高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数本章综合与测试巩固练习

第五章　复数

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对复数的有关概念把握不准确致错

1.(2020北京房山高三上学期期末,)已知复数z=,则Im z=(　　)

A. B. C.- D.-

2.(2019北京师范大学附属中学高二下学期期中,)设z=,则Re z=　　　　.　易错　 

3.(2020福建三明一中高二上月考,)复数z=(m2+4m+3)+(m+3)i,m∈R为纯虚数,则m=　　　　. 

易错点2　对复数的几何意义理解不清致错

4.()设复数z=(m∈R)在复平面内对应的点为Z.

(1)若点Z在虚轴上,求m的值;

(2)若点Z位于第一象限,求m的取值范围.

5.()设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=4,|z1+z2|=4,求|z1-z2|.

易错点3　复数计算时出现错误

6.(2020湖北鄂州鄂南高中高三上学期月考,)设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则=(　　)

A.-i B.2i C.-1 D.1

7.()计算:=　　　　　. 

8.()计算:-+i÷2cos +isin =　　　　. 

易错点4　应用复数相等的条件时出错

9.(2020北京朝阳高三上学期期末,)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.

10.()已知实数x和复数m满足(4+3i)x2+mx+4-3i=0,求|m|的最小值.

　易错　

易错点5　对模的理解不透出错

11.()若复数z满足z(-1+2i)=|1+3i|2(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

12.(2019宁夏平罗中学高二下学期月考,)若复数z满足|z+3+4i|=2,则|z|的最大值是(　　)

A.3 B.5 C.7 D.9

思想方法练

一、分类讨论思想在复数中的应用

1.()设a>0,在C内解方程z2+2|z|=a.

2.(2019上海延安中学高三上学期月考,)已知关于z的方程z2+5z+m=0的两根分别为z1、z2,且满足|z1-z2|=3,求实数m的值.

二、函数与方程思想在复数中的应用

3.()已知复数z满足|z|=,则的最大值是　　　　. 

4.()设复数z满足4z+=5+3i,ω=sin θ+icos θ(θ∈R).

(1)求复数z;

(2)设复数z和ω在复平面内对应的点分别是Z和W,求|ZW|的取值范围.

三、整体思想在复数中的应用

5.()已知复数z=(i为虚数单位),则z·=　　　　. 

6.()已知复平面内的圆M:|z+1|=1,若为纯虚数,求复数z.

四、数形结合思想在复数中的应用

7.()若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大值、最小值.

8.()在复平面内,A,B,C对应的复数分别为z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.

答案全解全析

第五章　复数

 本章复习提升

易混易错练

1.B 6.A 11.C 12.C 

1.B　z=i/(√2+i)=("(" √2 "-" i")" i)/("(" √2+i")(" √2 "-" i")" )=1/3+√2/3i,故Im z=√2/3.故选B.

2.答案　1

解析　∵z=(3+i)/i=1-3i,∴Re z=1.

易错警示

很多同学知道复数的实部和虚部,但对复数实部与虚部的符号表示不太关心,造成无法解答.复数z的实部记作Re z,虚部记作Im z.

3.答案　-1

解析　因为复数z=(m2+4m+3)+(m+3)i,m∈R为纯虚数,

所以{■(m^2+4m+3=0"," @m+3≠0"," )┤所以m=-1.

4.解析　z=(1"-" 2i)/(m"-" i)=("(" 1"-" 2i")(" m+i")" )/("(" m"-" i")(" m+i")" )=(m+2)/(m^2+1)+(1"-" 2m)/(m^2+1)i.

(1)∵点Z在虚轴上,∴(m+2)/(m^2+1)=0,∴m=-2.

(2)∵点Z位于第一象限,∴m+2>0且1-2m>0,解得-2<m<1/2.

故实数m的取值范围是 -2,1/2 .

5.解析　设复数z1和z2在复平面内对应向量(OA) ⃗与(OB) ⃗,画出如图所示的平行四边形.

依题意,有|(OA) ⃗|=4,|(OB) ⃗|=4,|(OC) ⃗|=4√3,

所以cos∠OBC=(4^2+4^2 "-(" 4√3 ")" ^2)/(2×4×4)=-1/2,

因为∠AOB+∠OBC=180°,

所以cos∠AOB=1/2,

所以AB2=42+42-2×4×4cos∠AOB=16,

所以AB=4,即|z1-z2|=4.

6.A　依题意得¯z=1-i,故(z"•" ¯z)/(z"-" ¯z)=(1^2 "-" i^2)/2i=1/i=("-" i)/(i"•(-" i")" )=-i,故选A.

7.答案　-1/2+1/2i

解析　(4+5i)/("(" 5"-" 4i")(" 1"-" i")" )=("(" 5"-" 4i")" i)/("(" 5"-" 4i")(" 1"-" i")" )=i/(1"-" i)=(i"(" 1+i")" )/("(" 1"-" i")(" 1+i")" )=(i"-" 1)/2=-1/2+1/2i.

8.答案　√2/4i

解析　解法一: -1/2+1/2i ÷ 2 cos π/4+isin π/4  = -1/2+1/2i ÷(√2+√2i)

=-√2/4×(1"-" i)/(1+i)=√2/4i.

解法二:("-"  1/2+1/2 i)÷ 2 cos π/4+isin π/4  =(√2/2(cos 3π/4+isin 3π/4))/(2(cos π/4+isin π/4))

=√2/4 cosπ/2+isinπ/2 =√2/4i.

9.解析　设方程的实数根为m,

则3m2-a/2m-1=(10-m-2m2)i,

根据复数相等的定义,

得{■(3m^2 "-"  a/2 m"-" 1=0"," @10"-" m"-" 2m^2=0"," )┤

解得{■(m=2"," @a=11)┤或{■(m="-"  5/2 "," @a="-"  71/5 "," )┤

所以当实数a=11时,实数根为2;当实数a=-71/5时,实数根为-5/2.

10.解析　设m=a+bi(a,b∈R),

∵(4+3i)x2+(a+bi)x+4-3i=0,

∴(4x2+ax+4)+(3x2+bx-3)i=0,

∴{■(4x^2+ax+4=0"," @3x^2+bx"-" 3=0"," )┤

∴a=-(4"(" x^2+1")" )/x,b=-(3"(" x^2 "-" 1")" )/x,

∴|m|=√(["-"  (4"(" x^2+1")" )/x] ^2+["-"  (3"(" x^2 "-" 1")" )/x] ^2 )

=√(25x^2+25/x^2 +14)≥√(2√(25x^2 "•"  25/x^2 )+14)

=√64=8,

当且仅当x2=1时,“=”成立.

即|m|的最小值为8.

易错警示

本题可能会有同学把原方程整理成(4x2+mx+4)+(3x2-3)i=0,再利用两复数相等求解,这是错误的,原因是利用a+bi=c+di⇔a=c,b=d时,需满足条件a,b,c,d∈R.

11.C　因为z=("|" 1+3i"|" ^2)/("-" 1+2i)=(10"(-" 1"-" 2i")" )/("(-" 1+2i")(-" 1"-" 2i")" )=-(10"(" 1+2i")" )/5=-2-4i,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限,故选C.

12.C　|z+3+4i|=2表示复数z对应的点在以C(-3,-4)为圆心,2为半径的圆上,|z|为圆上的点到坐标原点O的距离,其最大值为|OC|+2=7.故选C.

思想方法练

1.解析　∵a,|z|∈R,

∴z2=a-2|z|∈R,

∴z为实数或纯虚数.

①若z为实数,则原方程转化为|z|2+2|z|-a=0,所以z=±(-1+√(1+a)).

②若z为纯虚数,设z=bi(b≠0,b∈R),

于是方程转化为|b|2-2|b|+a=0.

(i)当0<a≤1时,解得b=±(1±√(1"-" a));

(ii)当a>1时,方程无解.

综上,0<a≤1时,z=±(-1+√(1+a))或z=±(1±√(1"-" a))i;a>1时,z=±(-1+√(1+a)).

2.解析　对于方程z2+5z+m=0,Δ=25-4m,

若m≤25/4,则方程z2+5z+m=0的两根为实数,且|z1-z2|=√(25"-" 4m)=3,解得m=4.

若m>25/4,则方程z2+5z+m=0的两根为虚数,该方程可化简为(z+5/2)^2=25/4-m,

故两根分别为z1=-5/2+√(m"-"  25/4)i,z2=-5/2-√(m"-"  25/4)i,

所以|z1-z2|= 2√(m"-"  25/4)i =√(4m"-" 25)=3,解得m=17/2.

3.答案　1

解析　设z=x+yi(x,y∈R).

∵|z|=1/2,∴x2+y2=1/4,

∴|z^2 "-" z+1/4|=|(z"-"  1/2)^2 |=|z"-"  1/2|^2

=(x"-"  1/2)^2+y2=1/2-x.

∵-1/2≤x≤1/2,

∴当x=-1/2时,|z^2 "-" z+1/4|有最大值,为1.

4.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则¯z=a-bi,代入4z+¯z=5√3+3i,化简得5a+3bi=5√3+3i,

由复数相等的定义可得{■(5a=5√3 "," @3b=3"," )┤

解得{■(a=√3 "," @b=1"," )┤∴z=√3+i.

(2)∵z=√3+i和ω=sin θ+icos θ在复平面内对应的点分别为Z(√3,1)和W(sin θ,cos θ),

∴|ZW|2=(√3-sin θ)2+(1-cos θ)2

=-2√3sin θ-2cos θ+5=-4sin(θ+π/6)+5,

∵sin(θ+π/6)∈[-1,1],

∴-4sin(θ+π/6)+5∈[1,9].

∴|ZW|∈[1,3].

5.答案　1

解析　因为z=2i/(1+√3 i),两边取共轭复数得¯z=("-" 2i)/(1"-" √3 i),

所以z•¯z=2i/(1+√3 i)•("-" 2i)/(1"-" √3 i)=4/(1+3)=1.

6.解析　设(z+1)/(z"-" 1)=ai(a∈R,a≠0),

则z=-(1+ai)/(1"-" ai),

由|z+1|= 1-(1+ai)/(1"-" ai) = ("-" 2ai)/(1"-" ai) =(2"|" a"|" )/√(1+"(-" a")" ^2 )=1,解得a=±√3/3,所以z=-(1+ai)/(1"-" ai)=-1/2±√3/2i.

7.解析　由|z-2|≤1,知复数z在复平面内对应的点在以(2,0)为圆心,1为半径的圆上及其内部,而|z|表示复数z对应的点到原点的距离,显然1≤|z|≤3.

所以|z|max=3,|z|min=1.

8. 解析　如图所示:

(AC) ⃗对应复数z3-z1,(AB) ⃗对应复数z2-z1,(AD) ⃗对应复数z4-z1.由向量加法的几何意义,得(AD) ⃗=(AB) ⃗+(AC) ⃗,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).

∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.

∴AD的长为|(AD) ⃗|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2√10.