高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形本章综合与测试课时作业

易混易错练

易错点1　忽视对三角形解的个数的讨论致错

1.(★★☆)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=2,A=60°,则角B=　　　　. 

2.(★★☆)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=2B,且△ABC的面积S=,则C=　　　　. 

3.(★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,则B=　　　　. 

易错点2　忽视三角形中边、角的隐含条件致错

4.(★★☆)已知钝角三角形的三边长分别为k,k+2,k+4(k>0),则k的取值范围是　　　　. 

5.(★★★)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin A.

(1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

易错点3　将空间问题看成平面问题致错

6.(★★☆)如图,已知在东西走向上有AM,BN两座发射塔,且AM=100 m,BN=200 m,一辆测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经计算,tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.

思想方法练

一、转化与化归思想

1.(★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a∶b∶c=2∶3∶4,则=　　　　. 

二、分类讨论思想

2.(★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,c=5,sin C=,求△ABC的面积.

三、函数与方程思想

3.(★★☆)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cos C=2a+c,若b=3,则△ABC的外接圆的面积为(　　)

A. B. C.12π D.3π

4.(★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则+的最大值为　　　　. 

5.(★★☆)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,C=,求a-b的取值范围.

答案全解全析

本章复习提升

易混易错练

1.答案　30°

解析　由正弦定理可得sin B===,所以B=30°或B=150°.又因为a=2>2=b,所以A>B,即B<60°,故B=30°.

2.答案　或

解析　由于S=,所以acsin B=,所以asin B=,由正弦定理得sin Asin B=sin C,又因为C=2B,所以sin Asin B=×sin 2B=sin Bcos B,因为sin B≠0,所以sin A=cos B,于是A=±B.当A=+B时,C=;当A=-B时,C=.

3.答案　或

解析　由正弦定理,得sin Asin Bcos C+sin C·sin Bcos A=sin B.因为0<B<π,所以sin B≠0.所以sin Acos C+cos Asin C=,即sin(A+C)=,所以sin(π-B)=,所以sin B=.又B∈(0,π),故B=或B=.

4.答案　(2,6)

解析　设角A,B,C的对边分别为k,k+2,k+4(k>0),因为k+4>k+2>k,且△ABC为钝角三角形,所以C为钝角.由余弦定理得cos C==(k>0),所以k2-4k-12<0,解得0<k<6.由两边之和大于第三边得k+(k+2)>k+4,因此k>2,综上所述,k的取值范围为(2,6).

5. 解析　(1)由正弦定理及a=2bsin A得,==2b,所以sin B=,

又因为B∈,所以B=.

(2)由△ABC为锐角三角形,得解得<A<.

cos A+sin C=cos A+sin=cos A+sin A=sin,由于<A+<,所以<sin<,于是<sin<.故cos A+sin C的取值范围为.

6.解析　在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100 m,所以PM=100 m,连接QM,

在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=100 m,所以△PQM为等边三角形,所以QM=100 m.在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200 m.在Rt△BNQ中,因为tan θ=2,BN=200 m,所以QN=100 m,BQ=100 m,cos θ=.在△BQA中,由余弦定理得BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ,所以BA=100 m.故两发射塔顶A,B之间的距离是100 m.

思想方法练

1.答案　-

解析　===,

不妨设a=2k,b=3k,c=4k,于是=-,故=-.

2.解析　由正弦定理得=,所以sin A===,因此A=60°或A=120°.易知cos C=,当A=60°时,sin B=sin(A+C)=sin(C+60°)=sin C+cos C=×+×=,此时S△ABC=acsin B=×7×5×=10;

当A=120°时,sin B=sin(A+C)=sin(C+120°)=-sin C+cos C=-×+×=,此时S△ABC=acsin B=×7×5×=.故△ABC的面积等于10或.

3.D　由题意及余弦定理的推论得2b·=2a+c,所以a2+b2-c2=2a2+ac,所以a2-b2+c2=-ac,所以2accos B=-ac,所以cos B=-,所以B=.由正弦定理得=2R(R为△ABC外接圆的半径),所以R=,所以△ABC的外接圆的面积为π×()2=3π.

4.答案　2

解析　因为S△ABC=×a×=bcsin A,即a2=2bcsin A.由余弦定理的推论得cos A=,所以b2+c2=a2+2bccos A=2bcsin A+2bccos A,所以+==2sin A+2cos A=2sin,又A∈(0,π),故当A+=,即A=时,+取得最大值,为2.

5.解析　因为C=,所以A+B=,于是△ABC外接圆的直径为2R===2.

由正弦定理,得a-b=2Rsin A-×2Rsin B=2sin A-sin B=2sin A-sin=sin.

因为0<A<,所以-<A-<,所以-<sin<1,所以-1<sin<.

故a-b的取值范围是(-1,).