高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步本章综合与测试课后练习题

第六章　立体几何初步

专题强化练13　空间角的有关计算

一、选择题

1.(2019河北衡水中学五调,)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,且CC1⊥底面ABC,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角为(　　)

A.90° B.45°

C.30° D.60°

2.()在空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为30°,E,F分别是边BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成的角等于(　　)

A.15° B.30°

C.75° D.15°或75°

二、解答题

3.()在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.

(1)求证:M,N,P,Q四点共面;

(2)若AC⊥DE,且AC=BC,求异面直线DE与PN所成的角的大小.

4.()如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.

(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;

(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成的角的正弦值.

5.()如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.

(1)证明:O1O⊥底面ABCD;

(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

专题强化练13　空间角的有关计算

一、选择题

1.A　设棱长为a,将三棱柱ABC-A1B1C1补成正三棱柱A1B1C1-A2B2C2(如图),使AA1=AA2.平移AB1至A2B,连接A2M,∠MBA2(或其补角)即为AB1与BM所成的角,在△A2BM中,A2B=a,BM==a,A2M==a,∴A2B2+BM2=A2M2,∴∠MBA2=90°.故选A.

2.D　如图,设G是AC的中点,分别连接EG,GF.

∵E、F分别是BC,AD的中点,

∴EG∥AB,FG∥CD,

∴∠EGF(或其补角)是AB和CD所成的角.

∵AB=CD,∴EG=GF.

当∠EGF=30°时,

AB和EF所成的角为∠GEF=75°;

当∠EGF=150°时,

AB和EF所成的角为∠GEF=15°.

二、解答题

3.解析　(1)证明:因为CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,

所以PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线.

所以PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,

所以M,N,P,Q四点共面.

(2)易知PN为△ABE的中位线,

所以PN∥AB.

又BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)为异面直线DE与PN所成的角.

又AC⊥DE,所以AC⊥BC.

在Rt△ACB中,tan∠ABC===,所以∠ABC=60°.

所以异面直线DE与PN所成的角的大小为60°.

4.解析　(1)证明:由题意知四边形AA1B1B是正方形,∴AB1⊥BA1.

由AA1⊥平面A1B1C1,得AA1⊥A1C1.

又易知A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,

∴A1C1⊥平面AA1B1B,

又∵AB1⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AB1.

又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面A1BC1.

(2)如图,连接A1D.设AB=AC=AA1=1,

∵AA1⊥平面A1B1C1,

∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.

在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边B1C1的中点,∴A1D=×B1C1=.

在Rt△A1DA中,AD==.

∴sin∠A1DA==.

故AD与平面A1B1C1所成的角的正弦值为.

5.解析　(1)证明:因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC,同理DD1⊥BD.

因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD,

又AC∩BD=O,所以CC1⊥底面ABCD.

由题意知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD.

(2)如图,过O1作O1H⊥OB1于点H,连接HC1.

由(1)知,O1O⊥底面ABCD,所以O1O⊥底面A1B1C1D1,于是O1O⊥A1C1.

又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,

因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,

所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1,

所以OB1⊥C1H.

故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.

不妨设AB=2,因为∠CBA=60°,

所以OB=,OC=1,OB1=.

在Rt△OO1B1中,易知O1H==,又O1C1=1,

所以在Rt△O1C1H中,C1H===.

故cos∠C1HO1==.

即二面角C1-OB1-D的余弦值为.