高中数学第六章 立体几何初步本章综合与测试复习练习题

第六章　立体几何初步

专题强化练12　折叠问题

一、选择题

1.()如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是　(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ACD⊥平面BCD

C.平面ABC⊥平面BCD

D.平面ACD⊥平面ABC

二、解答题

2.()如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P.

(1)求证:平面PDE⊥平面PAD;

(2)求二面角P-AD-E的大小.

3.()已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD;

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

4.()如图①,☉O的直径AB=4,点C,D为☉O上两点,且∠CAB=45°,F为的中点.将☉O沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图②).

(1)求证:OF∥平面ACD;

(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE⊥平面ACD?若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由.

专题强化练12　折叠问题

一、选择题

1.D　∵在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=45°,∴∠ADC=135°,

∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ADB=45°,

∴∠BDC=90°,∴BD⊥CD.

在四面体ABCD中,∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,∴CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,

又AB⊂平面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC.

二、解答题

2.解析　(1)证明:由AB⊥BE,得AP⊥PE,

同理,DP⊥PE.

又∵AP∩DP=P,∴PE⊥平面PAD.

又PE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAD.

(2)取AD的中点F,连接PF,EF,则PF⊥AD,EF⊥AD,

∴∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角.

又PE⊥平面PAD,∴PE⊥PF.

∵EF=AB=,PF==1,

∴cos∠PFE==.

∴二面角P-AD-E的大小为45°.

3.解析　(1)证明:在△AOC中,AC=a=2,易知AO=CO=,

∴AC2=AO2+CO2,∴AO⊥CO.

∵AO⊥BD,BD∩CO=O,∴AO⊥平面BCD.

(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO,∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.

在△AOC中,AO=CO=,易得AC=.

如图,过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,

∴BD⊥平面AOC.

∵AH⊂平面AOC,∴BD⊥AH.

又∵CO⊥AH,CO∩BD=O,

∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC.

过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK.

∵AK∩AH=A,∴BC⊥平面AHK.

∵HK⊂平面AHK,∴BC⊥HK.

∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在Rt△AHO中,易得AH=,OH=,

CH=.

在Rt△CKH中,易得HK=CH=.

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

故二面角A-BC-D的正切值为.

4.解析　(1)证明:连接CO,由∠CAB=45°,知∠COB=90°,

因为点F为的中点,

所以∠FOB=45°,因此OF∥AC,

又AC⊂平面ACD,OF⊄平面ACD,

所以OF∥平面ACD.

(2)存在,E为AD的中点.理由如下:

连接OD,OE,CE.

因为OA=OD,所以OE⊥AD.

又OC⊥AB,且两半圆所在平面互相垂直,AB为两平面的交线,.

所以OC⊥平面OAD.

又AD⊂平面OAD,所以OC⊥AD,

由于OE,OC是平面OCE内的两条相交直线,所以AD⊥平面OCE.

又AD⊂平面ACD,

所以平面OCE⊥平面ACD.