高中北师大版 (2019)第五章 复数1 复数的概念及其几何意义本节综合与测试课后作业题

第五章　复数

§1　复数的概念及其几何意义

基础过关练

题组一　复数的有关概念

1.(2020黑龙江哈尔滨六中高三第二次模拟)复数z=3-2i的虚部为(　　)

A.2 B.-2 C.-2i D.2i

2.(2020广东实验中学高二下期中)若复数z=a2-1+(a+1)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值是(　　)

A.-1或1 B.1 C.-1 D.0

3.已知复数z=+(a2-1)i是实数,则实数a的值为(　　)

A.1或-1 B.1

C.-1 D.0或-1

4.复数(1+)i的实部为　　　　. 

5.复数z=cos+θ+sin+θi,且θ∈-,,若z是实数,则θ的值为　　　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　　　. 

6.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是　　　　. 

7.(2020重庆七校联盟高二上联考)求实数m为何值时,复数z=+(m2-2m-8)i是(1)实数;(2)纯虚数.

题组二　复数相等

8.设复数z=2+ai,若z=,则实数a=(　　)

A.0 B.2 C.-1 D.-2

9.(2020安徽定远育才实验学校高二下月考)已知复数z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,m为实数,若z1=z2,则m的值为(　　)

A.4 B.-1 C.6 D.0

10.(2020江苏泰州高三下学期调研测试)若实数x、y满足x+yi=-1+(x-y)i(i是虚数单位),则xy=　　　　. 

11.复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y-8+ilog2x=(1-log2y)i,求z.

题组三　复数的几何意义

12.若复数z=3-i,则z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

13.(2020北京房山高三二模)复数z=2+i,其中i是虚数单位,则|z|=(　　)

A. B.1 C.3 D.5

14.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)

A.1或3 B.1 C.3 D.2

15.(2020四川成都高三第一次诊断性检测)若复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(　　)

A.-3i B.-3+i C.3+i D.3-i

16.(2019陕西西安高三第一次模拟考试)已知复数z1=(n-1)+(2m+1)i与z2=2+(n-2)i互为共轭复数,其中m,n∈R,i为虚数单位,则|z1|=(　　)

A.1 B. C. D.

17.(多选)下列命题中正确的是(　　)

A.复数的模是非负实数

B.复数等于零的充要条件是它的模等于零

C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件

D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|

18.在复平面内画出复数z1=1-i,z2=-+i,z3=-2,z4=2+2i对应的向量,并求出各复数的模.

能力提升练

题组一　复数相等的应用

1.(2020河南郑州第一中学高二下学期期中,)若M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数m=(　　)

A.4 B.-1或4 C.-1或6 D.-1

2.(2020北京人大附中高二下期中,)若i是虚数单位,-2a+1-(a2-a-6)i=|-3-4i|,则实数a=(　　)

A.-1 B.-2 C.2 D.3

3.(2020浙江杭州学军中学高二下期末,)已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)和z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ∈R),若z1=z2,试求λ的取值范围.

题组二　复数的几何意义

4.(2020云南昆明高三下学期月考,)在复平面内,复数z=1+i的共轭复数对应的向量为(　　)

5.(2020天津南开中学高二下期中,)已知复平面内O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(　　)

A.-5+5i B.5-5i

C.5+5i D.-5-5i

6.(2020江西南昌二中高三月考,)若复数z=-i(a∈R)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则|z|=(　　)

A.2 B. C.1 D.2

7.(多选)(2020山东省实验中学高二期末,)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是(　　)

A.z对应的点在第一象限 B.z一定是虚数

C.z对应的点在实轴上方 D.z一定是实数

8.(2020辽宁辽河油田二中高二上学期期末,)关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第　　　　象限. 

9.(2020河北石家庄高二联考,)若复数z的模不大于1,且z的虚部的绝对值不小于,则复平面内复数z的对应点构成图形的面积是　　　　. 

10.(2020天津第一中学高二期末,)若t∈R,t≠-1,t≠0,则复数z=+i的模的取值范围是　　　　. 

11.(2020吉林辽源一中高二考试,)已知复数z=3a+(3a-2)i,i为虚数单位,a∈R.

(1)若|z|=,求实数a的值;

(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限,求实数a的取值范围.

12.(2020安徽合肥一中高二期末,)已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R,均有|z1|>|z2|成立,求实数a的取值范围.

答案全解全析

第五章　复数

§1　复数的概念及其几何意义

基础过关练

1.B 2.B 3.C 8.A 9.B

12.D 13.A 14.A 15.B 16.D

17.ABC    

1.B　因为z=3-2i,所以其虚部为-2,故选B.

2.B　因为复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,

所以实部为0,虚部不为0,即{■(a^2 "-" 1=0"," @a+1≠0"," )┤解得a=1.

3.C　因为复数z=1/(a"-" 1)+(a2-1)i是实数,且a为实数,所以{■(a^2 "-" 1=0"," @a"-" 1≠0"," )┤解得a=-1.

4.答案　0

解析　复数(1+√2)i=0+(1+√2)i,所以实部为0.

5.答案　±π/2;0

解析　z=cos π/2+θ +sin π/2+θ i

=-sin θ+icos θ.

当z是实数时,cos θ=0,

∵θ∈ -π/2,π/2 ,∴θ=±π/2;

当z为纯虚数时,{■("-" sinθ=0"," @cosθ≠0"," )┤

又θ∈ -π/2,π/2 ,∴θ=0.

6.答案　-2

解析　由题意知{■(log_2 "(" x^2+2x+1")" =0"," @log_2 "(" x^2 "-" 3x"-" 2")" >1"," )┤

解得{■(x=0"或" x="-" 2"," @x<"-" 1"或" x>4"," )┤即x=-2.

7.解析　(1)当{■(m"-" 4≠0"," @m^2 "-" 2m"-" 8=0"," )┤即m=-2时,z为实数.

(2)当{■((m^2 "-" m"-" 6)/(m"-" 4)=0"," @m^2 "-" 2m"-" 8≠0"," )┤即m=3时,z是纯虚数.

8.A　因为z=¯z,所以2+ai=2-ai,解得a=0.

故选A.

9.B　由题意得,{■(m^2 "-" 3m=4"," @m^2=5m+6"," )┤解得m=-1,故选B.

10.答案　1/2

解析　∵x+yi=-1+(x-y)i,∴{■(x="-" 1"," @y=x"-" y"," )┤

解得{■(x="-" 1"," @y="-"  1/2 "," )┤∴xy=1/2.

11.解析　∵2x+y-8+ilog2x=(1-log2y)i,

∴{■(2^(x+y) "-" 8=0"," @log_2 x=1"-" log_2 y"," )┤

∴{■(x+y=3"," @xy=2"," )┤解得{■(x=1"," @y=2)┤或{■(x=2"," @y=1"." )┤

∴z=1+2i或z=2+i.

12.D　复数z在复平面内对应的点是(3,-1),位于第四象限,故选D.

13.A　|z|=√(2^2+1^2 )=√5,故选A.

14.A　依题意可得√("(" m"-" 3")" ^2+"(" m"-" 1")" ^2 )=2,解得m=1或m=3,故选A.

15.B　复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=-3+i.故选B.

16.D　由题意得,{■(n"-" 1=2"," @2m+1+n"-" 2=0"," )┤

解得{■(m="-" 1"," @n=3"," )┤则z1=2-i,|z1|=√(4+1)=√5.

故选D.

17.ABC　根据复数的模的定义可知A,B正确;若两个复数相等,则它们的模一定相等,但模相等的两个复数不一定相等,所以两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件,C正确;复数不能比较大小,但复数的模可以比较大小,所以D错.故选ABC.

18.解析　如图,复数z1,z2,z3,z4分别对应复平面内的点Z1(1,-1),Z2("-"  1/2 ","  √3/2),Z3(-2,0),Z4(2,2),对应的向量分别为(OZ_1 ) ⃗,(OZ_2 ) ⃗,(OZ_3 ) ⃗,(OZ_4 ) ⃗.

各复数的模分别为

|z1|=√(1^2+"(-" 1")" ^2 )=√2,

|z2|=√(("-"  1/2)^2+(√3/2)^2 )=1,

|z3|=√("(-" 2")" ^2 )=2,

|z4|=√(2^2+2^2 )=2√2.

能力提升练

1.D 2.B 4.C 5.B 6.B

7.BC    

1.D　因为M∩N={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3,

所以{■(m^2 "-" 3m"-" 1=3"," @m^2 "-" 5m"-" 6=0"," )┤解得m=-1,故选D.

2.B　由于-2a+1-(a2-a-6)i=|-3-4i|=√("(-" 3")" ^2+"(-" 4")" ^2 )=5,

所以{■("-" 2a+1=5"," @a^2 "-" a"-" 6=0"," )┤解得a=-2.故选B.

3.解析　∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos θ+(λ+3sin θ)i,∴{■(m=2cosθ"," @4"-" m^2=λ+3sinθ"," )┤

消去m得,4-4cos2θ=λ+3sin θ,

∴λ=4sin2θ-3sin θ=4 sin θ-3/8 2-9/16,

∵-1≤sin θ≤1,

∴当sin θ=3/8时,λmin=-9/16;

当sin θ=-1时,λmax=7.

∴λ的取值范围为-9/16≤λ≤7.

4.C　复数z=1+i的共轭复数为¯z=1-i,在复平面内对应的点为(1,-1),故复数z=1+i的共轭复数对应的向量(OZ"'" ) ⃗=(1,-1),故选C.

5.B　向量(OA) ⃗,(OB) ⃗对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量(OA) ⃗=(2,-3),(OB) ⃗=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量(BA) ⃗=(OA) ⃗-(OB) ⃗=(5,-5),根据向量、复数与复平面内的点一一对应,可得向量(BA) ⃗对应的复数是5-5i,故选B.

6.B　复数z=a/2-i(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为 a/2,-1 ,由复数z=a/2-i在复平面内对应的点在直线x+y=0上,可得a/2-1=0⇒a=2,所以z=1-i,|z|=√(1+1)=√2,故选B.

7.BC　∵2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,

∴排除A、D,故选BC.

8.答案　二

解析　∵mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),

∴{■(m<0"," @"-" 1+2=n/m "," @"-" 1×2=p/m "," )┤∴{■(m<0"," @n<0"," @p>0"," )┤

∴复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.

9.答案　2π/3-√3/2

解析　设z=x+yi(x,y∈R),则√(x^2+y^2 )≤1,|y|≥1/2,如图,易知∠AOB=2π/3.

因此复平面内复数z的对应点组成的图形为两个弓形,如阴影部分所示,

所以其面积为2× 1/2×2π/3×12-1/2×1×1×sin 2π/3 =2π/3-√3/2.

10.答案　[√2,+∞)

解析　|z|2= t/(1+t) 2+ (1+t)/t 2≥2•t/(1+t)•(1+t)/t=2 当且仅当t/(1+t)=(1+t)/t,即t=-1/2时,等号成立 ,∴|z|≥√2.

11.解析　(1)由已知得,

|z|=√("(" 3a")" ^2+"(" 3a"-" 2")" ^2 )=√10,解得a=1或a=-1/3.

(2)复数z在复平面内对应的点的坐标为(3a,3a-2),位于第三象限,所以{■(3a<0"," @3a"-" 2<0"," )┤解得a<0.所以a的取值范围是(-∞,0).

12.解析　∵|z1|=√(x^4+x^2+1),|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴√(x^4+x^2+1)>|x2+a|,

化简得(1-2a)x2+1-a2>0.

∴对任意的x∈R,均有(1-2a)x2+1-a2>0成立.

易知当1-2a<0时,不满足题意.

当1-2a=0,即a=1/2时,1-1/4>0恒成立.

当1-2a>0,即a<1/2时,要使不等式恒成立,只需1-a2>0,故-1<a<1/2.

综上,实数a的取值范围是 -1,1/2 .