高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数本章综合与测试随堂练习题

第五章　复数

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.复数z=(1-mi)2(i为虚数单位)为纯虚数,则实数m=(　　)

A.±1 B.-1 C.1 D.0

2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=(　　)

A.2

B.3

C.2

D.3

3.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1·z2=(　　)

A.-i B.+i

C.+i D.-i

4.若a∈R,则“复数z=在复平面内对应的点在第三象限”是“a>0”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(2,-1),(0,-1),则+|z2|=(　　)

A.2+2i B.2-2i C.-2+i D.-2-i

6.已知i为虚数单位,a∈R,若复数z=a+(1-a)i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限,且z·=5,则z=(　　)

A.-1+2i B.-1-2i C.2-i D.-2+3i

7.若2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位,p,q∈R),则q的值为(　　)

A.-5 B.5 C.-3 D.3

8.已知z∈C,且|z-i|=1,i为虚数单位,则|z-3-5i|的最大值是(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.在复平面内,给出以下四个说法,其中正确的是(　　)

A.实轴上的点表示的数均为实数

B.虚轴上的点表示的数均为纯虚数

C.互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数

D.已知复数z满足(1+i)z=3-i,则z在复平面内所对应的点位于第四象限

10.已知z,z1,z2∈C,则下列命题为假命题的是(　　)

A.若z2≤1,则-1≤z≤1

B.若z1·z2=0,则z1=0或z2=0

C.若|z|=1,则z=±1或z=±i

D.若z1-z2>0,则z1>z2

11.复数z满足z2=i,则下列四个说法中,正确的是(　　)

A.z有且只有一个

B.z只能为虚数

C.所有满足条件的z的和等于0

D.z的模等于1

12.已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=|a|+|b|,D(z1,z2)=|z1-z2|,则下列命题正确的是(　　)

A.对任意z∈C,都有D(z)>0

B.若是复数z的共轭复数,则D(z)=D()恒成立

C.若D(z1)=D(z2),则z1=z2

D.对任意z1,z2,z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=　　　　;z·=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

14.若复数z满足(2-i)z=(1+2i)2,其中i为虚数单位,则|z|=　　　　. 

15.定义一种运算如下:=ad-bc,则复数的共轭复数是　　　　. 

16.若复数z满足|z|=2,则|z+3|+|z-3|的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)实数x取什么值时,复数z=(x2-2x-3)+(x2+3x+2)i(i为虚数单位)

(1)是实数?

(2)对应的点位于复平面内的第二象限?

18.(本小题满分12分)若复数z满足方程|z|2+(z+)i=1-i(i为虚数单位),求复数z.

19.(本小题满分12分)已知复数z1=(2x+1)+i,z2=y+(2-y)i.

(1)若z1=z2,且x,y∈R,求z1和|z1|;

(2)若z1=z2,且x∈R,y为纯虚数,求z1.

20.(本小题满分12分)已知虚数z满足|2z+1-i|=|z+2-2i|(i为虚数单位).

(1)求|z|的值;

(2)若mz+∈R,求实数m的值.

21.(本小题满分12分)已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0.

(1)若方程的一个根为a+i,a∈R,求实数m的值;

(2)若方程的两根为x1、x2,且|x1|+|x2|=2,求实数m的值.

22.(本小题满分12分)已知复数z=-i,w=+i,复数,z2w3在复平面内所对应的点分别为P,Q,求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).

答案全解全析

第五章　复数

 本章达标检测

1.A 2.A 3.C 4.C 5.A

6.A 7.B 8.C 9.ACD 10.ACD

11.BCD 12.BD   

一、单项选择题

1.A　复数z=(1-mi)2=m2i2-2mi+1=1-m2-2mi,

因为复数z为纯虚数,

所以1-m2=0且-2m≠0,解得m=±1,

故选A.

2.A　由题图可知,z1=-2-i,z2=i,则z1+z2=-2,∴|z1+z2|=2,故选A.

3.C　z1•z2=(cos 23°+isin 23°)•(cos 37°+isin 37°)=cos 60°+isin 60°=1/2+√3/2i.

故选C.

4.C　z=(3"-" 2ai)/i=(3i+2a)/("-" 1)=-2a-3i,

∵复数z在复平面内对应的点在第三象限,∴-2a<0⇔a>0,

∴“复数z=(3"-" 2ai)/i在复平面内对应的点在第三象限”是“a>0”的充要条件,

故选C.

5.A　由题意可得z1=2-i,z2=-i,

则z_1/z_2 =(2"-" i)/("-" i)=(i"(" 2"-" i")" )/("-" i^2 )=1+2i,|z2|=1,

据此可得z_1/z_2 +|z2|=2+2i.

故选A.

6.A　由z•¯z=5可得a2+(1-a)2=5,解得a=-1或a=2,所以z=-1+2i或z=2-i,

因为¯z在复平面内对应的点位于第三象限,所以z在复平面内对应的点位于第二象限,所以z=-1+2i.故选A.

7.B　∵2-i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,

∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根,

则q=(2-i)(2+i)=4+1=5.

故选B.

8.C　根据复数模的几何意义可知,

满足|z-i|=1的点的集合是以点(0,1)为圆心,1为半径的圆,

则|z-3-5i|表示圆上的点到点(3,5)的距离,

故|z-3-5i|的最大值是√("(" 5"-" 1")" ^2+"(" 3"-" 0")" ^2 )+1=5+1=6.

故选C.

二、多项选择题

9.ACD　对于A,由复数的几何意义知,实轴上的点表示的数均为实数,A正确;

对于B,原点在虚轴上,原点代表的数为零,不是纯虚数,B错误;

对于C,互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数,C正确;

对于D,由(1+i)z=3-i,得z=(3"-" i)/(1+i)=("(" 3"-" i")(" 1"-" i")" )/("(" 1+i")(" 1"-" i")" )=(2"-" 4i)/2=1-2i,所以复数z在复平面内所对应的点位于第四象限,D正确.故选ACD.

10.ACD　选项A:z2≤1,取z=i,满足条件,但虚数不能比较大小,故为假命题;

选项B:z1•z2=0,∴|z1•z2|=|z1||z2|=0,得|z1|=0或|z2|=0至少有一个成立,∴z1=0或z2=0,故为真命题;

选项C:满足|z|=1的复数z有无数个,故为假命题;

选项D:z1-z2>0,取z1=2+i,z2=1+i,满足条件,但z1,z2不能比较大小,故为假命题.故选ACD.

11.BCD　设z=a+bi(a,b∈R),

则z2=(a2-b2)+2abi,

由z2=i可得{■(a^2 "-" b^2=0"," @2ab=1"," )┤

解得{■(a=√2/2 "," @b=√2/2)┤或{■(a="-"  √2/2 "," @b="-"  √2/2 "," )┤

即z=√2/2+√2/2i或z=-√2/2-√2/2i.

结合选项可知B、C、D正确,A错误.故选BCD.

12.BD　对于A,当z=0∈C时,D(z)=0+0=0,所以A为假命题.

对于B,易知¯z=a-bi,则D(z)=D(¯z)=|a|+|b|,所以B为真命题.

对于C,由于D(z)=D(¯z)成立,且z和¯z不一定相等,所以C为假命题.

对于D,依题意D(z1,z3)=|z1-z3|,D(z1,z2)=|z1-z2|,D(z2,z3)=|z2-z3|,根据复数减法的模的几何意义可知,|z1-z3|表示复数z1和z3对应两点间的距离,|z1-z2|表示复数z1和z2对应两点间的距离,|z2-z3|表示复数z2和z3对应两点间的距离.根据三角形两边之和大于第三边可知|z1-z2|+|z2-z3|>|z1-z3|,当z2对应的点在z1和z3对应的两点连成的线段上时,|z1-z2|+|z2-z3|=|z1-z3|,所以D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)成立.所以D为真命题.

三、填空题

13.答案　√17;16

解析　∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴{■(a^2 "-" 4=0"," @a"-" 2≠0"," )┤解得a=-2,∴z=-4i,∴¯z=4i,∴|z+1|=|1-4i|=√17,z•¯z=16.

14.答案　√5

解析　由(2-i)z=(1+2i)2得,

z=("(" 1+2i")" ^2)/(2"-" i)=("-" 3+4i)/(2"-" i)=("(-" 3+4i")(" 2+i")" )/("(" 2"-" i")(" 2+i")" )

=("-" 10+5i)/5=-2+i,∴|z|=√5.

15.答案　-1-3i

解析　由题得 1+i　-1

 2 3i =3(1+i)i+2=3i-3+2=-1+3i,所以它的共轭复数为-1-3i.

16.答案　[6,2√13]

解析　由于复数z满足|z|=2,故复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上.设圆上任意一点的坐标为(2cos θ,2sin θ),θ∈[0,2π).

|z+3|+|z-3|表示圆上的点到(-3,0)和(3,0)两点的距离之和,即√("(" 2cosθ+3")" ^2+"(" 2sinθ")" ^2 )+√("(" 2cosθ"-" 3")" ^2+"(" 2sinθ")" ^2 )=√(13+12cosθ)+√(13"-" 12cosθ),√(13+12cosθ)+√(13"-" 12cosθ)平方得26+2√(169"-" 144cos^2 θ),由于cos2θ∈[0,1],所以169-144cos2θ∈[25,169],所以√(169"-" 144cos^2 θ)∈[5,13],所以26+2√(169"-" 144cos^2 θ)∈[36,52],所以√(13"-" 12cosθ)+√(13+12cosθ)∈[6,2√13].

四、解答题

17.解析　(1)若z为实数,则x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2.(5分)

(2)若z对应的点位于复平面内的第二象限,则{■(x^2 "-" 2x"-" 3<0"," @x^2+3x+2>0"," )┤解得-1<x<3.(10分)

18.解析　设 z=a+bi(a,b∈R),

由|z|2+(z+¯z)i=1-i,得a2+b2+2ai=1-i,(4分)

∴{■(a^2+b^2=1"," @2a="-" 1"," )┤ 得{■(a="-"  1/2 "," @b="-"  √3/2)┤或 {■(a="-"  1/2 "," @b=√3/2 "," )┤(10分)

故z=-1/2-√3/2i或z=-1/2+√3/2i.(12分)

19.解析　(1)由题意得(2x+1)+i=y+(2-y)i,x,y∈R,

∴{■(2x+1=y"," @1=2"-" y"," )┤得{■(x=0"," @y=1"," )┤(4分)

∴z1=1+i,|z1|=√2.(6分)

(2)由y为纯虚数,设y=bi(b∈R,且b≠0),

则z2=bi+(2-bi)i=b+(b+2)i,∵z1=z2,

∴{■(2x+1=b"," @1=b+2"," )┤得{■(x="-" 1"," @b="-" 1"," )┤(10分)

∴z1=-1+i.(12分)

20.解析　(1)由z为虚数,可设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),

则|2a+2bi+1-i|=|a+bi+2-2i|,即|(2a+1)+(2b-1)i|=|(a+2)+(b-2)i|,

∴(2a+1)2+(2b-1)2=(a+2)2+(b-2)2,

整理可得a2+b2=2.

∴|z|=√(a^2+b^2 )=√2.(6分)

(2)由(1)知mz+1/z=am+bmi+1/(a+bi)=am+bmi+(a"-" bi)/(a^2+b^2 )=am+a/2+(bm"-"  b/2)i,

∵mz+1/z∈R,∴bm-b/2=0,

又b≠0,∴m=1/2.(12分)

21.解析　(1)根据题意得,另一根为a-i,

根据根与系数的关系,知2a=2(m-1),a2+1=(m^2+1)/2,

∴m=3或m=1.(5分)

(2)对于方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0,当Δ≥0,即m∈(-∞,2-√3]∪[2+√3,+∞)时,

由x1x2=(m^2+1)/2>0,可知两根同号,

从而|x1|+|x2|=|x1+x2|=2,求得 2(m-1)=±2,解得m=0或m=2(舍).(8分)

当Δ<0时,可得m∈(2-√3,2+√3),此时方程有两个共轭复数根,

故|x1|=|x2|,且由|x1|+|x2|=2可得|x1|=1,

进而1=|x1|2=x1x2=(m^2+1)/2,解得m=1或m=-1(舍).(11分)

综上所述,m=0或m=1.(12分)

22.证明　∵z=√3/2-1/2i=cos("-"  π/6)+isin("-"  π/6),

w=√2/2+√2/2i=cosπ/4+isinπ/4,(2分)

∴zw= cos("-"  π/6)+isin("-"  π/6)  cosπ/4+isinπ/4

=cos("-"  π/6+π/4)+isin("-"  π/6+π/4)

=cosπ/12+isinπ/12,(4分)

∴¯zw=cosπ/12-isinπ/12

=cos("-"  π/12)+isin("-"  π/12),(6分)

z2w3=

[cos("-"  π/3)+isin("-"  π/3) ](cos 3π/4+isin 3π/4)

=cos("-"  π/3+3π/4)+isin("-"  π/3+3π/4)

=cos5π/12+isin5π/12.(8分)

∴(OP) ⃗,(OQ) ⃗的夹角为5π/12-("-"  π/12)=π/2.

∴(OP) ⃗⊥(OQ) ⃗.(10分)

又|OP|=|¯zw|=1,|OQ|=|z2w3|=1,

∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ为等腰直角三角形.(12分)