(" sinx"-" cosx")" ^2)/("(" sinx"-" cosx")•(" sinx+cosx")" )

=(sinx"-" cosx)/(sinx+cosx)=(tanx"-" 1)/(tanx+1)=右边,故原等式成立.

17.证明　左边=sin θ 1+sinθ/cosθ +cos θ 1+cosθ/sinθ =sin θ+(sin^2 θ)/cosθ+cos θ+(cos^2 θ)/sinθ

=sin θ+(1"-" cos^2 θ)/cosθ+cos θ+(1"-" sin^2 θ)/sinθ

=sin θ+1/cosθ-cos θ+cos θ+1/sinθ-sin θ

=1/cosθ+1/sinθ=右边,故等式成立.